A1740 – Mano a mano (2

A1740 – Mano a mano (2^ème épisode) [*** à la main]

Existe-t-il une progression arithmétique de : a) 11 entiers positifs,

b) 2021 entiers positifs,

c) une infinité d’entiers positifs,

tels que les sommes des chiffres de chacun d’eux en représentation décimale forment aussi une progression arithmétique ?

Solution proposée par Jacques Guitonneau

Q1

En partant du nombre 9080706050403020100, avec une raison de 1010101010101010101 on obtient les dix chiffres suivants : 100908070605040302010, 111009080706050403020 ; 121110090807060504030;

131211100908070605040 ;141312111009080706050 ;151413121110090807060 ; 161514131211100908070 ; 17161514131211100908 ;18171615141312111009 ; 19181716151413121110.La somme des chiffres décimaux de cette suite arithmétique varie de 45 à 56 , soit une suite arithmétique de raison 1.

Q2

Pour trouver une suite de 2021 entiers positifs, dont la somme des chiffres soit une suite arithmétique, partons du nombre : ∑i=1 à 999 i.10^4.i avec une raison égale à ∑i=0 à 999 1.10^4.i.

La somme des nombres décimaux est alors une suite arithmétique de raison 1 qui varie de 13500 soit 45.3.100 jusqu’à 13500 +2021.En effet le nombre initial revient en fait à accoler 1000 nombres à 4 chiffres, allant de 0 à 999, Puis on ajoute à chaque étape un 1 à chacun de ces nombres. Tant qu’il y a moins de 9000 opérations, les nombres restent bien à 4 chiffres. A chaque étape on a un seul nombre qui passe d’une forme a999 à (a+1)000, 9 nombres qui passent de la forme ab99 à a(b+1)00, et 90 nombres qui passent de la forme abc9 à ab(c+1)0 et 900 nombres qui passent de la forme abcd à abc(d+1). On vérifie que la somme des chiffres décimaux varie à chaque étape de la valeur suivante : 900 – 26 – 9.17 – 90.8 =1.

Q3

De façon plus générale, pour trouver une suite de N nombres répondant aux critères de la question, si N est compris entre 9.10^p + 1 et 9.10*(p+1) bornes comprises, on peut la construire à partir du nombre initial N=∑i=0 à 10^p – 1 i.10*(p+1).i avec une raison égale à ∑i=0 à 10^p-1 1.10*(p+1).i.La somme des chiffres décimaux croit de 1 à chaque étape et varie de p.45.10^(p – 1) à p.45.10^(p-1) + N – 1.

Toutefois si N est infini, avec un premier terme qui un entier x est de k chiffres et une raison r, les termes x + r.10^k et x +r.10^2k ont même somme des chiffres. Contradiction.Il n’y a donc pas de PA ayant une infinité de termes qui répond aux conditions de l’énoncé.