Q₁ Existe-t-il une progression arithmétique (PA) de 11 entiers positifs tels que les sommes des chiffres de chacun d’eux en représentation décimale forment aussi une progression arithmétique ? Q₂ Même question avec une PA de 2021 entiers positifs.
Q₃ Même question avec une PA d’une infinité d’entiers positifs.
La PA de raison 1 partant de 0 a une somme de chiffres (SDC) qui croit de 0 à 9,
décroche à 1 et remonte à 10, décroche à 2 et remonte à 11, ..., décroche à 9 et remonte à 18 puis décroche à 1et remonte à 10, etc...
La PA de raison 9 partant de 0 a une SDC qui reste 10 fois égale à 9, avec un échelon à 18, puis revient à 9, ...
Q1 : Donc la PA de raison 901 et premier terme 900 répond à la question : 11 termes : 900, 1801, 2702, 3603, 4504, 5405, 6306, 7207, 8108, 9009, 9910 dont les SDC vont de 9 à 19.
Q2 : Montrons que pour tout k, il existe une PA dont la SDC de 9*10k termes forme aussi une PA. On peut l’obtenir à partir de 9*10k termes des PA de raison 1 avec des premiers termes allant de 1 à 10k-1.
Ainsi pour k=1, la SDC de la PA de premier terme 9080706050403020100 et de raison 1010101010101010101, forme une PA de raison 1, de 45 jusqu’à 135 soit 91 termes.
Pour avoir au moins 2021 termes dont les SDC forment une PA, on prendra k=3, en partant d’un premier terme égal à 9990998...00010000 avec une raison égale à ∑104i où 0≤i≤998 (on obtient en fait 9001 termes jusqu’à 99999998...90019000 dont les SDC sont en PA de 4995 à 13995).
Q3 : Il est cependant impossible d’obtenir une PA dont les SDC formeraient une PA infinie (les entiers étant positifs, la PA ne peut être que croissante) ; en effet pour toute PA de premier terme a de raison r, le nombre de chiffres de a+nr est majoré par
1+log(a+nr), donc la SDC par 9(1+log(a+nr)), et la concavité de la fonction logarithme fait qu’elle sera dépassée par toute PA croissante, d’où l’impossibilité.
