A1740 – Mano a mano (2ème épisode) [*** à la main]
Existe-t-il une progression arithmétique de : a) 11 entiers positifs,
b) 2021 entiers positifs,
c) une infinité d’entiers positifs,
tels que les sommes des chiffres de chacun d’eux en représentation décimale forment aussi une progression arithmétique ?
Solution proposée par Bernard Vignes
Remarque liminaire : on considère que les progressions arithmétiques (PA) de k entiers ( k = 11 puis 2021 puis infinité dénombrable) et celles des sommes des chiffres de chacun d’eux sont strictement croissantes avec des raisons > 0.
a) Réponse : oui
On considère la PA de premier terme u₁ = 9 et de raison r = 109. Les dix termes suivants sont 118, 227, 336, 445, 554, 663, 772, 881, 990, 1099 dont les sommes des chiffres sont respectivement égales à 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 et 19.
b) Réponse : oui
Soit la PA dont le premier terme est égal à v₁ = 1 + 2.10⁵ + 3.10¹⁰ + 4.10¹⁵ + ….+ 10⁴.10⁴⁹⁹⁹⁵ et la raison est égale à 1 + 10⁵ + 10¹⁰ + 10¹⁵ + ….+ 10⁴⁹⁹⁹⁵. Les sommes des chiffres des 10000 premiers termes (donc a fortiori celles des 2021 premiers termes) forment une progression arithmétique.
c) Réponse : non
Supposons que les sommes des chiffres forment une progression arithmétique strictement croissante avec le premier terme égal à a et la raison r. Si l’entier a est de k chiffres, les termes a + r.10k et a +r.102k ont même somme des chiffres. Contradiction.
