A1740. Mano à mano (2ème épisode)
A/ Progression arithmétique sans mise en œuvre de retenue :
Il n'y a qu'une possibilité de progression arithmétique concernant les sommes des chiffres en base 10 d'entiers consécutifs ou en progression arithmétique de raison 10n :
Nombres Somme des chiffres A + B ≤ N = A + j 10n + B ≤ A + 9 10n + B Si ≤ Si + j ≤ Si + 9
(A = multiple de 10n+1 et B < 10n ) càd des PA de 10 entiers.
Si la raison est différente de 10n et que la ou les premières opérations se font sans retenue, on atteint plus tôt la première opération avec retenue, et la PA a moins de 10 termes.
B/ Progression arithmétique avec retenue sytématique :
On peut obtenir une autre sorte de PA de longueur plus grande que n'importe quelle valeur sur le modèle de celles-ci (la PA se termine à la première opération sans retenue) :
Valeur initiale Raison Longueur Somme des chiffres
9 9 10 9
99 99 100 18
999 999 1000 27
9999 9999 10000 36
La PA de la somme des chiffres est particulière puisque la raison est toujours nulle.
On peut donc répondre positivement aux 3 questions posées. Pour Q2, si l'on veut que la PA se termine au bout de 2021 termes exactement, il suffit de choisir en conséquence le premier terme.
