Rappel du dernier cours

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Rappel du dernier cours

● Loi d'induction de Faraday

● Loi de Lenz – le champ induit s'oppose à la variation de flux

● Fem induite dans un fil en mouvement dans un champ magnétique

● Générateur de courant alternatif

● Transformateur : V_s / V_p = N_s / N_p

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P. Mermod, Université de Genève 2

Inductance (1)

Lorsqu’une bobine est parcourue par un courant électrique variable, le champ créé dans la bobine par ce courant est variable. Or la loi d'induction nous dit qu'une variation de champ magnétique donne lieu à un champ électrique et donc induit une fem dans la bobine. La bobine est alors le siège d’une fem auto-induite d’autant plus importante que le courant varie rapidement.

La loi de Lenz nous dit que la fem auto-induite doit s’opposer à la cause qui lui donne naissance. Le courant ne s’établit pas instantanément lorsqu’on

applique une tension aux bornes d'une bobine. Le changement positif du courant est freiné par un courant induit. De même, lorsqu’on interrompt le

circuit, le courant diminue progressivement, car sa diminution est contrecarée par un courant induit. Ce processus d’auto-induction retarde l’augmentation et la diminution de tout courant dans une bobine, et à un degré moindre dans tout circuit, dans les cables, lignes de transmission etc.

Démo 242

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Inductance (2)

Pour définir l’auto-inductance d’une bobine formée par N tours, notons que le flux total est N·Φ_M, où Φ_M est le flux de champ magnétique à travers une seule spire, proportionnel au courant I. On peut donc écrire :

La constante de proportionnalité L est l’auto-inductance (aussi appelée simplement inductance ou self) de la bobine ou d’un circuit en général. En quelque sorte c’est l'aptitude de la bobine à emmagasiner un champ

magnétique. C'est aussi une mesure de la résistance au changement de

courant. L’unité de l'inductance en SI est le Henry H. Une bobine traversée par un flux de 1 Wb lorsqu’elle porte un courant de 1 A a une inductance de 1 H.

L’inductance L résume plusieurs caractéristiques du système, elle dépend de la taille et de la forme de la bobine ainsi que du matériau qu’elle contient.

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QCM

Quel est le courant dans le circuit immédiatement après la fermeture ?

A) Zéro B) 0.1 A C) 15 A

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QCM (réponse 1)

A) Zéro B) 0.1 A C) 15 A

Initialement, l'auto-inductance de la bobine annule le courant.

Quel est le courant dans le circuit longtemps après la fermeture ? A) Zéro

B) 0.1 A C) 15 A

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QCM (réponse 2)

A) Zéro B) 0.1 A C) 15 A

Initialement, l'auto-inductance de la bobine annule le courant.

Quel est le courant dans le circuit longtemps après la fermeture ? A) Zéro

B) 0.1 A C) 15 A

Le courant augmente progressivement, tandis que le champ magnétique se stabilise au sein de la bobine. Au bout d'un certain temps, on a un champ constant, donc pas de courant auto-induit, et le courant vaut I = V/R = 15 A.

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Inductance d'un solénoïde

On a : N·Φ = L·I, mais Φ = B·A car le champ B est homogène et

perpendiculaire à la surface A. Or, on a vu avec la loi d’Ampère que le champ magnétique au sein d’un solenoïde est : B = μ·n·I (où n = N/l avec N le

nombre de tours et l la longueur).

Donc :

L'inductance (ou self) L ne dépend que des caractéristiques du solénoïde : sa surface A, son nombre de tours par unité de longueur n, et sa longueur l.

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QCM

Soit deux longs solenoïdes, de longueurs l₁ < l₂, avec nombre tours par unité de distance n et rayon R. Comparer les inductances des deux solenoïdes :

A) L₁ > L₂ B) L₁ < L₂ C) L₁ L≃ ₂

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QCM (réponse)

Soit deux longs solenoïdes, de longueurs l₁ < l₂, avec nombre tours par unité de distance n et rayon R. Comparer les inductances des deux solenoïdes :

A) L₁ > L₂ B) L₁ < L₂ C) L₁ L≃ ₂

A et n sont les mêmes, et l'inductance est plus grande dans la bobine la plus longue car c'est celle qui contient le plus de tours.

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QCM

Soit deux longs solenoïdes, de rayons R₁ < R₂, avec nombre tours par unité de distance n et longueur l. Comparer les inductances des deux solenoïdes :

A) L₁ > L₂ B) L₁ < L₂ C) L₁ L≃ ₂

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QCM (réponse)

Soit deux longs solenoïdes, de rayons R₁ < R₂, avec nombre tours par unité de distance n et longueur l. Comparer les inductances des deux solenoïdes :

A) L₁ > L₂ B) L₁ < L₂ C) L₁ L≃ ₂

N et l sont les mêmes, et A₁< A₂ car R₁ < R₂, donc L₁ < L₂.

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Fem auto-induite

En applicant la loi d’induction de Faraday à l’auto-induction, on obtient une expression pour la fem auto-induite moyenne :

Si l’inductance L est constante, Δ(L·I) = L·ΔI et :

La fem auto-induite instantanée est proportionnelle au taux de variation du courant dans la bobine.

Le sens positif est celui de I. Une inductance de 1 H produit une fem auto- induite de 1 V lorsque le courant qui la traverse varie à raison de 1 A/s. Si la bobine elle-même a une résistance ohmique négligeable, il n’y a pas de chute de tension notable due à sa résistance interne ; une mesure de la tension

entre ses bornes donne alors la fem auto-induite.

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Circuits RL (1)

Le circuit RL ci-contre est constitué d’une pile en série avec une bobine d'inductance L et une

résistance R. La bobine et la pile sont supposées avoir des résistances négligeable par rapport à R (sinon, leurs résistances internes s’additionnent à R).

Dès que l’interrupteur est fermé, un courant croissant commence à circuler dû à la fem de la pile, qui est contrecarré par la fem auto-induite. La tension totale à chaque instant est :

V, R et L sont constantes, mais I, ainsi que la tension aux bornes de la bobine, augmente avec le temps.

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Circuits RL (2)

On a donc une équation différentielle, où la dérivée de I par rapport au temps et proportionnelle à I lui-même (plus une constante) :

dont la solution est, comme on le voit souvent dans des systèmes physiques, une exponentielle :

Avec constante de temps (temps pour que l'exponentielle devienne e⁻¹)

Le courant varie fortement au départ et ensuite de moins en moins, pour devenir constant

quand R·I → V. Cette analyse est analogue au cas de la charge d’un condensateur.

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Bobine et condensateur

● Un condenstateur s'oppose à une variation de tension. Lorsqu'on ferme le circuit, le courant est initialement maximum et diminue tandis que le

condensateur emmagasine de la charge (→capacité).

● Une bobine s'oppose à une variation de courant. Lorsqu'on ferme le circuit, le courant est initialement nul et augmente tandis que la bobine

emmagasine du champ magnétique (→inductance).

Charge d'un condensateur :

Charge d'une bobine :

Décharge d'un condensateur :

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Exemple : petite et grande inductance

Soient deux circuits RL formés par une résistance de 100 Ω en série avec un inducteur de 10 H pour le premier circuit et 1.0 H pour le second. On suppose que les deux circuits sont branchés entre les bornes d’une pile fournissant une tension constante V.

● Déterminer le temps nécessaire au courant pour atteindre 63% de sa valeur maximale.

La constante de temps (temps pour avoir 1 - e⁻¹ = 63%

du courant) est τ = L/R, alors pour les deux circuits :

Le courant du circuit contenant le plus grand inducteur met dix fois plus longtemps pour atteindre 63% de son courant maximal que celui avec le plus petit inducteur.

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Inductance et courant alternatif

Une inductance ou self – typiquement une bobine enroulée autour d’un cyclindre vide ou rempli d’un corps ferromagnétique – est un élément conçu pour introduire une auto-inductance dans un circuit. Une inductance s’oppose à un courant alternatif mais laisse passer sans entrave un

courant continu (constante de temps τ = L/R pour laisser passer 63% du courant). Ainsi, cette

“résistance au courant alternatif” ou impédance augmente à la fois avec la fréquence f du courant et avec l’inductance L.

Par conséquent, l'inductance est souvent utilisée pour filtrer les courants oscillants, ne laissant passer que les fréquences inférieures à la

fréquence de coupure f_c = 1/τ = R/L. Ce filtre est

→ basses fréquences

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→ hautes fréquences

Condensateur et courant alternatif

À l'inverse, un condensateur s'oppose à un courant continu (constante de temps τ = RC pour ne plus laisser passer que 37% du

courant). Il laisse par contre passer un courant alternatif à haute fréquence.

Le condensateur se comporte donc comme un filtre ne laissant passer que les fréquences supérieures à la fréquence de coupure f_c = 1/τ

= 1/RC.

tweeter Démo 264

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Circuit RLC

Si on met un condensateur (capacité C) et une bobine (inductance L) dans le même circuit, on observe un phénomène intéressant: le courant va se mettre à osciller de l'un à l'autre. Si on résout les équations pour ce système physique, on obtient un oscillateur harmonique avec une fréquence de résonance:

(avec ω₀ en radians par seconde, ω₀ = 2πf₀)

Un tel circuit n'admet que des fréquences égales ou proches de ω₀(et supprime les

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Circuit RL après ouverture

Si après avoir établi le courant dans un circuit, on ouvre l’interrupteur, le courant diminue

graduellement, prolongé par la fem auto- induite. Encore une fois, la diminution est

exponentielle, régie par la même constante de temps L/R que l’augmentation du courant lors du branchement.

Alors, d’où vient alors l’énergie qui alimente le courant après l’ouverture de l’interrupteur ? Il est clair que ce ne peut pas être la pile

débranchée qui la fournit. La résistance n’est pas un candidat non plus, car elle dissipe de l’énergie sous forme de chaleur, par effet Joule, mais ne sait pas en stocker. Le seul candidat est alors l’inductance, qui

l’emmagasine sous forme d’énergie contenue dans le champ magnétique.

Démo 248

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Rappel : énergie du champ électrique

Nous avons vu que l’énergie emmagasinée E_p dans un condensateur chargé est

proportionnelle au carré du champ électrique E entre ses armures :

On peut penser que cette énergie est uniformément distribuée dans le volume A·d qu’occupe le champ uniforme. Nous introduisons le concept de densité

volumique d’énergie u_E, c’est-à-dire de l’énergie électrique par unité de volume, égale à E_P/(Ad) :

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Énergie du champ magnétique (1)

Une situation analogue existe quand une pile est branchée aux bornes d’une inductance L pour établir un champ magnétique. À un instant donné, elle

débite un courant I. Pour surmonter la fem auto-induite Ɛ_L = -L(ΔI/Δt), elle fournit une puissance P = -Ɛ_L·I. Pendant un intervalle de temps Δt, elle doit fournir à la bobine un travail ΔW :

Le travail par variation de courant est donc

En intégrant, on obtient le travail pour établir un courant I dans une self d’inductance L :

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Énergie du champ magnétique (2)

C’est aussi l’énergie potentielle magnétique emmagasinée dans l’inducteur :

Dans le cas d’un long solénoïde de longueur l, dont l’inductance est L = N·B·A/I, le champ à l’intérieur est B ≃ μ₀·N·I/l. L’énergie est donc

Le volume de la bobine, A·l, est occupé par un champ uniforme, la densité de l’énergie du champ magnétique est :

Soit L’énergie manétique est localisée aux mêmes endroits de l’espace que le champ magnétique, avec une densité proportionnelle à B².

Bien que cette formule soit établie ici dans le cas d’un long solénoïde, sa

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Récapitulation: densité d'énergie d'un champ

u est l'énergie par unité de volume, en Joules par m³

● Champ électrique, par exemple entre deux plaques portant une charge électrique (condensateur):

● Champ magnétique, par exemple au sein de spires conduisant un courant électrique (bobine ou solénoïde):

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Imagerie par Résonnance Magnétique (IRM) (1)

Cette méthode est basée sur l’interaction du moment

magnétique de spin du proton de l’H₂O dans le corps, avec 2 champs magnétiques externes, l’un statique B₀ et l’autre, B₁(ω), oscillant à la fréquence ω. Nous allons adopter une approche très simplifiée et une vision classique.

Classiquement, le proton « tourne sur lui-même », et comme il est chargé et massif, il dispose d’un moment magnétique de spin et d’un moment cinétique L

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Imagerie par Résonnance Magnétique (IRM) (2)

Le spin ne sera pas parfaitement aligné au champ. À l’instar d’une toupie qui tourne sur elle-même et qui subit la force de gravité, le moment cinétique L du proton effectue un moment de précession autour de B₀.

ω_Lest appelée fréquence de Larmor, et correspond à la vitesse angulaire à laquelle le moment cinétique et le moment magnétique tournent autour de B₀.

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Imagerie par Résonnance Magnétique (IRM) (3)

Appliquons à présent un champ magnétique oscillant B₁, perpendiculaire à B₀. Si la fréquence du champ correspond à la fréquence de Larmor, on entre en résonance avec le proton, et son moment magnétique peut être basculé vers le bas. C’est la résonance magnétique nucléaire.

Le champ oscillant, à la bonne fréquence

correspondant à des ondes radio, inverse donc le moment magnétique des protons. Lorsque l'on coupe le champ oscillant, les protons reviennent en position alignée au champ B₀ et ce faisant émettent des ondes radio. Ces ondes émises sont détectées et nous

renseignent sur la présence d’eau (atomes d'hydrogène et donc protons) à l’endroit sondé.

On scanne le corps point par point. Comme la fréquence de Larmor dépend de l'intensité de B , on fait des variations spatiales de B pour associer

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QCM

Le champ magnétique statique B₀ d'un IRM doit être puissant afin d'aligner les spins des protons. Il est souvent généré par un électroaimant

supraconducteur. Quelle est la valeur typique du champ ? A) 0.15 T

B) 1.5 T C) 1500 T

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QCM (réponse)

Le champ magnétique statique B₀ d'un IRM doit être puissant afin d'aligner les spins des protons. Il est souvent généré par un électroaimant

supraconducteur. Quelle est la valeur typique du champ ? A) 0.15 T

B) 1.5 T C) 1500 T Les aimants

supraconducteurs modernes peuvent produire des champs magnétiques allant jusqu'à plusieurs Tesla (suffisant pour

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Imagerie par Résonnance Magnétique (IRM) (4)

● Prix Nobel de Médecine 2003 (Lauterbur et Mansfield)

● Sensible aux tissus mous

● Moins précis que les rayons X

● Beaucoup moins nocifs que les rayons X