Une parure diophantienne
Problème D1917 de Diophante Proposé par Dominique Roux
Une parure est constituée de n anneaux circulaires en or de même rayon r, alignés les uns à la suite des autres et tangents deux à deux comme le montre
l’illustration ci-après. Quand on tend deux fils dorés entre l’extrémité P1 du premier anneau et les deux points de tangence T et T’ du dernier anneau, leurs points
d’intersection avec les n-1 premiers anneaux déterminent n-1 paires de cordes Pi Qi et P'i Q'i pour i = 1, 2, … , n–1.
Trouver le plus petit nombre d’anneaux n et le plus petit rayon r exprimé en nombre entier de millimètres tels qu’il existe exactement 2 paires de cordes parmi les n–1 dont les dimensions s’expriment aussi en nombres entiers de millimètres.
Mêmes questions s’il y a exactement 3 et 4 paires de cordes de dimensions entières.
Solution
On note Oi le centre du ième cercle et Hi la projection de Oi sur la corde Pi Qi. La distance du centre Oi Hi vaut (2i-1) u, où l'unité u = r / (2n-1). Ainsi, pour tout i le cosinus(Hi Oi Pi), qui vaut (2i-1) / (2n-1), est rationnel.
Lorsque la mesure de la corde Pi Qi est un entier, le triangle Oi Pi Hi est
nécessairement pythagoricien. Les plus petits triangles pythagoriciens connus sont : 3, 4, 5 ; 5, 12, 13 ; 8, 15, 17 ; 7, 24, 25 ; 20, 21, 29 ; ...
D'où une solution relative aux deux triangles 7, 24, 25 et 15, 20, 25 pour n = 13 et r = 25 mm : la 4ème corde mesure 48 mm et la 8ème corde mesure 40 mm.
Pour trois paires de cordes aux dimensions entières, on peut considérer les trois triangles 91, 312, 325 ; 125, 300, 325 et 195, 260, 325 pour n = 163 et r = 325 : la 46ème corde mesure 624 mm ; la 63ème corde mesure 600 mm et la 98ème corde mesure 520 mm.
Pour quatre paires de cordes aux dimensions entières, on peut considérer les quatre triangles 1547, 5304, 5525 ; 2125, 5100, 5525 ; 3315, 4420, 5525 et 4875, 2600, 5525 pour n = 2763 et r = 5525 : la 774ème corde mesure 10 608 mm ; la
1 063ème corde mesure 10 200 mm ; la 1658ème corde mesure 8 840 mm et la 2438ème
corde mesure 5200 mm.
