COLLECTION MATHÉMATIQUE
ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ
AUTOUR DU
CERCLE INSCRIT A UN TRIANGLE
Jean-Louis AYME 1
18. 01.
PERPENDICULAIRE À
UNE DROITE PASSANT PAR I
A
B C
I
D
1 D'
Y
X
Td' B'a
Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour du cercle inscrit à un triangle et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque problème.
1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 30/11/2016 ; jeanlouisayme@yahoo.fr
Cette collection construite d'une façon linéaire par accumulation se poursuit…
Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un résultat est laissée aux soins du lecteur.
Un renvoi comme ''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de la même section.
Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de ''la section 12''.
Un foot note précise une origine du problème, une signification ou renvoie à un article de l'auteur.
Abstract. The author presents a collection of problems around the circle inscribed in a triangle and whose context refers to the above title. Often original proof, comments and historical notes accompany each problem.
This linearly collection builts by accumulation continues...
The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated synthetically.
Warning. The author recalls that the triangular vision of a result is left to the reader care.
A reference as ''Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of the same section.
A reference like ''12. Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of ''section 12''.
A foot note specifies an origin of the problem,
Sommaire
A. Récapitulation 3 B. Les problèmes résolus 6 C. Lexique Français-Anglais
3 A. RÉCAPITULATION
1. (IY) est perpendiculaire à (IX) A
B C
I D
1 D'
Y
X
Td' B'a
5
C. LES PROBLÈMES
7 PROBLÈME 1 2
Sharygin 2020 Correspondence Round Problem 20
VISION
Figure :
A
B C
I
D
1 D'
Y
X
Td' B'a
Traits : ABC un triangle,
0, 1 les cercles circonscrit, inscrit à ABC, I le centre de ABC,
D le point de contact de 1 avec (BC), D' l'antipôle de D relativement à 1, Td' la tangente à 1 en D',
B'a la A-bissectrice extérieur de ABC, X le point d'intersection de B'a et Td', et Y le premier A-perpoint de ABC.
Donné : (IY)) est perpendiculaire à (IX).
VISUALISATION
2 Angle XIY is right!, AoPS du 04/03/2020 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h2021513_angle_xiy_is_right
A
B C
I
D
1 D'
O Y
X
Td' B'a
M
• Notons O le centre d e0 et M le milieu de [BC].
• Scolies : (1) X, A et Y sont alignés
(2) Y, O et M sont alignés
(3) (AI) est la A-bissectrice intérieur de ABC (4) (AI)⊥B'a
(5) (MOY)⊥(XD').
A
B C
I
D
1 D'
O Y
D'' X
Td' B'a
M X
• Notons D'' l'isotome de D relativement à [BC]
et X le point d'intersection de (AD'') et (MOY).
• D'après 02.00 Problème 1 3, A, D' et D'' sont alignés.
9
par culture géométrique, (BC)⊥(MY) ;
en conséquence, (IX) // (MY).
A
B C
I
D
1 D'
O Y
D'' X
Td' B'a
M X
2
• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', A, I, X et Y sont cocycliques.
• Notons 2 ce cercle.
A
B C
I
D
1 D'
O Y
D''
X Td'
B'a
M X
2
3
• Notons 3 le cercle de diamètre [IX] ; il passe par A.
4 Ayme J.-L. Autour du cercle inscrit, G.G.G. vol. 50 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
A
B C
I
D
1 D'
O Y
X Td'
B'a
X 2
3
• D'après ''Deux cercles orthogonaux, version cordale'' 5,
appliqué aux cordes perpendiculaires [XY] et [D'X], 2 est orthogonal à 3.
• Conclusion : d'après Ferdinand Möbius 6 appliqué à 2 et 3, (IY)) est perpendiculaire à (IX).
