1. Opérations sur les Vecteurs

1. Opérations sur les Vecteurs

1.1 VECTEURS DANS UN PLAN

Soient deux vecteurs u_et v _{tels que} u(2,3,0) _et v(1,4,0)_. 1- Représenter les vecteurs u_et v dans le repère (O,x,y,z)_.

2- Déterminer le vecteur w _{tel que} wuv, de façon analytique et de façon géométrique, et tracer w dans le repère (O,x,y,z)_.

3- Déterminer le vecteur a _{tel que a}1,5._u, de façon analytique et de façon géométrique, et tracer a dans le repère (O,x,y,z)_.

4- On note  (x,v), tracer cet angle, calculer sa valeur en radians, puis vérifier par mesure.

1.2 PRODUIT VECTORIEL_EXERCICE 1 Soit le repère (O,x,y,z)_et a un vecteur.

1- Donner les coordonnées des vecteurs x_{, y} et

z 

3- Calculer aa. En déduire xx, ^yy et

z   z 

4- Sachant que ab= -(b a

 ), en déduire ^yx, zx et ^{z y}.

1.3 PRODUIT VECTORIEL_EXERCICE 2

Soient trois vecteurs U , V et A tels que U (1,2,0), V (3,2,1) et A 2U 1- Calculer le vecteur _W tel que _{W U V} .

2- Calculer le vecteur A puis le vecteur B tel que B  A^V ^.

Vérifier l’égalité suivante : (aU)(bV)ab(UV) avec a et b constants.

1.4 PRODUIT VECTORIEL_EXERCICE 3 Soient deux vecteurs U , et V colinéaires.

1- Donner une relation liant _U , et _V .

2- Calculer le vecteur _W tel que _{W U V} . Conclure.

1.5 PRODUIT SCALAIRE VS PRODUIT VECTORIEL

On considère le repérage ci-contre.

1- Exprimer y₁ et z₁ dans le repère R0.

2- Calculer y1x0 , y1y0 , y1z0 , puis faire de même pour z₁ . 3- Calculer x₀^y₁, y₀^y₁, z₁^z₀

Conclusion :

 ^y

z

z

1

0

x

x 

2. Forces – Moments Ex1 :

Deux forces

et

agissent sur le palier en A.

Déterminer les coordonnées de

et de

. En déduire la valeur de la résultante de ces deux forces.

Ex2 :

Les actions mécaniques sur cette roue de 3 autres roues dentées sont modélisées par les forces

   F F F₁, ₂, ₃

.

Déterminer la résultante de ces 3 forces.

Calculer le moment en O de chacune des forces,

puis le moment des 3 forces.

3. Ecriture d’actions mécaniques

Échelle : 1cm pour 10 N (en vert pour les résultantes) 1cm pour 10 N.m (en rouge pour les moments)

EXEMPLE Action Mécanique TORSEUR associé

Ex1 :

F

 15 N

Ex2 :

m N

axe moteur

M

 15 .

Ex3 : Tournevis :

« on appuie et on tourne pour visser »

N

vis tournevis

F   10

m N

vis tournevis

M F ^{  22 .}

un peu plus difficile maintenant Ex4 :

F

 10 N

OF = 50mm Y

X F

O Y

X

Y

X

F

F

O

Y

Z

X

EXEMPLE Action Mécanique / Torseur associé Ex5 :

A homme  poignée  10 N

N Bhommepoignée10

On sépare le torseur {hommepoignée} en deux :



 

 



Déterminer :









Ex6 :

A

 44 N

B

 44 N

OA = OB = 200 mm 50

Y

Z

X

A B

O

Y

Z

X O

A

B

4. Compléter les torseurs des actions mécaniques transmissibles.

Liaison Liaison Pivot Glissant

A A A