E621 : Les lignes de partage
Plus généralement, soient 2n points du plan, dont 3 quelconques ne sont pas alignés, et dont n sont coloriés en rouge, et n en bleu. Considérons l’enveloppe convexe de cet ensemble de points, c’est-à-dire le plus petit polygone convexe contenant tous ces points. Les sommets de ce polygone sont au moins au nombre de trois, et appartiennent tous à l’ensemble initial.
Si ses sommets ne sont pas tous de la même couleur, il y a au moins deux cotés de ce polygone joignant deux points de couleurs différentes, et les droites portant ces cotés répondent à la question, puisqu’il y a alors n-1 points de chaque couleur d’un coté et zéro de l’autre.
Si les cotés du polygone sont tous de la même couleur (bleus par exemple), considérons trois sommets consécutifs B0, B1,B2 (dans le sens des aiguilles d’une montre), une droite D variable, tournant autour de B1 dans le sens trigonométrique, et la fonction k(D) égale à la différence entre le nombre de points rouges et le nombre de points bleus d’un coté fixé de la droite. Ainsi, lorsque D passe par B0, tous les points autres que B0 et B1 sont du même coté et k=2 ; de même lorsque D passe par B2, k=-2 ; or, puisque 3 points colorés ne sont jamais alignés, lorsque D tourne de façon continue autour de B1, k est une fonction en escalier, ne variant que d’une unité à chaque saut (plus précisément, elle augmente d’une unité lorsque l’on arrive sur un point bleu, et diminue d’une unité au passage d’un point rouge : pour passer de la valeur 2 à la valeur -2, elle doit passer donc par la valeur 0, en diminuant, c’est à dire lorsqu’un point rouge est aligné avec B1. On a donc dans ce cas au moins autant de droites répondant à la condition fixée que de sommets de polygone enveloppe convexe (au moins trois)
