Rappel du dernier cours
● Le champ magnétique B est produit par des charges électriques en mouvement
● Un dipôle magnétique (aimant) dans un champ magnétique subit une force qui l'aligne le long du champ: pôles opposés s'attirent, pôles semblables se repoussent
● Le champ magnétique terrestre
● Les électrons autour des atomes dans la matière constituent de minuscules dipôles magnétique de moment magnétique dipolaire
● Champ magnétique produit par un courant (électro-aimant)
– Fil droit
– Bobine
– solénoïde
● Propriétés magnétiques des matériaux:
N S
N S
P. Mermod, Université de Genève 2
Rappel : charges, courants, et champs électromagnétiques
● Une charge électrique est une source de champ électrique E.
● Des charges électriques en mouvement forment un courant électrique, et créent un champ magnétique B.
● Question : est-ce que des charges
magnétiques en mouvement créent un champ électrique ?
B E proton
Rappel : charges, courants, et champs électromagnétiques
● Une charge électrique est une source de champ électrique E.
● Des charges électriques en mouvement forment un courant électrique, et créent un champ magnétique B.
● Question : est-ce que des charges
magnétiques en mouvement créent un champ électrique ?
– Réponse : ce serait le cas, s'il existait des charges magnétiques !
– Aussi, une charge magnétique serait une source de champ magnétique.
● La symmétrie entre électricité et magnétisme
B
E E proton
P. Mermod, Université de Genève 4
La loi d’Ampère (1)
Calculons à présent explicitement le champ magnétique créé par des courants.
La loi d’Ampère lie le courant total au champ magnétique, de la même façon que la loi de Gauss lie la charge totale au champ électrique.
Considérons plusieurs fils transportant des courants, qui créent un champ magnétique qui dépend de leur intensité, direction et géométrie. Un parcours clos, appelé
chemin ampérien, entoure les courants. Il est découpé en petits segments de
longueur Δl ; le champ B sera
approximativement constant sur chaque segment. Si on se trouve loin des
courants, B sera faible mais le chemin sera long. Par contre, proche des
courants, B sera fort et la longueur du chemin sera courte.
La loi d’Ampère (2)
Ceci suggère que le produit du champ et de la longueur du chemin est
constant. Plus précisément, nous avons besoin de sommer la composante du champ le long du segment du chemin : . On trouve que la
somme de cette quantité est indépendante du chemin et proportionnelle au courant total net qui est inclus par le chemin :
Ceci est la loi d’Ampère. Quand on laisse Δl tendre vers zéro, la somme se transforme en intégrale sur le chemin ampérien clos, et on obtient :
P. Mermod, Université de Genève 6
Récapitulation: loi de Gauss et loi d'Ampère
● Loi de Gauss: le nombre de lignes de champ électrique traversant une surface fermée est proportionnel au nombre de charges inclues
● Loi d'Ampère: le nombre de lignes de champ magnétique le long d'un chemin fermé est proportionnel au nombre de courants inclus
Exemple : le champ magnétique d’un fil droit
En choisissant un chemin ampérien, on a intérêt à ce que le champ magnétique soit :
● Soit perpendiculaire au chemin (B|| = 0),
● Soit parallèle au chemin (B|| = B).
Étudions le cas simple d’un fil rectiligne transportant un courant I. Le champ est
circulaire dans le plan perpendiculaire au fil.
Nous choisissons donc un chemin circulaire, avec le conducteur au centre. Dans ce cas, B|| = B est constant à une distance r
constante :
P. Mermod, Université de Genève 8
Exemple : le champ d’un long solénoïde (1)
Pour calculer le champ d’un long solénoïde, considérons le chemin 1-2-3-4-1 : les segments axiaux 1-2 et 3-4 de longueur Δl sont parallèles au champ. Contrairement au cas d'une spire, le champ est constant sur ces segments. Les
segments radiaux 2-3 et 4-1 sont
perpendiculaires au champ et ne contribuent pas, indépendamment de leur longueur :
Même si une composante radiale du champ existait, BrΔl2-3 = −BrΔl4-1 et les deux contributions s’annuleraient. Le long du côté extérieur, 3-4, le champ Bext|| est nul si le solénoïde est infiniment long. Pour un solénoïde de
longueur finie, le champ est faible, parallèle à l’axe et décroit comme 1/r. Il suffit donc de choisir ce côté 3-4 suffisamment loin du solenoïde pour que cette contribution soit négligeable. Il ne reste que la contribution du côté 1-2, B||Δl, où le champ est constant et parallèle au chemin.
Exemple : le champ d’un long solénoïde (2)
Reste à calculer le courant inclus dans le chemin clos.
Si le solénoïde a un nombre de spires par unité de longueur n, le nombre de spires inclues est n·Δl, et chaque spire est
parcourue par un courant I. La loi d’Ampère donne alors :
(où N est le nombre total de spires et L la longueur totale du solénoïde) On retrouve la formule donnée au cours précédent!
P. Mermod, Université de Genève 10
QCM
Soit deux longs solenoïdes, de longueurs L1 < L2, avec nombre tours par unité de distance n et courant I. Comparer les champs magnétiques aux centres des deux solenoïdes :
A) B1 est plus élevé B) B2 est plus élevé C) B1 B≃ 2
QCM (réponse)
Soit deux longs solenoïdes, de longueurs L1 < L2, avec nombre tours par unité de distance n et courant I. Comparer les champs magnétiques aux centres des deux solenoïdes :
A) B1 est plus élevé B) B2 est plus élevé C) B1 B≃ 2
Le champ au centre d'un long solenoïde dépend du nombre de tours par unité de distance n. Il ne dépend pas de la longueur car uniquement les spires
proches du point condidéré contribuent au champ :
P. Mermod, Université de Genève 12
QCM
Soit deux longs solenoïdes, de rayons R1 < R2, avec longueur L, nombre tours par unité de distance n et courant I. Comparer les champs magnétiques aux centres des deux solenoïdes :
A) B1 est plus élevé B) B2 est plus élevé C) B1 B≃ 2
QCM (réponse)
Soit deux longs solenoïdes, de rayons R1 < R2, avec longueur L, nombre tours par unité de distance n et courant I. Comparer les champs magnétiques aux centres des deux solenoïdes :
A) B1 est plus élevé B) B2 est plus élevé C) B1 B≃ 2
Le champ au centre d'un long solenoïde dépend du nombre de tours par unité de distance n. Il ne dépend pas du rayon car la diminution due à une plus
grande distance au centre est compensée par une augmentation de la longueur du chemin parcouru par le courant :
P. Mermod, Université de Genève 14
La force magnétique ou force de Lorentz
Le champ magnétique est causé par des particules chargées en mouvement ; et les aimants exercent une force l'un sur l'autre. On en conclut qu'une force magnétique doit s’exercer sur une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique ! Cette force est proportionnelle au champ extérieur et à la vitesse de la particule . Ces deux vecteurs définissent un plan ; la direction de la force magnétique est normale à ce plan. Le sens est inversé si l’on prend une charge négative. En somme on obtient la loi de Lorentz :
Démo 212
où θ est l’angle entre et .
QCM
Une particule de charge positive se déplace dans la direction d'un champ magnétique.
A) Elle accélère B) Elle décélère
C) Elle change de direction D) Elle ne subit aucune force
P. Mermod, Université de Genève 16
QCM (réponse)
Une particule de charge positive se déplace dans la direction d'un champ magnétique.
A) Elle accélère B) Elle décélère
C) Elle change de direction D) Elle ne subit aucune force
Le produit vectoriel entre le champ magnétique et la vitesse est nul, car les vecteurs sont parallèles (sin(0)=0).
Caractéristiques de la force de Lorentz
La direction de la force est donnée par la règle de la main droite (produit vectoriel) : si le pouce pointe dans la direction de et l'index vers , le majeur indique la direction de .
Comme la force est toujours perpendiculaire à la trajectoire de la particule chargée, elle est
purement une force de déflection ; elle courbe la trajectoire de la particule.
Comme elle n’a aucune composante dans la direction du mouvement, la force magnétique n’effectue aucun travail, l’énergie de la particule reste donc constante sous l’action du champ magnétique.
P. Mermod, Université de Genève 18
Récapitulation: forces exercées sur une charge
● Force électrique (ou de Coulomb):
une charge placée dans un champ électrique subit une force dans la
direction du champ, proportionnelle à la charge
● Force magnétique (ou de Lorentz):
une charge placée dans un champ magnétique subit une force dans la direction perpendiculaire au champ et au mouvement, proportionnelle à la charge et à sa vitesse
Rayons cosmiques et champ magnétique terrestre
Une partie des particules sont capturées par le champ magnétique : leur trajectoire va suivre une hélice le long des lignes de champ. Cela les amène vers les pôles, et lorsqu'elle rentrent dans l'atmosphère, elles provoquent une fluorescence (absorption et réémission de lumière) en excitant les molécules d'azote (lumière Les particules chargées des rayons
cosmiques et celles émises par le Soleil (vent solaire) subissent une force de
Lorentz lorsqu'elles rencontrent le champ magnétique terrestre. Ainsi, les particules à plus basses énergies sont déviées, ce qui réduit le flux de particules dans
l'atmosphère.
P. Mermod, Université de Genève 20
Exemple : proton dans un champ uniforme
Un électroaimant produit un champ
magnétique uniforme de 3.0 T entre ses pôles plats. Le champ est alors horizontal dans la direction du nord. Un proton entre dans cette région à une vitesse de 5·106 m/s, se dirigeant vers le nord à un angle de 30°
par rapport au plan horizontal.
● Calculer la force magnétique agissant sur le proton au moment où il entre dans le champ.
Le proton a une charge positive q = +1.6·10−19 C. Le produit vectoriel entre la vitesse et le champ magnétique donne une force est dirigée vers l’est.
Le module de la force est
Particule libre dans un champ uniforme (1)
Considérons une particule de charge positive q qui pénètre dans un champ magnétique uniforme avec une vitesse . La force magnétique étant toujours perpendiculaire à , la particule ne subit aucune accélération dans la direction du champ ; elle reste donc dans un plan perpendiculaire à . Par contre, la particule subit une accélération centripète, perpendiculaire à sa vitesse. Elle décrit un cercle complet.
P. Mermod, Université de Genève 22
Particule libre dans un champ uniforme (2)
La charge de la particule est positive et elle décrit le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Si la charge était négative, elle décrirait le cercle dans le sens inverse. Nous savons (voir chapitre 5) qu’un corps se déplace sur un
cercle de rayon R si la force centripète FC vérifie la relation :
La force centripète est la force magnétique, qui est perpendiculaire à la vitesse (θ
= 90°) :
Pour une charge q donnée, la trajectoire est donnée par la quantité de
mouvement m·v et le champ B. Si l’on accélère la particule longitudinalement, par un champ électrique par exemple, le rayon du cercle augmente. Si l’on augmente B proportionnellement, la particule reste sur un cercle à rayon constant : ceci est le principe des accélérateurs et anneaux de stockage de particules.
QCM
Un électron de vitesse v se trouve dans une région avec un champ magnétique B perpendiculaire à sa direction. Lorsque le champ augmente,
A) v augmente B) v diminue
C) Il décrit un cercle plus petit D) Il décrit un cercle plus grand
P. Mermod, Université de Genève 24
QCM (réponse)
Un électron de vitesse v se trouve dans une région avec un champ magnétique B perpendiculaire à sa direction. Lorsque le champ augmente,
A) v augmente B) v diminue
C) Il décrit un cercle plus petit D) Il décrit un cercle plus grand
La force magnétique, proportionnelle au champ, est perpendiculaire à la vitesse de l'électron et ne contribue donc qu'à
courber sa trajectoire. Plus la force est grande, plus la trajectoire est courbe, et donc plus le cercle est petit.
Le cyclotron
Le cyclotron est l'un des premiers accélérateurs de particules. Le principe est simple : un champ magnétique vertical courbe la trajectoire des particules, qui sont accélérées par un champ électrique horizontal entre les deux électrodes en forme de “D”, qui changent de polarité à chaque demi-tour. Les cyclotrons sont utilisés aujourd'hui principalement pour obtenir des faisceaux de protons à relativement haute énergie pour des expériences de physique nucléaire et
dans les hôpitaux pour le traitement du cancer.
P. Mermod, Université de Genève 26
QCM
Soit un proton qui se déplace dans le vide la vitesse dans un champ
magnétique uniforme , avec un angle de 45o entre la vitesse et le champ.
Quelle sera sa trajectoire ? A) Une hélice
B) Une parabole C) Un cercle
D) Une ligne droite
QCM (réponse)
Soit un proton qui se déplace dans le vide la vitesse dans un champ
magnétique uniforme , avec un angle de 45o entre la vitesse et le champ.
Quelle sera sa trajectoire ? A) Une hélice
B) Une parabole C) Un cercle
D) Une ligne droite
Le proton subit une force de Lorentz
perpendiculaire à sa vitesse et au champ
magnétique. La force dans la direction du champ est nulle, et donc la vitesse dans cette direction v||
et constante. Dans le plan perpendiculaire au champ la force est centripète.
P. Mermod, Université de Genève 28
Force magnétique sur un fil conducteur
Les charges électriques subissent une force lorsqu’elles se déplacent dans un champ magnétique. Ceci est le cas si elles évoluent dans le vide ou si elles forment un courant dans un conducteur. Dans ce dernier cas, les charges transmettent cette force au conducteur.
DvD 20-01
Considérons une quantité de charge Δq transportée dans un fil, telle que dans un intervalle de temps Δt, le paquet parcourt une distance l. Le taux de charge qui passe est Δq/Δt, c’est à dire le courant I. La force sur le paquet est
La force sur un bout de fil de longueur l=vΔt est donc
La direction de la force sur le fil est la même que sur les porteurs de charge individuels, correspondant à .
QCM
On a deux fils parallèles avec des courants I1 et I2 dans la même direction.
A) les fils s'attirent
B) les fils se repoussent C) les courants diminuent D) rien ne se passe
P. Mermod, Université de Genève 30
QCM (réponse)
On a deux fils parallèles avec des courants I1 et I2 dans la même direction.
A) les fils s'attirent
B) les fils se repoussent C) les courants diminuent D) rien ne se passe
On utilise la règle de la main droite pour savoir dans quelle direction est le
champ magnétique généré par un fil à la position de l'autre fil, puis de nouveau pour déterminer la direction de la force (en mettant à chaque fois le pouce en direction du courant).
Démo 215
Rappel : vecteurs perpendiculaires à la page
Il n'est pas toujours pratique de faire des dessins en trois dimensions. Souvent on fait le dessin en deux dimensions dans le plan perpendiculaire à certains vecteurs, que l'on représente
● sortant de la page :
● rentrant dans la page :
Ainsi par exemple la situation précédente des deux fils devient :
Ou encore :
Un champ uniforme sortant de la page peut être représenté comme :
P. Mermod, Université de Genève 32
Exemple : force magnétique sur les fils d’une spire
Une spire carrée plate et horizontale avec un courant de 1.0 A est placée dans un champ magnétique uniforme et vertical de 0.10 T. Le côté FC mesure 30 cm et le côté CD 20 cm. Le côté FE n'est pas baigné dans le champ.
● Déterminer la force totale agissant sur la spire
La direction de la force sur chaque côté est indiquée dans la figure ci-dessous.
Les forces sur les segments FC et DE sont égales et opposées, leur résultante est nulle. La force sur le segment CD est :
Rotation d’une bobine dans un champ magnétique
Considérons une bobine rectangulaire, légère et transportant un courant I. Nous supposons
qu’elle est dans un plan vertical et libre de tourner autour d’un axe vertical. Si elle est
placée dans un champ magnétique B horizontal et uniforme, les forces sur les côtés horizontaux sont opposées et parallèles à l’axe ; elles n’ont donc aucun effet. Par contre, les forces sur les segments verticaux, dont la direction est
horizontale et perpendiculaire au champ :
(où N es le nombre de tours et lv est la hauteur de la bobine)
Ces forces tendent à faire tourner la bobine et à
(situation vue d'en haut)
P. Mermod, Université de Genève 37
QCM
Deux bobines qui peuvent tourner autour de leur axe vertical sont placées l'une à côté de l'autre et on y fait circuler des courants continus.
A) Rien ne se passe
B) Les bobines tournent et se stabilisent perpendiculaires l'une à l'autre
C) Les bobines tournent et se stabilisent parallèles l'une à l'autre
D) Les bobines tournent sans s'arrêter
QCM
Deux bobines qui peuvent tourner autour de leur axe vertical sont placées l'une à côté de l'autre et on y fait circuler des courants continus.
A) Rien ne se passe
B) Les bobines tournent et se stabilisent perpendiculaires l'une à l'autre
C) Les bobines tournent et se stabilisent parallèles l'une à l'autre
D) Les bobines tournent sans s'arrêter
Le champ produit par une bobine fait subir un moment de force à l'autre, de sorte à ce que les bobines se mettent dans une position où les champs magnétiques sont alignés.
P. Mermod, Université de Genève 39
Le galvanomètre à cadre mobile
On monte une bobine sur un pivot à ressort à l'intérieur du champ magnétique quasi-constant d'un aimant permanent. Le champ de l'aimant est tel qu'il est toujours aligné avec le plan de la bobine. Grâce au ressort, l'angle θ que fait la bobine par rapport à sa position de départ est proportionnel au moment de force. Comme le moment de force est proportionnel au courant, l’angle pointé par l’aiguille mesure le courant I dans la bobine.
Démo 218
Le moteur électrique
Le moment de force magnétique est utilisé dans le moteur électrique pour convertir de l’énergie électrique en énergie cinétique de rotation. Le principe est illustré par le montage ci-dessous. On effectue le contact électrique via un pinceau métallique de sorte à ce que le courant dans la spire soit inversé à chaque demi-tour, ainsi la rotation continue d'être alimentée dans le même sens.
DvD 20-09
