CORRECTION
Exercice n°1 :Le circuit ci-dessous est alimenté par un générateur de tension délivrant une tension E = 6 V.
0 k2 B C q A i 0 k1 0 R
uR
uC
E
1- Avec les conventions indiquées sur le schéma, donner les relations liant : 1.1- uR, R et i. Loi d'ohm : uR====U I.
1.2- uC, q et C. Par définition : u q C====C
1.3- i et dq / dt. Par définition : i dq
==== dt
2- A l'instant t = 0, le condensateur est déchargé. Le commutateur k1 est en position 1 et le commutateur k2 est en position 0.
2.1- Etablir l'équation différentielle régissant uC (t).
En appliquant la loi des mailles, on trouve : E====R i. ++++uC. Or, i dq
====dt etq====C u. Cd'où i Cdu dt
==== . Cce qui permet d'établir l'équation différentielle régissant uC(t) :E R Cdu
dtC uC
==== . . ++++
2.2- Etablir l'équation différentielle régissant q (t).
En appliquant la loi des mailles, on trouve : E====R i. ++++uC. Or, i dq
====dt et u q
C====Cd'où l'équation différentielle régissant la charge q (t):
Rdq dt
q
C E
. ++++ ====
2.3- Montrer que q (t) vérifie l'équation : Rdq dt
q
C E
. ++++ ==== . La relation trouvée à la question 2.2 est identique à R dq
dt q
C E
. ++++ ==== . 3- Vérifier que uCt E e
t
( )==== (1−−−− −−−−RC) est une solution de l'équation trouvée à la question 2- 2.1-.
La relation est : E R Cdu dtC uC
==== . . ++++ donc il faut calculer la dérivée par rapport au temps de uc (t).
duC dt
d
dt E e E
RCe t
RC
t
==== −−−− RC
−−−− ==== −−−−
(1 ) ( 1 )
. Remplaçons du
dt
Cpar son expression dans l'équation différentielle.
E R C E
RCe E e E e E E e E
t RC
t RC
t RC
t
==== . . −−−− ++++ (1−−−− −−−− )==== . −−−− ++++ −−−− . −−−−RC ==== donc uC(t) vérifie bien
l'équation différentielle.
4- Définir la constante de temps ττττ . τ =R.C.
5- Que vaut uC (t) au bout de 5 ττττ ? uC( )t ====E(1−−−−e−−−−RCt ) ====6 −−−− −−−− ====6 −−−− −−−− ====5 95 5
.(1 e ) .(1 e 5) , V ττττ
ττττ
6- Quelle est la quantité d'électricité Q emmagasinée par le condensateur au bout d'une durée supérieure à 5 ττττ ?
On considère que pour une durée supérieure à 5τ, le condensateur est complètement chargé et que sa tension à ses bornes est de 6V (question précédente). Or, la tension aux bornes d'un condensateur est donnée par la formule : u q
C
C==== soit, lorsque le condensateur est chargé : U Q
C====Csoit Q====C U. C====1 10. −−−−6.6====6µµµµC. 7- On donne R = 100 kΩΩΩΩ et C = 1 µµµµF.
7.1- Quelle est la valeur numérique de la constante de temps ττττ ?
ττττ ====R C. ====100 10. 3××××1 10. −−−−6====100 10. −−−−3====100ms====0 1,s
7.2- Quelle est l'intensité i du courant dans le circuit au bout de 1 seconde ? Lorsque le condensateur est chargé, la tension à ses bornes uC=6V et E=6V. D'après la loi des mailles, E=R.i+uC soit i E u
R
==== −−−− C ==== 6−−−−6 ====
100 10 3 0
. .
8- En réalité, la charge du condensateur ne peut s'effectuer complètement, car un dispositif fait basculer les commutateurs en même temps lorsque uC = 3 V.
En prenant comme nouvelle origine des temps cet instant de commutation, la tension uC (t) évolue suivant l'expression : uC E e
t
==== −−−− .(1−−−−3 −−−−RC)
2 .
8.1- Calculer uC ( t) à t = 0 et lorsque t tend vers l'infini.
uC( )0 6 (1 3e ) (1 ) ( ) V
2 6 3
2 6 1
2 3
==== −−−− ×××× −−−− −−−−0 ==== −−−− −−−− ==== −−−− ×××× −−−− ====
uC( )∞∞∞∞ ==== −−−− ×××× −−−−6 (1 3e−∞−∞−∞−∞)==== −−−− ×××× −−−−(1 )==== −−−− V
2 6 0 6
8.2- Un nouveau basculement intervient lorsque uC atteint - 3V. Calculer l'intervalle de temps ∆∆∆∆t compris entre ces deux basculements.
Calculer ∆t c'est calculer l'instant t1 à partir duquel uC(t)=-3V soit :
u tC e
t
( )1 (1 )
1
3 6 3
==== −−−− ==== −−−− −−−−2 −−−−ττττ soit−−−−
−−−−3==== −−−− −−−−
6 1 3 2
1
e t
ττττce qui fait que 1
2 1 3
2
1
−−−− ==== −−−− e−−−−
t ττττd'où 2
3 1 2
1
×××× ====e−−−−
t ττττ. Soit ln( )1 ln( )
3
1
==== e−−−−tττττ ==== −−−−t1
ττττ d'où t1====ττττln3====0 1, ××××ln3====109 8, ms.
