D311 Feue la géométrie descriptive [*** à la main]

D311 Feue la géométrie descriptive [*** à la main]

Solution

Soit OXYZ un repère orthonormé dans un espace à 3 dimensions. A partir des projections du tétraèdre ABCD sur le plan vertical et sur le plan horizontal, il est facile de reconstituer le tétraèdre en perspective . En effet le point A est à l’intersection des droites A₁A et A₂Aqui sont respectivement parallèles aux axes OY et OZ. Il en est de même pour les points B,C et D.

D’où le tétraèdre ABCD dont les cinq arêtes visibles AB, AC, AD, BD et CD sont tracées en trait continu bleu et la sixième BC est en pointillé.

Attention : C₂D₂ n’est pas parallèle à l’axe OX et la longueur de C₂D₂ est distincte de celle de C₁D₁.

On pose A₁B₁C₁D₁= a, A₁D₁ B₁C₁= b et A₂D₂D₂B₂ B₂C₂C₂A₂ = c.

On voit que :

1) les arêtes AB = 2q et CD = 2p du tétraèdre ABCD sont égales aux diagonales du losange

2 2 2

2D B C

A . Comme leurs dimensions sont entières comme les côtés du losange

2 2D

A ,D₂B₂,…, il en résulte que le losange est fait de la juxtaposition de quatre triangles pythagoriciens (p,q,c) tous identiques.

2) les quatre arêtes AC, AD, BC et BD sont égales entre elles et ont pour dimension r. Ce sont les hypoténuses de triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont égaux à A₁D₁= b et

2 2D

A = c. Tous ces triangles de côtés (b,c,r) sont donc pythagoriciens.

3) la hauteur issue de D dans le triangle ₂ D₂B₂C₂est égale à C₁D₁= a. On a donc la relation ac = 2pq

D’autre part, le volume du tétraèdre ABCD est égal au volume du prisme dont la base est le losange A₂D₂B₂C₂ et la hauteur est égale à A₁D₁= b duquel on soustrait le volume de quatre tétraèdres de même volume dont la base triangulaire est la moitié du losange A₂D₂B₂C₂ et la hauteur est égale à A₁D₁=b.

La surface du losange est égale à 2pq. D’où l’équation 12000 = 2pqb – 4pqb/3 = 2pqb/3. Il en résulte pqb = 18000.

Il s’agit donc de trouver les entiers a,b,c,p,q,r tels que ac = 2pq, pqb = 18000, (p,q,c) et (b,c,r) sont des triplets pythagoriciens. L’analyse des valeurs de (p,q,b) satisfaisant l’équation pqb = 18000 fait ressortir un petit nombre de triplets possibles : (3,4,1500), (5,12,300), (6,8,375), (8,15,150), (10,24,75), (12,15,100), (15,20,60), (25,60,12), (30,40,15), (50,120,3). Quand on cherche dans un deuxième temps, les entiers c tels que (p,q,c) est pythagoricien, puis r tels que (b,c,r) est pyhtagoricien et enfin a tel que a = 2pq/c, il apparaît qu’il y a une seule solution donnée par p = 15 et q = 20.

D’où a = 24, b = 60, c = 25. Ce qui donne : AB = 40, AC = AD = BC = BD = 65 et CD = 30.