NOM : FEUILLE-REPONSE Respectez les consignes !
N’utilisez pas la feuille-réponse comme un brouillon. Mais un brouillon est utile, voire nécessaire !
N’apportez des preuves que si elles sont explicitement réclamées.
Partie I
Dans toute cette partie du devoir, le repère
(
O,OA,OBJJJG JJJG)
est orthonormé, le cercle représenté – de centre O – est le cercle trigonométrique. Son rayon vaut 1, son origine est en A et il est orienté positivement suivant les conventions usuelles (vues en classe). Par ailleurs les points B, C et D sont sur le cercle et (AC)⊥(BD).Le quadrillage est un quadrillage carré.
Enfin, les points E, F et G – également sur le cercle – sont tels que AOE, AOF et AOGn n n valent respectivement 30, 45 et 60 degrés.
I. (3 pts) Dans chaque cas ci-dessous, un point du cercle trigonométrique a été associé à un réel suivant la technique
« d’enroulement » vue en classe. Dans chaque cas, écrire le réel de ]-π ; π] associé au même point. Chaque résultat sera écrit sous la forme a oua ou a ou a ou a
b b b b b
π π − π
π − π −
où a
b est une fraction irréductible de deux entiers naturels.
X associé à 8675
6 π Y associé à 1580
− 3 π Z associé à 14309
− 4 π
II. On appelle R le point du cercle associé à 7 6
− π, S celui associé à 2
3π, T le symétrique de R par rapport à O, U le symétrique orthogonal de S par rapport à (AC).
1) (1 pt) Représenter en bleu sur le cercle trigonométrique ci-dessous, tous les points associés aux nombres x de l’intervalle
7 2 6 3;
− π π
. Les tracés proposés, codés éventuellement suivant l’usage, doivent être soignés et permettre d’éviter les ambiguïtés.
2) (1 pt) Ecrire un intervalle différent de la question ci- dessus, ne contenant que des nombres positifs, représenté par le même ensemble de points sur le cercle trigonométrique.
3) Ecrire les valeurs exactes des coordonnées des points R, T et U, sous formes fractionnaires a ou a
b b
a a
ou ou
b b
− −
où
a et b sont des entiers naturels.
( )
R ; ; T
(
;)
; U(
;)
III. La bissectrice de GOB coupe l’arc n GB , ne contenant pas A, en H, celle de p AOF coupe l’arc n AFp, ne contenant pas B, en I. On appelle J le symétrique orthogonal de I par rapport à (OB), et K le point diamétralement opposé à H.
J : 1) Ecrire deux réels associés à chacun des points J et K, l’un des deux réels devant appartenir à ]-π ; π] . Les résultats seront écrits sous la forme a a
b ou b
π π ou a ou a ou a
b b b
π − π
− π −
où a
b est une fraction irréductible de deux entiers naturels.
K :
2) Ecrire les coordonnées exactes des points J et de K dans le repère
(
O,OA,OBJJJG JJJG)
, les valeurs approchées de ces coordonnées (qui les valeurs décimales coupées à la deuxième décimale).Coordonnées exactes :
( )
J ; ; K
(
;)
Valeurs approchées :
( )
J ; ; K
(
;)
NOM : FEUILLE-REPONSE
IV. 1) Ecrire la valeur exacte de cos 133 4
π
sous la forme a ou a
b b
a a
ou ou
b b
− −
où a et b sont des entiers naturels.
2) Citer les définitions propriétés et théorèmes prouvant le résultat de la question 1).
V. 1) (1 pt)
Représenter en rouge tous les points du cercle
trigonométrique associés aux nombres x tels que
3
− 2 ≤ sin x ≤ 0,5.
Les tracés proposés, codés éventuellement suivant l’usage, doivent être soignés et permettre d’éviter les ambiguïtés.
2) Ecrire sous forme conventionnelle (liste, intervalle ou union d’intervalles) tous les nombres de l’intervalle [-π ; π] vérifiant le système d’inéquations ci-dessus.
éléments pour un corrigé
Respectez les consignes !
N’utilisez pas la feuille-réponse comme un brouillon. Mais un brouillon est utile, voire nécessaire !
N’apportez des preuves que si elles sont explicitement réclamées.
Partie I
Dans toute cette partie du devoir, le repère
(
O,OA,OBJJJG JJJG)
est orthonormé, le cercle représenté – de centre O – est le cercle trigonométrique. Son rayon vaut 1, son origine est en A et il est orienté positivement suivant les conventions usuelles (vues en classe). Par ailleurs les points B, C et D sont sur le cercle et (AC)⊥(BD).Le quadrillage est un quadrillage carré.
Enfin, les points E, F et G – également sur le cercle – sont tels que AOE, AOF et AOGn n n valent respectivement 30, 45 et 60 degrés.
I. (3 pts) Dans chaque cas ci-dessous, un point du cercle trigonométrique a été associé à un réel suivant la technique
« d’enroulement » vue en classe. Dans chaque cas, écrire le réel de ]-π ; π] associé au même point. Chaque résultat sera écrit sous la forme a oua ou a ou a ou a
b b b b b
π π − π
π − π −
où a
b est une fraction irréductible de deux entiers naturels.
X associé à 8675 6 π
6
−π Y associé à 1580
− 3 π 2
3
− π Z associé à 14309
− 4 π 3
4 π
II. On appelle R le point du cercle associé à 7 6
− π, S celui associé à 2
3π, T le symétrique de R par rapport à O, U le symétrique orthogonal de S par rapport à (AC).
1) (1 pt) Représenter en bleu sur le cercle trigonométrique ci-dessous, tous les points associés aux nombres x de l’intervalle
7 2 6 3;
− π π
. Les tracés proposés, codés éventuellement suivant l’usage, doivent être soignés et permettre d’éviter les ambiguïtés.
2) (1 pt) Ecrire un intervalle différent de la question ci- dessus, ne contenant que des nombres positifs, représenté par le même ensemble de points sur le cercle trigonométrique.
5 8 6 ; 3
π π
les points R et S sont compris.
3) Ecrire les valeurs exactes des coordonnées des points R, T et U, sous formes fractionnaires a ou a
b b
a a
ou ou
b b
− −
où
a et b sont des entiers naturels.
R 3 1; 2 2
−
; T 3; 1
2 2
−
; U 1; 3
2 2
− −
III. La bissectrice de GOB coupe l’arc n GB , ne contenant pas A, en H, celle de p AOF coupe l’arc n AFp, ne contenant pas B, en I. On appelle J le symétrique orthogonal de I par rapport à (OB), et K le point diamétralement opposé à H.
J : 7 9
8 ; 8
π π
1) Ecrire deux réels associés à chacun des points J et K, l’un des deux − réels devant appartenir à ]-π ; π] . Les résultats seront écrits sous la forme a oua
b b
π π ou a ou a ou a
b b b
π − π
− π −
où a
b est une fraction irréductible de deux entiers naturels.
K : 7 17
12; 12
π π
−
2) Ecrire les coordonnées exactes des points J et de K dans le repère
(
O,OA,OBJJJG JJJG)
, les valeurs approchées de ces coordonnées (qui les valeurs décimales coupées à la deuxième décimale).Coordonnées exactes :
7 7
J cos ; sin
8 8
π π
; 7 7
K cos ; sin
12 12
− π − π
Valeurs approchées :
( )
J −0,92 ; 0,38 ; K
(
−0, 25 ; 0,96−)
éléments pour un corrigé
IV. 1) Ecrire la valeur exacte de cos 133 4
π
sous la forme a ou a
b b
a a
ou ou
b b
− −
où a et b
sont des entiers naturels.
2
− 2 2) Citer les définitions propriétés et théorèmes prouvant le résultat de la question 1).
Par exemple :
Th. : Les nombres x et x + 2kπ (k étant un entier) sont représentés par le même point sur le cercle trigonométrique.
Th. : Les nombres x et x + π sont représentés par des points diamétralement opposés sur le cercle trigonométrique.
Th. : Dans un plan rapporté à un repère, si un point est le symétrique d’un autre point par rapport à l’origine, alors ses coordonnées sont opposées de cet autre point.
Déf. : Si un point M du cercle trigonométrique est associé à un nombre x, alors l’abscisse de M est égale à cos x.
Th. : cos 2
4 2
π= .
V. 1) (1 pt)
Représenter en rouge tous les points
du cercle trigonométrique
associés aux nombres x tels que
3
− 2 ≤ sin x ≤ 0,5.
Les tracés proposés, codés éventuellement suivant l’usage, doivent être soignés et permettre d’éviter les ambiguïtés.
2) Ecrire sous forme conventionnelle (liste, intervalle ou union d’intervalles) tous les nombres de l’intervalle [-π ; π] vérifiant le système d’inéquations ci- dessus.
2 5
; ; ;
3 3 6 6
π π π π
−π − ∪ − ∪ π
