E621. Les lignes de partage
On donne 2008 points dans le plan qui pris 3 par 3 ne sont jamais colinéaires. On suppose que la moitié d’entre eux sont coloriés en rouge et les autres en bleu. Montrer qu’il existe au moins deux droites distinctes passant l’une et l’autre par un point rouge et par un point bleu telles que d’un même côté de chacune d’elles il y a autant de points rouges que de points bleus.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Considérons un nuage de points rouges et points bleus, sans colinéarités, et avec 2.
Le contour convexe de ce nuage est un polygone formé d’au moins trois points du nuage, dont au moins deux de la même couleur. On peut supposer, sans nuire au résultat, qu’il s’agit de la couleur rouge (les deux couleurs jouent un rôle symétrique dans le problème). Considérons donc le premier point rouge du contour et donnons-lui le numéro 1.
Pour simplifier la formulation de ce qui suit, supposons la figure orientée de sorte que le point 1 se situe au bas de celle-ci. On trace alors de gauche à droite (dans le sens horaire) les droites qui relient le point 1 aux autres points du nuage. On numérote ces points, au fur et à mesure, comme illustré sur la figure ci-dessous.
Parmi les droites ainsi tracées, joignent le point rouge 1 aux points bleus. Parcourons ces droites dans l’ordre.
L’une au moins laisse à sa gauche un nombre égal de points rouges et de points bleus.
En effet : la première droite laisse à sa gauche aucun point bleu et un certain nombre positif ou nul de points rouges ; chaque droite suivante laisse à sa gauche un point bleu supplémentaire et un certain nombre positif ou nul de points rouges supplémentaires ; la dernière droite laisse à sa gauche 1 points bleus et au plus 1 points rouges.
Ainsi, si on représente ce compte par une courbe, celle-ci « traverse » nécessairement la « diagonale ». La « pente » de cette courbe étant entière positive ou nulle, elle possède en outre au moins un point sur la « diagonale ».
On a ainsi construit une droite passant par un point rouge et un point bleu dont un même côté possède autant de points rouges que de points bleus. On applique le même procédé au second point rouge sur le contour pour construire une seconde ligne de partage, nécessairement différente de la première.
1
1 2
3 4
5 6
7 8
Points bleus
Points rouges
