OLIVIER CASTÉRA
Résumé. Le tenseur d’inertie calculé dans le repère principal d’inertie ayant pour centre le centre d’inertie d’un solide est une caractéristique intrinsèque de ce solide. Il apparait natu- rellement dans l’expression du moment d’inertie (répartition de la masse autour d’un axe de rotation) qui est nécessaire pour le calcul du moment cinétique d’un solide, ou de son énergie cinétique de rotation.
Table des matières
1 Moment d’inertie 1
2 Tenseur d’inertie 2
3 Repère principal d’inertie 4
3.1 Moments principaux d’inertie 5
3.2 Axes principaux d’inertie 5
3.3 Ellipsoïde d’inertie 7
3.4 Théorème de Huygens 7
4 Moment cinétique 8
4.1 Moment cinétique par rapport à un point 8
4.2 Projection du moment cinétique sur l’axe de rotation 10
4.3 Lien entre tenseur d’inertie et moment d’inertie 11
5 Energie cinétique d’un solide 11
6 Annexe 12
1 Moment d’inertie
Soit un solideS et soit ∆ un axe quelconque ne passant pas nécessairement parS, de direction fixe dans le repèreR.
∆
+ + r (S)
Fig 1. Solide et axe de rotation quelconques
Date: 28 mars 2021.
Le moment d’inertie du solideS par rapport à l’axe ∆ est un réel qui caractérise l’inertie en rotation du solide S autour de l’axe ∆.
Définition 1.1. Moment d’inertie
Le moment d’inertie d’un système par rapport à un axe ∆, est la somme des masses mi de ce système, pondérées par leurs distances ri à l’axe au carré :
I∆=∆ X
i
mir2i Dans le cas d’un système continu :
Définition 1.2. Moment d’inertie
Le moment d’inertie par rapport à un axe∆, d’un solideSde volumeV et de masse volumiqueρ, a pour expression :
I∆
=∆
Z Z Z
V ρ r2d3V
Le moment d’inertie dépend du choix de l’axe ∆ mais pas du choix du repèreR, car seule la distance à l’axe intervient.
Remarque. Lorsque le solide est homogène, sa densité est constante dans l’espace et l’on peut sortir ρ de l’intégrale de volume.
2 Tenseur d’inertie
Cherchons l’expression du moment d’inertie par rapport à un axe quelconque ∆, en fonction du tenseur d’inertie. Soit R un repère orthonormé dont le centre O est sur l’axe ∆. Soit un élément de volume du solide S, de masse dm, situé au point M tel que OM(x1, x2, x3).
Soit u(u1, u2, u3) un vecteur unitaire de l’axe ∆, et soit H la projection orthogonale de M sur l’axe ∆, tel que r =MH.
x2 x3
x1
O
∆
+ M H+ r (S)
R
u
En appliquant le théorème de pythagore dans le triangleOMH rectangle enH : MH2 =OM2−OH2
=OM2−(OM ·u)2
=x12+x22+x32−(u1x1 +u2x2+u3x3)2
Le vecteur u étant unitaire
u·u =u12+u22+u32
= 1 si bien que :
MH2 =
u12+u22+u32 x12+x22+x32
−u1x1 +u2x2+u3x32
=
x12+x22+x32
u12+
x12+x22 +x32
u22 +
x12+x22+x32
u32
−
u12x12+u22x22+u32x32+ 2x1x2u1u2+ 2x2x3u2u3+ 2x1x3u1u3
=
x22+x32
u12+
x12+x32
u22+
x12+x22
u32
−2x1x2u1u2−2x2x3u2u3−2x1x3u1u3
Ecrivons l’expression du moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ : I∆ =
ZZ Z
V ρ MH2dV
=u12
Z
V ρ
x22+x32
d3V +u22
Z
V ρ
x12 +x32
d3V +u32
Z
V ρ
x12+x22
d3V
−u1u2
Z
V ρ 2x1x2d3V −u2u3
Z
V ρ 2x2x3d3V −u1u3
Z
V ρ 2x1x3d3V (1) Nous avons alors :
I∆=
u1R ρh(x2)2+ (x3)2id3V −u2R ρ x1x2d3V −u3R ρ x1x3d3V
−u1R ρ x1x2d3V u2R ρh(x1)2+ (x3)2id3V −u3R ρ x2x3d3V
−u1R ρ x1x3d3V −u2R ρ x2x3d3V u3R ρh(x1)2+ (x2)2id3V
·
u1 u2 u3
=
R ρh(x2)2+ (x3)2id3V −R ρ x1x2d3V −R ρ x1x3d3V
−R ρ x1x2d3V R ρh(x1)2+ (x3)2id3V −R ρ x2x3d3V
−R ρ x1x3d3V −R ρ x2x3d3V R ρh(x1)2+ (x2)2id3V
u1 u2 u3
·
u1 u2 u3
= [I]Ou·u (2)
=u·[I]Ou
où [I]O est le tenseur d’inertie du solide S calculé au centre O du repère R. La première opération [I]Ouest la multiplication de la matrice [I]O par le vecteuru, elle donne un vecteur.
La seconde opération est le produit scalaire de deux vecteurs.
Les composantes du tenseur d’inertie sont des fonctions de x1, x2 et x3, il dépend donc du choix du repère R(position du centre O et orientation des axes). En revanche il ne dépend pas de l’axe ∆.
Dans l’expression du premier terme diagonal, (x2)2 + (x3)2 est la distance au carré à l’axe x1. Les termes diagonaux sont par conséquent les moments d’inertie par rapport aux axes x1, x2, x3 du repèreR. Les opposés des termes non diagonaux sont appelésproduits d’inertie.
Exemple.
Supposons que l’axe ∆ soit confondu avec l’axe x3, I3 = [I]Ok·k
=ρ
R h
(x2)2+ (x3)2id3V −Rx1x2d3V −R x1x3d3V
−R x1x2d3V R h(x1)2+ (x3)2id3V −R x2x3d3V
−R x1x3d3V −Rx2x3d3V R h(x1)2+ (x2)2id3V
0 0 1
·
0 0 1
=ρ
−RRR x1x3d3V
−RRR x2x3d3V
RRR h
(x1)2+ (x2)2id3V
·
0 0 1
=ρ
Z ZZ
x12+x22
d3V
qui est le moment d’inertie par rapport à l’axe x3. Définition 2.1. Tenseur d’inertie
Le tenseur d’inertie d’un solide de volumeV et de masse volumiqueρ, calculé au centreO d’un repère R s’écrit :
[I]O =∆
RRR ρh(x2)2 + (x3)2id3V −RRR ρ x1x2d3V −RRRρ x1x3d3V
−RRR ρ x1x2d3V RRR ρh(x1)2+ (x3)2id3V −RRRρ x2x3d3V
−RRR ρ x1x3d3V −RRR ρ x2x3d3V RRR ρh(x1)2+ (x2)2id3V
=
I11 −I12 −I13
−I21 I22 −I23
−I31 −I32 I33
où la convention de signe permet d’avoir I12=RRR ρ x1x2d3V. Notation. Le tenseur [I] est aussi noté I, ⇒I,
↔
I, ˆI,=I, I
≈, et en notation indicielle Iij : I∆=Iijuiuj
Le tenseur d’inertie prend en entrée deux vecteurs et donne en sortie un scalaire, c’est une forme bilinéaire appelée tenseur deux fois covariant. Les indices sont donc en bas.
Il faut deux indices pour repérer ses éléments, c’est donc un tenseur d’ordre deux. Il est symétrique :
Iij =Iji
Chaque indice pouvant prendre trois valeurs, il appartient à un espace vectoriel de dimension 3.
La dimension de l’espace puissance l’ordre du tenseur donne le nombre de composantes du tenseur, soit 32 = 9 composantes.
3 Repère principal d’inertie
Comme tout tenseur symétrique d’ordre deux, le tenseur d’inertie en tout point O peut être diagonalisé. Il existe donc un repère principal d’inertie (O,n1,n2,n3), composé de trois axes principaux d’inertie passant par O, dans lequel le tenseur d’inertie est diagonal. Plaçons-nous dans un repère R de centre O et cherchons l’expression des vecteurs propres Pi et des valeurs propres Ii solutions de l’équation aux valeurs propres :
[I]OPi =IiPi
3.1 Moments principaux d’inertie
Soit I un scalaire, et soit P(p1, p2, p3) un vecteur non nuls tels que l’on ait :
I11 −I12 −I13
−I21 I22 −I23
−I31 −I32 I33
p1 p2 p3
=
I 0 0 0 I 0 0 0 I
p1 p2 p3
I−I11 I12 I13
I21 I−I22 I23
I31 I32 I−I33
p1 p2 p3
=
0 0 0
(3)
Avant de chercher à résoudre ce système, cherchons les conditions pour qu’il y ait des solutions.
Ce système admet des solutions non triviales (différentes de zéro) si le déterminant de la matrice des coefficients est nul,
I−I11 I12 I13 I21 I−I22 I23 I31 I32 I −I33
= 0 qui donne l’équation caractéristique :
(I−I11)[(I−I22)(I−I33)−I32I23]−I21[I12(I−I33)−I32I13] +I31[I12I23−(I−I22)I13] = 0 C’est un polynôme P du troisième degré en I
P =I3+a1I2+a2I+a3
qui admet trois racines I1, I2, I3. Ces trois solutions de l’équationP = 0 sont les valeurs propres du tenseur d’inertie, aussi appelées moments principaux d’inertie au pointO. Pour la première valeur propre nous avons :
I11 −I12 −I13
−I21 I22 −I23
−I31 −I32 I33
p11
p21
p31
=
I1 0 0 0 I1 0 0 0 I1
p11
p21
p31
3.2 Axes principaux d’inertie
Il reste à résoudre le système (3) p.5 avec les différentes valeurs possibles de I. Commençons par la valeur propre I1 associée au vecteur propre P1(p11, p21, p31) :
I1−I11 I12 I13
I21 I1−I22 I23 I31 I32 I1−I33
p11
p21
p31
=
0 0 0
(4)
(I1−I11)p11+I12p21+I13p31 = 0 I21p11+ (I1−I22)p21+I23p31 = 0 I31p11+I32p21+ (I1 −I33)p31 = 0
Nous n’avons pas besoin de résoudre ce système car nous n’avons besoin que de la direction du vecteur P1. Nous laissons p11 sous forme de variable :
I12p21
p11
+I13p31
p11
=I11−I1 (I1−I22)p21
p11
+I23
p31
p11
=−I21
I32
p21
p11
+ (I1−I33)p31
p11
=−I31
Deux équations parmi ces trois suffisent à trouver les rapports p21/p11 et p31/p11, c’est à dire la direction dans R du premier axe principal d’inertie :
"
I12 I13
(I1−I22) I23
# p21/p11
p31/p11
!
= I11−I1
−I21
!
Appelons ∆ le déterminant de la matrice des coefficients des inconnues et résolvons par la méthode de Cramer :
p21
p11
= 1
∆
I11−I1 I13
−I21 I23
et p21
p11
= 1
∆
I12 I11−I1
(I1−I22) −I21
Nous procédons de même pour les deux autres directions des axes principaux d’inertie. Ainsi il existe un repère principal d’inertie en tout point O.
Montrons que les directions principales sont orthogonales. Désignons les directions des axes principaux d’inertie par les vecteurs unitaires n1,n2,n3, et faisons apparaitre leurs produits scalaires. Pour n1 le système (4) s’écrit :
I1−I11 I12 I13
I21 I1−I22 I23
I31 I32 I1−I33
n11
n21
n31
=
0 0 0
I1n11 =I11n11−I12n21 −I13n31
I1n21 =−I21n11+I22n21−I23n31
I1n31 =−I31n11−I32n21+I33n31
⇒
I1n11n12 =I11n11n12−I12n21n12−I13n31n12
I1n21n22 =−I21n11n22+I22n21n22−I23n31n22
I1n31n32 =−I31n11n32−I32n21n32+I33n31n32
I1n1·n2 =
I11n11 −I12n21 −I13n31
−I21n11 I22n21 −I23n31
−I31n11 −I32n21 I33n31
·n2
De même
I2n2·n1 =
I11n12 −I12n22 −I13n32
−I21n12 I22n22 −I23n32
−I31n12 −I32n22 I33n32
·n1
Or par symétrie du tenseur d’inertie
I11n11 −I12n21 −I13n31
−I21n11 I22n21 −I23n31
−I31n11 −I32n21 I33n31
·n2 =
I11n12 −I12n22 −I13n32
−I21n12 I22n22 −I23n32
−I31n12 −I32n22 I33n32
·n1
donc
I1n1·n2 =I2n1·n2
(I1 −I2)n1·n2 = 0
SiI1 6=I2 alors n1·n2 = 0 et les axes principaux d’inertie sont orthogonaux deux à deux.
Cherchons l’expression du tenseur d’inertie dans le repère principal d’inertie. Soit ω un axe de rotation quelconque :
ω =ω1n1+ω2n2+ω3n3
Soit σ tel que :
σ = [I]ω
σ1n1+σ2n2+σ3n3 = [I](ω1n1+ω2n2+ω3n3)
=ω1[I]n1+ω2[I]n2+ω3[I]n3
=ω1I1n1+ω2I2n2+ω3I3n3
Par conséquent
σ1 =I1ω1 σ2 =I2ω2 σ3 =I3ω3
⇒
I1 0 0 0 I2 0 0 0 I3
ω1 ω2 ω3
=
σ1 σ2 σ3
Nous avons alors l’expression du tenseur principal d’inertie :
I1 0 0 0 I2 0 0 0 I3
Le tenseur principal d’inertie calculé dans le repère principal d’inertie ayant pour centre le centre d’inertieGdu système, est une caractéristique intrinsèque de ce système (elle ne dépend que du système), comme le sont sa masse, son volume ou sa charge électrique. On l’appelle tenseur central principal d’inertie. C’est la répartition des masses du solide S, pondérée par la distance au centre d’inertie au carré.
3.3 Ellipsoïde d’inertie
Soit un solide S, et soit un repère R de centre O. Le tenseur d’inertie [I]O est donc fixé. Soit
∆ un axe de rotation quelconque, de vecteur unitaire u(u1, u2, u3) : I∆= [I]Ou·u
=
I11 −I12 −I13
−I12 I22 −I23
−I13 −I23 I33
u1 u2 u3
·
u1 u2 u3
=
I11u1−I12u2−I13u3
−I12u1+I22u2−I23u3
−I13u1−I23u2+I33u3
·
u1 u2 u3
=I11
u12+I22
u22+I33
u32−2I12u2u1−2I13u3u1−2I23u2u3
on retrouve l’équation (1) p. 3. C’est l’équation d’un ellipsoïde, appeléellipsoïde d’inertie, dans laquelle les composantes I11, I22, . . . du tenseur d’inertie sont des paramètres.
Pour chaque axe ∆ défini par une direction u, autrement dit pour chaque ensemble de valeurs (u1, u2, u3), l’équation donne une valeur pour le moment d’inertie I∆ du solide S. De même qu’un vecteur peut être représenté par une flèche, un tenseur symétrique d’ordre deux peut être représenté par un ellipsoïde.
3.4 Théorème de Huygens
Théorème 3.1. Soit ∆G un axe parallèle à l’axe ∆ et passant par le centre d’inertie G d’un solide S de masse m. Soit a = KH la distance entre ces deux axes, où K ∈ ∆G et H ∈ ∆, alors :
I∆=I∆G+a2m
Démonstration.
I∆ =ρ
Z ZZ
(MH)2d3V
=
Z Z Z
ρ(MK+KH)·(MK+KH)d3V
=
Z Z Z
ρ(MK)2d3V +
ZZ Z
ρ(KH)2d3V + 2
ZZ Z
ρMK·KHd3V
=I∆G+a2m+ 2
ZZ Z
ρ(MG+GK)·KHd3V Le vecteur KH étant constant :
I∆=I∆G+a2m+ 2KH·
Z Z Z
ρMGd3V + 2
ZZ Z
ρGK·KHd3V Par définition du centre d’inertie, RRR ρMGd3V = 0.
De plus, GK⊥KH, d’où :
I∆=I∆G+a2m
4 Moment cinétique
Définition 4.1. Moment cinétique
Le moment cinétique1 par rapport à un point quelconque O, d’un corps situé en M, est le produit vectoriel du rayon vecteur OM par la quantité de mouvementp de ce corps.
σ/O =∆ OM ×p 4.1 Moment cinétique par rapport à un point
Le moment cinétique d’un solide ou d’un système dépend du point par rapport auquel il est calculé. En effet, soient O et O′ deux points distincts d’un repère R, le moment cinétique par rapport au point O′ d’un point massique M de quantité de mouvement p s’écrit :
σO′(M) =O’M×p
= (O’O+OM)×p
=O’O×p+OM×p
=O’O×p+σO(M)
O ⊙ ⊙O′
+M P
σO′
σO
Le terme O’O×p permet de passer du moment cinétique au point O à celui au point O′. Soit un solideSde masse volumiqueρ, tournant avec la vitesse angulaireωautour d’un axe ∆ de direction fixe dans R. Si le solide S est libre alors l’axe de rotation passe obligatoirement
1. Voir Mecanique classique.pdf
par son centre d’inertie G, mais l’on envisage ici le cas plus général de la rotation d’un solide autour d’un axe quelconque, le solide S étant relié à l’axe de rotation. Calculons le moment cinétique par rapport au centre du référentiel O situé sur l’axe ∆.
y z
x
O R
∆
ω
⊗ v M
(S)
Considérons un élément de volume du solide S, de masse dm, de volume d3V, de vitesse v, situé au pointM. Son moment cinétique dans R par rapport au pointO s’écrit :
dσRO(M) =OM×vdm
L’axe de rotation ∆ passant par le pointO, la vitesse du pointM s’écrit v=ω×OM dσRO(M) =OM×(ω×OM)dm
=ρOM×(ω×OM)d3V
Le moment cinétique total du solide S s’obtient par intégration sur son volume total : σRO(S) =
Z Z Z
ρOM×(ω×OM)d3V Développons le double produit vectoriel :
OM×(ω×OM) =
x1 x2 x3
×
ω1 ω2 ω3
×
x1 x2 x3
=
x1 x2 x3
×
ω2x3−ω3x2 ω3x1−ω1x3 ω1x2−ω2x1
=
ω1(x2)2 −ω2x1x2−ω3x1x3+ω1(x3)2 ω2(x3)2 −ω3x2x3−ω1x2x1+ω2(x1)2 ω3(x1)2 −ω1x3x1−ω2x3x2+ω3(x2)2
=
ω1h(x2)2+ (x3)2i−ω2x1x2 −ω3x1x3
−ω1x2x1+ω2h(x1)2+ (x3)2i−ω3x2x3
−ω1x3x1−ω2x3x2+ω3h(x1)2+ (x2)2i
D’où l’expression du moment cinétique de S par rapport à O, calculé dans R :
σRO(S) =
RRR ρhω1h(x2)2+ (x3)2i−ω2x1x2−ω3x1x3i d3V
RRR ρh−ω1x2x1+ω2h(x1)2 + (x3)2i−ω3x2x3i d3V
RRR ρh−ω1x3x1−ω2x3x2+ω3h(x1)2+ (x2)2ii d3V
=
ω1RRR ρ h(x2)2+ (x3)2id3V −ω2RRR ρ x1x2d3V −ω3RRR ρ x1x3d3V
−ω1RRR ρ x1x2d3V +ω2RRR ρ h(x1)2+ (x3)2id3V −ω3RRR ρ x2x3d3V
−ω1RRR ρ x1x3d3V −ω2RRR ρ x2x3d3V +ω3RRR ρ h(x1)2+ (x2)2id3V
=
RRR ρ h(x2)2+ (x3)2id3V −RRR ρ x1x2d3V −RRR ρ x1x3d3V
−RRR ρ x1x2d3V RRR ρ h(x1)2+ (x3)2id3V −RRR ρ x2x3d3V
−RRR ρ x1x3d3V −RRR ρ x2x3d3V RRR ρ h(x1)2 + (x2)2id3V
ω1 ω2 ω3
= [I]Oω
où [I]O est le tenseur d’inertie du solide S, au point O dans le repèreR.
4.2 Projection du moment cinétique sur l’axe de rotation Soit u le vecteur unitaire porté par l’axe de rotation ∆ :
ω=ωu
et soit σR∆(S) la projection du moment cinétique sur l’axe de rotation ∆. Soit MH la distance du point M à l’axe de rotation. En utilisant le théorème 6.2 de l’analyse vectorielle donné en annexe, on a :
σ∆R(S) =σRO(S)·u
=
Z Z Z
ρOM×(ω×OM)d3V ·u
=
Z Z Z
ρ[ω(OM·OM)−OM(OM·ω)]d3V ·u
=ω
Z Z Z
ρhu·u(OM)2−(OM·u)(OM·u)id3V
=ω
Z Z Z
ρh(OM)2−(OH)2id3V
=ω
Z Z Z
ρ(MH)2d3V
=I∆ω (5)
où le réel I∆ est le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ∆.
