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A1740 – Mano a mano (2

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Academic year: 2022

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A1740 – Mano a mano (2ème épisode) [*** à la main]

Existe-t-il une progression arithmétique de : a) 11 entiers positifs,

b) 2021 entiers positifs,

c) une infinité d’entiers positifs,

tels que les sommes des chiffres de chacun d’eux en représentation décimale forment aussi une progression arithmétique ?

Solution proposée par Daniel Vacaru

Soit an = 99n,.

Nous allons prouver que la somme des chiffres de chaque élément de la suite est 18, en résolvant Q3, ce qui entraine la résolution de Q1 et Q2.

Avec a1 = 99, tout est évident. Regardons la multiplication et rappelons-nous comment soustraire.

Nous avons ak b1b2b3....bn 99kAlorsak199(k1)99k99b1b2b3....bn99

Par conséquent, seuls les trois derniers chiffres seront affectés. Le dernier chiffre devient bn – 1, s'il n'est pas égal à 0, l'avant-dernier reste égal et une unité est ajoutée à l'avant-dernier.

Si le dernier chiffre est 0, il devient 9, mais la somme des chiffres reste constante.

La somme des nombres qui composent les nombres dans cette progression arithmétique est donc constante, à savoir 18.

Références

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