Partie I - Calculs préliminaires

(1)

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I Filière TSI

Partie I - Calculs préliminaires

Dans tout ce problème et désignent deux nombres réels, est strictement positif.

I.A - Montrer que la fonction déﬁnie sur par

admet un prolongement par continuité à . On le note encore .

Montrer que est intégrable sur puis que est intégrable sur . I.B -

I.B.1) Soit un réel tel que . Montrer que l’on a :

. I.B.2) En déduire la convergence de ainsi que l’égalité :

.

I.C - Si est un segment réel et si est une application de classe de dans montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que

admet une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite.

I.D -

I.D.1) Soit et la fonction déﬁnie sur par .

Montrer que admet un prolongement par continuité en .

En déduire la convergence de .

I.D.2) Calculer puis, en calculant , en déduire .

a v a

ϕ IR^*

ϕ( )x (sin( )x )² x² ---

= IR

ϕ

ϕ IR⁺ ϕ IR

b 0< <a b

( )y sin ---dyy

a

∫

b ¹---^–^cosy ^{( )}^y

a

b 1–cos( )y y² ---dy

a

∫

b

+ 1–cos( )y

---y

a

b ϕ( )dxx

a 2--- b 2---

∫

+

= =

( )y sin ---dyy

0 +∞

∫

2 sin( )y ---dy y

0

∫

+∞ -∞^ϕ^{( )dx}^x

∫

+∞

= α β

[ , ] h

C

¹

α β

[ , ] CI h t( )e^itvdt

α

∫

β

v +∞

n∈IN h_n 0 π

2--- , h_n( )t sin((2n+1)t)

( )t ---sin

=

h_n 0

I_n sin((2n+1)t) ( )t ---dtsin

0 π ---2

∫

=

I₀ I_n₊₁–I_n I_n

(2)

Filière TSI

I.D.3) Soit l’application déﬁnie sur par .

a) Donner un développement limité de d’ordre en .

b) En déduire que admet un prolongement continu et dérivable à . On le note encore . Préciser et .

c) Montrer que est de classe sur . d) En déduire que

tend vers lorsque tend vers . e) Pour on pose

.

Montrer que cette intégrale est convergente puis que la suite converge vers .

En déduire les valeurs de et de . I.E -

I.E.1) On considère à nouveau la fonction déﬁnie dans la première ques-

tion et on pose, pour , .

On a ainsi :

Montrer que est continue et intégrable sur .

I.E.2) Montrer que, lorsque , .

I.F - Montrer que, pour tout nombre réel ,

h 0 π

2--- , h t( ) 1

( )t sin--- 1

---t –

=

h 1 0

h 0 π

2--- , h h( )0 h′( )0

h

C

¹ ⁰,^π₂^---

2n+1

( )t

( )

sin h t( )dt

0 π ---2

∫

⁰ ⁿ ⁺^∞

n∈IN

J_n sin((2n+1)t) ---dtt

0 π ---2

∫

=

J_n ( )_n_∈_IN π

2---

( )y sin ---dy y

0

∫

+∞ -∞^ϕ^{( )dx}^x

∫

+∞

ϕ u∈IR ψv( )u = aϕ(a u( –v))

pour v≠u, ψv( )u [sin(a v( –u))]² a v( –u)² ---

= et ψv( )v = aϕ( )0

⎩⎪

⎨⎪

⎧

ψv IR

v→+ ∞ ψv( )duu →π

0

∫

+∞

u

(3)

I.G -

I.G.1) Montrer que, pour tout réel , est intégrable sur .

I.G.2) Montrer que tend vers lorsque tend

vers par valeurs supérieures.

Partie II -

Dans cette partie :

• on désigne par une suite de nombres réels positifs tels que : la série converge pour tout nombre complexe vériﬁant

où désigne la partie réelle de ;

• on désigne par une fonction continue et croissante de dans telle que

, ;

• on pose, pour tout réel et tout complexe vériﬁant , .

On suppose que

est intégrable sur .

• On déﬁnit ainsi pour tout complexe vériﬁant , . On suppose que

la fonction est continue sur .

Dans toute la suite, on considère un nombre réel strictement supérieur à . II.A - On pose, pour tout ,

.

II.A.1) Montrer que la suite est croissante.

σ≥1 uaψ_v( )eu ⁽¹^–^σ⁾^u IR⁺

ψv( )eu ⁽¹^–^σ⁾^udu

0

∫

+∞ 0 ^ψ^v^{( )du}^u

∫

+∞ ^σ

1

βn

( )_n_∈_IN P₁

( )

∑

βnn^-s ^s

R

^{e s}( )>1

R

^{e s}( ) s

B [1 +, ∞[ IR

P₂

( ) ∀n∈IN^* B n( ) βk k=1

n

∑

=

x≥1 s

R

^{e s}( )>0

F_s( )x B x( ) ---x –1

⎝ ⎠

⎛ ⎞x^-s

=

P₃

( ) F_s [1,+∞[

s

R

^{e s}( )>0 G s( ) F_s

1

∫

+∞ ^{( )}^x ^dx

=

P₄

( ) IR^+*×IR→IR

σ,t

( )aG(σ+it)

⎩⎨

⎧ IR^+*×IR

σ 1

n∈IN^* u_n B k( )(k^-^σ–(k+1)^-σ)

k=1 n–1

∑

=

u_n ( )n∈IN^*

(4)

II.A.2) On a . Exprimer en fonction de

et de et en déduire que converge.

II.A.3) En déduire la convergence de la suite . II.A.4) En utilisant la croissance de en déduire que la fonction admet une limite ﬁnie en .

II.B -

II.B.1) Transformer l’intégrale déﬁnissant par le changement de variable .

On pose, pour tout appartenant à , . II.B.2) Montrer que :

.

En déduire l’existence d’une constante telle que : , . II.B.3) En inversant l’ordre des intégrations dans la déﬁnition de (on admettra que l’inversion est possible), montrer que :

. II.C -

II.C.1) Montrer que, pour tout , la fonction est intégra- ble sur .

Indication : on pourra utiliser la question II.A.4.

II.C.2) Montrer que, pour tout , la fonction est continue sur . Elle est donc continue sur et on admettra de plus que :

. B k( )–B k( –1) = βk u_n βk k^-^σ

k=1 n–1

∑

^{B n}⁽ ^–¹⁾ⁿ^-^σ ^{( )}^uⁿ n∈IN^*

B n( )n^-^σ ( )_n_∈_IN^*

B xaB x( )x^-σ

+∞

G x = e^u

v [0 +, ∞[

H a v( , ) G(σ+it) 1 t 2a---

⎝ – ⎠

⎛ ⎞e^itvdt

–2a

∫

2a

=

H a v( , ) (e^–ûB e( û)–1)e^-⁽^σ^–¹⁾ûdu

0 +∞

∫

⎝ ⎠

⎛ ⎞dt

–2a

∫

2a

≤

K ∀v∈]0 +, ∞[ H a v( , ) ≤4aK H a v( , ) H a v( , ) 2 (e^–ûB e( û)–1)e⁽¹^–^σ⁾ûψv( )duu

0

∫

+∞

=

σ>1 uae^-^σuB e( ^u)ψ_v( )u IR⁺

σ₀>1

σ e

0

∫

+∞ ^-σu^{B e}⁽ ^u⁾^ψ^v^{( )du}^u

a ]σ₀,+∞[

]1 +, ∞[ e

0 +∞

∫

^-σû^{B e}⁽ û⁾^ψ^v^{( )du}û

σ→1 σ>1

lim e^-uB e( ^u)ψv( )duu

0 +∞

∫

=

(5)

II.D - Montrer que :

.

II.E - Montrer que :

. II.F -

II.F.1) En admettant que le résultat de la question I.C reste valable si on suppose seulement la continuité de la fonction , montrer que :

.

II.F.2) En déduire : .

••• FIN •••

G(σ+it)1 t 2a--- –

( )e^itvdt

2a –

∫

2a σ→1

σ>1

lim G(1+it)1 t

2a--- –

( )e^itvdt

2a –

∫

2a

=

G(1+it)1 t 2a--- –

( )e^itvdt

2a –

∫

2a ² 0 ^ψ^v^{( )du}^u

∫

+∞

+ 2 e^-uB e( ^u)ψ_v( )duu

0

∫

+∞

=

h G(1+it)1 t

2a---

( – )e^itvdt

2a –

∫

2a

v→lim+∞ = 0

e

0

∫

+∞ ^-u^{B e}⁽ ^u⁾^ψ^v^{( )du}^u

v→lim+∞ = π