Epreuve 2

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L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 2

^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

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Révision

¹

Exercice 1 :

Dans le plan complexe, on considère l’ensemble E des points M d’affixe z tels que z² (1 i)²z² (1 i)²

a. Déterminer et construire E.

b. Déterminer et construire l’ensemble F des points M tels que

[z (1 i)][z (1 i)]8

c. Vérifier qu’il existe un point de EF où les deux courbes ont même tangente.

Exercice 2 :

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB =2,

1 5

AC  et



^{AB AC}^,



^^₂^.

1. a. démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.

b. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S.

2. On appelle  le centre de S. Montrer que  appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point

.

3. On note D l’image du point C par la similitude S.

a. Démontrer l’alignement des points A,  et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.

b. Montrer que CD 3 5.

4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).

a. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.

b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ? Exercice 3 :

Pour tout k entier on note f_k l’application de [0 ; 1] dans définie par f x_k( )x^k 1x. On appelle C_k sa courbe représentative.

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f_k.

2. Donner, en distinguant suivant la valeur de k, le tableau de variations de f_k.

3. Etudier les positions respectives de C_k et C_k_₁. Tracer les courbes C₀,C C₁, ₂.

4. On pose ¹

0 k k( )

I 



f x dx. Calculer ¹ ₀

0

( ) f x dx



^.

a. Quel est le sens de variation de I_k ? Montrer que I_k converge vers une limite l que l’on ne cherchera pas.

b. Montrer, en intégrant par parties que pour tout entier k > 0,

on a ² ₁

2 3

k k

I k I

k ^

  . En déduire une expression de I_k. c. Montrer que pour tout k entier, on a ¹

0

( ) 1

k

f x dx a

 k



 ^{où a est}

une constante que l’on déterminera. En déduire la limite de I_k. Exercice 4 :

1. On considère x et y des entiers relatifs et l’équation (E) 91x +10y = 1.

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a. Énoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à l’équation (E).

b. Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière del’équation(E’) : 91x +10y = 412.

c. Résoudre (E’).

2. Montrer que les nombres entiers An = 32n −1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).

3. On considère l’équation (E’’) A3 x + A2 y = 3296.

a. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation (E’’).

b. Montrer que (E’’) admet pour solution un couple unique d’entiers naturels. Le déterminer.

Problème : Partie A :

On considère l’équation différentielle : (E)



³³



²

' 3

1 ^x

y y e

e^

  

 . On donne une fonction  dérivable sur et la fonction f définie sur par f x( )e^³^x( )x .

1. Montrer que f est dérivable sur et pour tout réel x, exprimer '( ) 3 ( )x   x en fonction de f ’(x).

2. Déterminer f de sorte que  soit solution de (E) sur et vérifie (0)

2

  e.

Partie B :

Soit la fonction f définie sur par : ^{1 3}

( ) 3

1

x x

f x e e



 

 . On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en  et en , puis étudier les variations de f .

2. Tracer C.

3. Pour  réel non nul, on pose

0

( ) ( )

I f x dx

 



 ^.

a. Donner le signe et une interprétation graphique de I( ) en fonction de .

b. Exprimer I( ) en fonction de .

c. Déterminer la limite de I( ) lorsque  tend vers . Partie C :

On définit sur * la suite (un) par : ¹

0

( )

x n n

u 



f x e dx^{, où}^f^{est la}

fonction définie dans la partie B. On ne cherchera pas à calculer un.

1. a. Donner, pour tout n de *, le signe de un. b. Donner le sens de variation de la suite (un).

c. La suite (un) est-elle convergente ? 2. a. Montrer que pour tout n de *,

1

1 n 1

I un e I où I1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour  égal à 1.

b. En déduire la limite de la suite (un). Donner sa valeur exacte.

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