Master ISN - Universit´e de Lille 1 S´eries chronologiques
Partiel du 4 f´ evrier
Le polycopi´e et le fascicule ”Variables gaussiennes” sont autoris´es. Calculatrice in- terdite. La pr´esentation et la propret´e de la copie entreront pour une bonne part dans la note finale. Dur´ee : 3h00. Barˆeme : 3-4-4-5-4.
Dans les exercices 2 `a 5, on d´esignera par {εn, n∈Z} un bruit blanc centr´e r´eduit.
Exercice 1.
(a) Soit {Xn, n ≥1} une suite de variables al´eatoires de mˆeme loi centr´ee r´eduite. Montrer que pour tout r ∈(0,1) la s´erieX
n≥1
rnXn
est convergente presque sˆurement.
(b) On suppose de plus que lesXnsont des gaussiennes mutuellement ind´ependantes.
Montrer que la somme ci-dessus est aussi gaussienne et donner ses param`etres. Que se passe-t-il quand r→1 ?
Exercice 2.
Soit {Xn, n∈Z} le processus autor´egressif de repr´esentationXn − 5Xn−1
12 + Xn−2
24 = εn, n ∈Z.
(a) Donner un syst`eme de trois ´equations reliant σ(0), σ(1) et σ(2) et r´esoudre ce syst`eme.
(b) En utilisant l’´equation de r´ecurrence reliant σ(h+ 2), σ(h+ 1) et σ(h), calculer σ(h) pour tout h∈N. V´erifier la valeur obtenue pour σ(2).
(c) Pour tout n∈Z, donner l’expression exacte deXn en fonction desεp, p≤n.
Exercice 3.
Soit {Xn, n∈Z} le processus ARMA1,2 de repr´esentationXn − 3Xn−1
4 + Xn−2
8 = εn − εn−1
3 , n∈Z. (a) Calculer les valeurs de la suite {αn, n ∈N} telle que
1−z/3
1−3z/4 +z2/8 = 1 + α1z + α2z2 + . . . + αnzn + . . . et en d´eduire l’expression de Xn comme une moyenne mobile infinie.
(b) A l’aide de cette expression, calculer σ(0), σ(1) et σ(2).
(c) A l’aide de l’´equation de r´ecurrence, calculer σ(h) pour tout h ∈ Z. Retrouver l’expression deσ(h) directement `a l’aide de la s´erie infinie.
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Exercice 4.
Soit {Xn, n∈Z} le processus `a moyenne mobile donn´e par Xn = εn + aεn−2, n∈Zo`u a est un param`etre dans ]−1,1[.
(a) Calculerσ(h) pour tout h∈Z. (b) Calculerr(2) et r(3).
(c) Montrer que les s´eries {X2p, p∈Z} et {X2p+1, p∈Z} sont ind´ependantes. En d´eduire que r(2p+ 1) = 0 pour tout p∈Z.
(d) En utilisant l’algorithme de Durbin-Watson, calculer r(2p) pour tout p∈ Z. On rappelle que la solution d’une suite d´efinie par la r´ecurrence
un + βun−1 + un−2 = 0
est donn´ee parun =K1αn1+K2αn2 o`uα1, α2 sont les racines du polynˆome 1 +βx+x2.
Exercice 5.
Soit maintenant {Xn, n∈Z} le processus `a moyenne mobile donn´e parXn = εn + aεn−1 + bεn−2, n ∈Z.
(a) Montrer que si les racines du polynˆome 1 +aX+bX2 sont distinctes et de module strictement plus grand que 1, alors n´ec´essairement|a|<2,|b|<1 eta2 6= 4b. Montrer que si b <0, les deux racines sont de signe diff´erent. Montrer que si b > 0, les deux racines sont soit de mˆeme signe, soit complexes conjugu´ees.
(b) Calculerσ(h) pour tout h∈Z.
(c) Calculer r(2) en utilisant l’algorithme de Durbin-Watson et la notation α = 1 + a2+b2 etβ =a(1 +b).
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