Théorème de D'Alembert-Gauss par les polynômes symétriques, Gourdon page 84

Théorème de D'Alembert-Gauss par les polynômes symétriques, Gourdon page 84

Pierre Lissy April 30, 2010

Lemme 1. On considère un polynôme réel de degré2ⁿq avec q impair et d61. Alors P admet une racine dansC

Proof. On va démontrer le résultat par récurrence surn.

1. Pour n= 0 c'est vrai : par le TVI, comme on a par exemple si le coecient dominant est strictement positif queP(x)→+∞en+∞et vers−∞en−∞alors il s'annule forcément.

2. Supposons le résultat vrai jusqu'au rangn−1. On sait que dans un corps de décomposition du polynôme ce dernier est scindé. On le scinde donc P = Q

(X −xi). Pour c ∈ R on pose yi,j = xi+xj +cxixj. On va montre que pour un certain ic et jc on a yi_c,j_c ∈ C.

PosonsQ=Q

i<j(X−yi,j). C'est un polynôme symétrique à coecients réels en lesxi, on peut donc par théorème l'écrire comme un polynôme à coecients réels en les polynôems symétriques élémentaires des xi qui sontles coecients de P et sont donc réels. Ainsi les coecients deQsont réels. De plus, le degré deQest le cardinal dei < j, doncPd

1(j−1) = d(d−1)/2 = 2ⁿq(d−1)/2 = 2ⁿ⁻¹q(d−1),ce qui est de la forme2ⁿ⁻¹q⁰ avecq⁰ impair. Ainsi, par hypothèse de récurrence le polynômeQadmet une racine complexe, autrement dit l'un desy_i,j est complexe, ce qui est ce qu'on voulait. On a ainsi construir une application de R dans un ensemble ni, l'ensemble desi < j. Il existe donc c et c⁰ distincts tels quei_c =i_c⁰ et j_c =j_c⁰. Posonsi_c =i_c⁰ = (r, s). On a (x_r+x_s) +cx_rx_set (x_r+x_s) +c⁰x_rx_s qui sotn complexes avecc et c⁰ diérents. Ainsi, x_rx_s et x_rx_ssont des complexes. Ainsi ce sont des racines d'un polynôme complexe et donc xr ∈C et xs ∈ C. le polynôme a donc au moins une racine complexe.

Comme tout nombre se met sous la forme2ⁿqaveqimpair, on en déduit déjà que tout polynôme réel admet une racine eventuellement complexe. Pour étendre le résultat dansC[X]. On considère un polynôme complexeF ∈C[X]. Alors on voit clairement queFF¯ est un polynôme réel. En eet si on écritF =P

aiXⁱ alorsF¯ =P

¯

aiXⁱ et les coecients sont lesP

ai¯an−j, donc déjà dans le casn pair on obtient des termes tous conjugués deux à deux et c'est donc réel, et dans le casn impair on obtient destermes conjugués deux à deux à part un terme qui est un carré et est donc réel. On a donc soit une racine deF et dans ce cas c'est gagné, ou alors une racine deF¯ notéeα. Mais alors clairement commeF¯(α) = 0alors en repassant à la barre on aF( ¯α) = 0etF admet au moins une racine.

References

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