Exercices de mécanique 2 Forces : résultante et moment

Exercices de mécanique 2 Forces : résultante et moment

Exercice 1

La force Fd’intensité 195 kN a comme support AB.

Trouver les moments de Fpar rapport à chacun des axes Ox, Oy et Oz.

Trouver le moment de Fpar rapport à l’axe CE

z

x y

O

B A

F C

F₃ 12 m 3 m

4 m 2 m E

Solution

Les moments de Fpar rapport à chacun des axes Ox, Oy et Oz.

Déterminons la force F

     

 

2 2 2

: 0, 0, 4 : 3,12, 0 : 3,12, 4 3 12 4 13

3 12 4

1 : , ,

13 13 13

3 12 4

1 195000 , , 45000,180000, 60000

13 13 13

AB

AB

A B AB AB

F F

    

  

 

 

 

     

 

(0.1)

RAPPEL

Le moment d’un vecteur glissant par rapport à un axe est le scalaire défini comme la projection orthogonale algébrique sur cet axe du moment de ce vecteur glissant par rapport à un point quelconque de cet axe.

(0.2)

B M₀(AB) u

M_u(AB) O

   

u AB O AB .1_u

 

M M

Étudions le moment du vecteur glissant F par rapport à l’axe ox.

Fse décompose au point A en trois vecteurs F F F_x, _y, _z . Le moment par rapport au point O est :

OF OFx OFy OFz

   

  

M M M M (0.3)

et donc le moment par rapport à l’axe Ox est :

       

     

1

.1 .1 .1

Ox O x O y O z Ox

O x Ox O y Ox O z Ox

F F F F

F F F

  

  

 

   

 

  

M M M M

M M M

(0.4)

Soit le premier terme ^MO

 

▪ F_x est un vecteur parallèle à l’axe Ox

▪ ^MO

 

▪ Donc : ^MO

 

▪ En d’autres termes : le moment d’un vecteur par rapport à un axe parallèle à la direction du vecteur est nul.

Soit le troisième terme ^MO

 

▪ F_z est un vecteur qui coupe l’axe Ox

▪ Donc ^MO

 

▪ Donc : ^MO

 

▪ En d’autres termes : le moment d’un vecteur par rapport à un axe qui coupe la direction du vecteur est nul.

Soit le deuxième terme ^MO

 

▪ F_y est un vecteur qui est perpendiculaire à l’axe Ox

▪ Donc ^MO

 

▪ Donc : ^MO

 

Conclusion :

       

 

.1 .1 .1

.1 720 .

Ox O x Ox O y Ox O z Ox

O y Ox

F F F F

F kN m

  



  

  

M M M M

M

Rappel : Le moment d’une force par rapport à un axe s’exprime en N.m c’est- à-dire en Joule. C’est donc une énergie.

Étudions le moment du vecteur glissant F par rapport à l’axe Oy.

Le moment par rapport à l’axe Oy est :

       

     

1

.1 .1 .1

Oy O x O y O z Oy

O x Oy O y Oy O z Oy

F F F F

F F F

  

  

 

   

 

  

M M M M

M M M

Soit le premier terme ^MO

 

▪ F_x est un vecteur parallèle à l’axe Ox

▪ ^MO

 

▪ Donc : ^MO

 

Soit le deuxième terme ^MO

 

▪ F_y est un vecteur qui est parallèle à l’axe Oy

▪ Donc ^MO

 

▪ Donc : ^MO

 

Soit le troisième terme ^MO

 

▪ F_z est un vecteur qui passe par O

▪ Donc ^MO

 

▪ Donc : ^MO

 

Conclusion :

   

Oy F O Fy Oy kN m

  

M M

Étudions le moment du vecteur glissant F par rapport à l’axe Oz.

Le moment par rapport à l’axe Oz nul puisque F coupe l’axe Oz Conclusion :

   

Oz F O Fy Oz

  

M M

Note :

Calcul du moment par rapport à O.

  ^{ }

 

: 0, 0, 4

1 1 1

0 0 4 720 1 180 1 0 1

45 180 60

O y OA OA

x y z

O y x y z

F r F avec r

F





 

     

 M

M

Et on retrouve bien les résultats précédents.

Le moment de Fpar rapport à l’axe CE Puisque :

Le moment d’un vecteur glissant par rapport à un axe est le scalaire défini comme la projection orthogonale algébrique sur cet axe du moment de ce vecteur glissant par rapport à un point quelconque de cet axe.

On peut donc choisir le point de l’axe. Soit le point C qui appartient à CE.

Calculons le moment de F par rapport à C.

 

 

0 1 0 1 4 1

1 1 1

0 0 4 720 1 180 1

45 180 60

C CB CB x y z

x y z

C x z

F r F or r

F





    

    

 M

M

On remarque que la composante 1_z est nulle puisque Fcoupe BC Le moment de Fpar rapport à l’axe CE donné par :

   

     

  ^{     }

2 2 2

.1

: 3,12, 4 : 0,14, 0 : 3, 2, 4 31 2 1 4 1

1 0, 55711 0, 3714 1 0, 7428 1

3 2 4

720 0, 5571 180 0, 3714 0 0, 7428 467, 97 .

CE C CE

x y z

CE x y z

CE

F F

Or C E CE

CE CE

F kN m

 

 

  

     

 

          

M M

M

Exercice 2

On appelle coupe-vecteur le vecteur moment du couple de forces.

Soit le couple de force indiqué sur la figure.

Déterminer le vecteur-couple et le moment du couple par rapport à l’axe GH.

E H

A

G

B

D 100 kN 100 kN

400 mm

600 mm 300 mm

300 mm

Solution

Déterminons la force

     

 

 

2 2

1

: 0, 400, 0 : 0, 0, 300 : 0, 400, 300 0, 400, 300

1 0,81 0, 6 1

400 300

100. 0,81 0, 6 1 80 1 60 1

DE

DE y z

y z y z

F F

Or D E DE

DE DE F





     



      

Choisissons un point B.

Calculons le vecteur-couple :

     

: 0, 6; 0, 4; 0 : 0; 0, 4; 0 : 0, 6; 0; 0

1 1 1

0, 6 0 0 36 1 481

0 80 60

BD

BD

x y z

BD y z

C r F par définition

Or B D r

C r F

 



      



Déterminons le moment du couple par rapport à l’axe GH.

 

     



  

1

: 0, 6; 0; 0 : 0, 3; 0; 0, 3 : 0, 3; 0; 0, 3 0, 3; 0; 0, 3

1 36 0, 7071 48 0, 7071 33, 9 .

0, 3 0, 3

GH GH

GH

C C

Or G H GH

GH kN m

GH

 



        

 M

Exercice 3

Soit un plateau sur lequel agissent trois couples de forces.

Remplacer les trois couples par : a) Un seul vecteur-couple

b) Deux forces, l’une ayant son support sur la ligne pointillée passant par O, l’autre ayant son origine A.

265 N 265 N

665 N

665 N 75 mm

50 mm

100 mm

100 mm 75 mm 125 mm

H

G E

O

A

D B

30°

40 N m 250 mm

a) Un couple est un vecteur libre.

Nous avons trois couples : Une en H, un en GE et un en DB.

40 sens horlogique

665 0, 075 50 sens trigonométrique 265 0,125 33 sens horlogique

H

GE

DB

C Nm

C Nm

C Nm



  

  

Les trois couples sont dans un même plan. Ils peuvent être simplement additionnés.

Le couple résultant est :

40 50 33 23

C       Nm

b) Les deux forces doivent former un couple. Les lignes d’action sont donc parallèles.

O A

30°

200 mm

d F

F

La distance d est : d200 sin 30 100 mm Par conséquent,

1 2

23 230 0,1 C

F F N

  d   Le sens est horlogique.

Exercice 4

Remplacer le système {force F ; couple C} de la figure (F = 445 N ; C = 14 N.m) par un système équivalent formé d’une force agissant e A et d’un couple que l’on précisera.

z

x

y O

E A

C F 100 mm

50 mm

100 mm D

C

Solution

Déterminons la force F ;

     

 

 

2 2

.1

: 100,100, 0 : 0,100,50 : 100, 0,50 100, 0,50

0,8944 1 0, 4472 1 100 50

.1 445 0,8944 1 0, 4472 1 398, 02 1 199, 011

BE

BE x z

BE x z x z

F F

Or B E BE

r BE BE F F





     



        

Déterminons le couple F. Nous choisissons le point A.

 

     

: 0,1; 0; 0.5 : 0,1; 0,1; 0 : 0; 0,1; 0, 5

1 1 1

0 0,1 0, 05 19, 9011 19, 9011 39,802 1 398, 02 0 199, 01

T

A AB

AB

x y z

T

x y z

C F r F

Or A B r

C

   



     

 M

Déterminons le couple C :

     

 

 

2 2 2

.1

D: 0;0;0,05 : 0,1; 0,1; 0 : 0,1; 0,1; 0, 05 0,1; 0,1; 0, 05

1 0, 6667 1 0, 6667 1 4, 6667 1

0,1 ,1 0, 05

14 0, 6667 1 0, 6667 1 4, 6667 1 9, 31 9, 31 4, 7 1

DB

DB x y z

x y z

x y

C C

Or B DB

DB DB C





     

 

    

   _z

Pour obtenir le couple résultant, il nous suffit d’additionner les couples, en additionnant leurs composantes. (En effet, un couple est un vecteur libre)

     

2 2 2

19,87 9, 3 1 19,87 9, 3 1 39, 7 4, 7 1 29, 21 29, 2 1 351

29, 2 29, 2 35 54,13 .

T

R x y z

x y z

R

C C C

Et donc

C N m

       

  

   

Exercice 5

Un système de forces consiste en un vecteur-couple Cet en les forces F F1; 2;F3. C = 270 Nm ; F1 = 445 N ; F2 = 400 N ; F3 = 530 N.

Déterminer le système force-couple équivalent avec la force agissant : 1) Au point O

2) Au point D.

z

x

y O

G A

F₁

1,2 m 50 mm

1,8 m B

C D

0,9 m F₂

F₃

Solution

1) Par rapport au point O.

Nous allons déterminer les trois forces et le couple.

     

 

 

1 1

2 2 2

1

.1

: 1, 2; 1,8; 0 : 0; 0; 0, 9 : 1, 2; 1,8; 0, 9 1, 2; 1,8; 0, 9

1 0, 51211 0, 7682 1 0, 38411

1, 2 1,8 0, 9

445 0, 51211 0, 7682 1 0, 38411 227,8845 1

AB

AB x y z

x y z

x

F F

Or A B AB

AB AB F



 

 

     

 

     

 

     

 

 

2 3

2 2 2

341,8490 1 170, 9245 1

400 1 530 1

.1

: 0; 0; 0, 9 : 1, 2; 0; 0 : 1, 2; 0; 0, 9 1, 2; 0; 0, 9

1 0,8 1 0, 6 1

1, 2 0 0, 9

y z

x y

BG

GB x z

F et F

C C

Or B G BG

BG BG

 

 





    

 

La résultante et le couple résultant sont donnés par :

   

 

2 2 2

1 2 3

227,89 400 1 341,85 530 1 170, 931 172,111 188,15 1 170, 931

172,11 188,15 170, 93 306, 98

avec 1, 2 1

i x y z

i

x y z

R O i OA OB OG

i

OA

R F

R N

C F C r F r F r F C

r



       

  

   

        







1

2

3

1,8 1 0, 9 1 1, 2 1

1 1 1

1, 2 1,8 0 307, 674 1 205,116 1

227,89 341,85 170, 93

1 1 1

0 0 0, 9 360 1

400 0 0

1 1 1

1, 2 0 0 636 1

0 530 0

x y OB z OG x

x y z

OA x y

x y z

OB y

x y z

OG

r r

r F

r F

r F

  

   

 

  

  

     

2 2 2

216 1 162 1

307, 674 216 1 205,116 360 1 636 162 1 523, 674 1 154,884 1 474 1

523, 674 154,884 474 723,118 .

z

x z

R x y z

x y z

R

On sait C C

Et C N m

 

       

  

   

2) Par rapport au point D.

La résultante étant un vecteur libre, la résultante en D = la résultante en O.

Il faut cependant recalculer CR qui n’est pas libre.

 

1

avec

1, 2 1 1,81 0, 9 1 1, 2 1 1,81

1 1 1

1, 2 0 0 204,116 1 205,116

227,89 341,85 170, 93

R D i DA DB DG

i

DA x DB y z DG x y

x y z

DA x

C F C r F r F r F C

r r r

r F

         

     

    

 



     

2

3

1

1 1 1

0 1,8 0, 9 360 1 720 1

400 0 0

1 1 1

1, 2 1,8 0 636 1

0 530 0

216 1 162 1

216 1 205,116 360 1 410, 22 720 636 162 1 216 1 154,884 1

y

x y z

OB y z

x y z

DG z

x z

R x y z

x

r F

r F

On sait C C

   

   

 

         

 

2 2 2

164, 22 1

216 154,884 164, 22 312, 43 .

y z

Et CR N m



   

Exercice 6

Le système de forces coplanaires de la figure consiste en trois forces et un couple.

Déterminer le système force-couple équivalent avec la force agissant : 1) en O

2) en A

90 N 50 N

40°

500 mm

300 mm 400 mm

600 mm

100 N

40 N.m

O A

Solution

1) Par rapport au point O

On considère les composantes horizontales (x) et les composantes verticales (y)

2 2

50 cos 40 90 3 100 68, 3 5

50 sin 40 4100 47, 9 5

: 3 100 ? C'est la projection de la force de 100 N 5

sur l'axe horizontal. On applique le thérorème de Pythagore.

5 3 4 3

x x

y y

R F N

R F N

Note Pourquoi

et

 

      

    

 

 

 

  





  ^{     }

2 2

le cosinus de l'angle 5

68, 31 47, 9 1 68, 3 47, 9 83, 4 47, 9

On en déduit que fait une angle =Arc ta n 35 avec l'axe des x.

68, 3

50 sin 40. 0,8 50 cos 40. 0, 5 90. 0, 6 40 8

x y

R O

R R N

R

C F C



  

 

 

     

  

      

 



7, 4N m. (sens horlogique) 2) Par rapport à A.

La résultante R est la même puisque c’est un vecteur libre.

 

^{ }

^{ }

R O

C F C

N m

  

       

 

 



La situation au point A peut se représenter comme suit : -33,155 N.m

35°

A

Exercice 7

La force Rest la résultante des trois forces concourantes représentées sur la figure.

Trouver Pet R

P

R

445 N

350 N 30°

20°

Solution

Il suffit de travailler sur les composantes horizontales et verticales.

sin 30 sin 20 350 327, 2

sin 30 cos 20 445 274,9

x x

y y

R F R P P N

R P R N

R F

      

  

       



 

Exercice 8

Déterminer la résultante de la figure suivante, qui consiste en 4 forces et un couple.

4 m 4 m

2 m

4 m

40°

O

120 kN 60 kN

80 kN

200 kN.m

50 kN 30°

Solution

Rappel pour un système de forces coplanaires les trois situations suivantes sont équivalentes.

O O O

R

R d C_R

avec

x x y y O .

R 







80 cos 30 120 cos 40 50 111, 2 80sin 30 120sin 40 60 97,1 111, 2 1 97,11 147, 6

L'angle fait par et l'axe des x est : Arc tan 97,1 41,1 111,2 50 6 200 80sin 30

x x x

y y y

x y

O

R F R kN

R kN

R F

R R kN

R M

      

  

       



  

   

   

 

O

80 cos 30 60 8 475, 7 . Donc sens horlogique.

Où faut-il positionner pour avoir le couple équivalent :

M . 475, 7 147, 6 . 3, 22

kN m R

R d d d m

    

    





Ce qui se représente par :

R = 147,6 N 41,1°

d = 3,22 m

Exercice 9

La plateau de la figure suivante est soumis à 4 forces parallèles dont trois sont représentées.

La quatrième force P est inconnue.

Le système se simplifie en un vecteur couple. C 1100 1_x1500 1_y Déterminer P.

400 N

200 N

300 N

2 m

3 m 4 m

3 m O

Solution

Comme la résultante est un couple, cela signifie que la résultante R



On a : 400 300 200   P 0  P500N  P 500 1_z Soit A, le point où le support de P coupe le plan Oxy.

 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1100 1 1500 1 3 0 0 2 3 0 0

0 0 200 0 0 300 0 0 500

600 1 900 1 600 1 500 1 500 1 1100 900 500

: 3, 4 1500 600 600 500

R O i i i

x y z x y z x y z

x y A A

y x y A x A y

A A

C F r F

x y

y x

y A

x

   

    

 

    

  

     





Exercice 10

Simplifier le système du problème 5.

Solution

On a trouvé par rapport au point O :

172,111 188.151 170,931 306.984

523, 674 1 154,884 1 474 1 723.118 .

x y z

R x y z R

R R N

C C N m

    

    

Calculons la composante de C_Rdans la direction de R

 

   

2 2 2

(172.11, 188.15, 170.93)

1 0.5606 1 0.6129 1 0.55681

172.11 188.15 170.93 . 1 . 1

0.5606 523.674 0.6129 154.884 0.5568 474 0.5606 1 0.6129 1 0.55681 652.4232 0.56

R x y z

t

R R R R

x y z

R R

C C

    

 



       



 

2 2 2

06 1 0.6129 1 0.55681 365.7485 1 399.8702 1 363.26931

365.7485 399.8702 363.2693 652.4 .

x y z

x y z

t

On vérifie que CR N m

 

  

   

On a ce qu'on appelle une « visse ».

172,111 188.15 1 170.931

365.7485 1 399.8702 1 363.26931

x y z

t

R x y z

R C

   



  



Si on déplacement le point d’application de la visse dans le plan Oxy, il existe un point où le couple C_Rse réduit à sa simple composante C^tR. Ce point est le point de percée de l’axe de la visse dans le plan Oxy.

Soit A, ce point. Quand la visse est en A, on a Ret C^tR

Quand la visse est en O, on a Ret C_R

Passer de A en O, revient à rajouter le couple de R en A par rapport à A.

Ce couple est : CⁿR rOAR. C’est un vecteur perpendiculaire à R

Donc on O,



 

 



157.92551 244.9862 1 110.7307 1

n t

R R R

n t

R R R

x y z

x y z

C C C

C C C

 

  

     

  

On peut maintenant écrire :

 

1 1

1 1 1

157.92551 244.9862 1 110.7307 1 0

172.11 188.15 170.93 157.92551 244.9862 1 110.7307 1

170.93 1 170.93 1 188.15 172.11 1

n

OA x y R OA

x y z

x y z

x y z

x y z

r x y avec C r R

et donc

x y

y x x y

x

   

  

 

   

 244.9862 157.9255

1.4333 0.9239

170.93 170.93

188.15 1.4333 172.11 0.9239 110.7307 y

On vérifie que

   



   

Conclusion :

En A, 1.4333

: 306.9843 652.4 .

0.9239

t R

A x R N C N m

y

 

 

 

A C_R R

A R

C_R^t

1.4333 m

0.9239 m