capes2005 1

(1)

2e ´ epreuve 2005 : 1` ere partie

Ceci n’est pas un corrig´e

F´evrier 2007

Ceci n’est pas un corrigé 2e épreuve 2005 : 1ère partie

(2)

1.1 Etude de Φ pour a = 1, k = 2

Notations

Soit a > 0, k > 0, I =_−π

2 ,^π₂ ∪ ^π₂,^3π₂ et

∀t ∈ I ,

x (t) = a + k cos t, y (t) = a tan t + k sin t.

Sym´etries

Attention ! I n’est pas stable par t 7→ −t : ¸ca n’a pas de sens de dire que x et y sont impaires.

On a :

∀t ∈ −π 2 ,π

2

,

x (−t) = x (t) y (−t) = −y (t), et

∀t ∈ π 2,3π

2

,

x (2π − t) = x (t) y (2π − t) = −y (t) La courbe est sym´etrique par rapport `a (Oy ).

(3)

1.1 Etude de Φ pour a = 1, k = 2

Notations

Soit a > 0, k > 0, I =_−π

2 ,^π₂ ∪ ^π₂,^3π₂ et

∀t ∈ I ,

Sym´etries

On a :

∀t ∈ −π 2 ,π

2

,

x (−t) = x (t) y (−t) = −y (t), et

∀t ∈ π 2,3π

2

,

x (2π − t) = x (t) y (2π − t) = −y (t) La courbe est sym´etrique par rapport `a (Oy ).

(4)

1.1 Etude de Φ pour a = 1, k = 2

Notations

Soit a > 0, k > 0, I =_−π

2 ,^π₂ ∪ ^π₂,^3π₂ et

∀t ∈ I ,

Sym´etries

On a :

∀t ∈ −π 2 ,π

2

,

x (−t) = x (t) y (−t) = −y (t), et

∀t ∈ π 2,3π

2

,

x (2π − t) = x (t) y (2π − t) = −y (t)

(5)

Variations si a = 1, k = 2

Les fonctions x et y sont d´erivables sur I et

∀t ∈ I ,







x⁰(t) = −2 sin t, y⁰(t) = 1

cos²t + 2 cos t = 1 + 2 cos³t cos²t .

x⁰ change de signe en 0 et π ; y⁰ s’annule en α = arccos(−³

q1

2) et en 2π − α et change de signe.

en particulier, pas de point stationnaire !

(6)

Variations si a = 1, k = 2

∀t ∈ I ,







x⁰(t) = −2 sin t, y⁰(t) = 1

cos²t + 2 cos t = 1 + 2 cos³t cos²t . x⁰ change de signe en 0 et π ;

y⁰ s’annule en α = arccos(−³ q1

2) et en 2π − α et change de signe.

en particulier, pas de point stationnaire !

(7)

Tableau pour a = 1, k = 2, α = arccos −√3¹

2, α⁰= 2π − α t

sg x⁰(t)

−^π₂ 0 ^π₂

+ −

π

2 αα π α⁰ ^3π₂

− − + +

var x 1

* 3

HH H j1

1 XX

XXXXz −1

:1

var y −∞

: 0

+∞

−∞

*

? XX

XX0 XXz

?

* +∞

sg y⁰(t) + + + 0 − − 0 +

Asymptote : x = 1

Lorsque t tend vers le bord de I , x (t) −→ 1 et y (t) −→ ∞.

Tangentes au point double

En t = 2π/3 et t = 4π/3, on est en O. Tangentes : ^y_x⁰0 = ±√ 3.

(8)

Graphe de Φ (a = 1, k = 2)

(9)

Graphe de Φ (a = 1, k = 2)

(10)

1.2 Allure dans le cas g´ en´ eral

∀t ∈ I ,







x⁰(t) = −k sin t, y⁰(t) = a

cos²t + k cos t = a + k cos³t cos²t . Si k < a, y est strictement monotone sur chaque intervalle ; si k = a, y⁰ s’annule en arccos(−p³ _a

k) = π sans changer de signe ;

si k > a, y⁰ s’annule en α = arccos(−p³ _a

k) et en 2π − α et change de signe.

D’o`u facilement un tableau de variations et l’allure.

(11)

Cas k > a

Analogue `a celui de 1.1.

Cas k < a

(12)

Cas k > a

Analogue `a celui de 1.1.

Cas k < a

(13)

Cas k = a

Point stationnaire pour t = π. Posant t = π + h, on a : x (t) = 1−cos h = h²

2 +o(h²), y (t) = − sin h+tan h = h³

2 +o(h³).

D’o`u lim

t→π

y (t)

x (t) = 0 : deux demi-tangentes, point de rebroussement.

(14)

Cas k = a

Point stationnaire pour t = π. Posant t = π + h, on a : x (t) = 1−cos h = h²

2 +o(h²), y (t) = − sin h+tan h = h³

2 +o(h³).

D’o`u lim

t→π

y (t)

x (t) = 0 : deux demi-tangentes, point de rebroussement.

(15)

(16)

1.3 Equation polynˆ omiale pour Φ

M(x , y ) ∈ Φ ⇐⇒ ∃t ∈ I ,

x = a + k cos t y = a tan t + k sin t

⇐⇒ ∃t ∈ I ,

( x = a + k cos t

(a + k cos t) sin t = y cos t

⇐⇒ ∃t ∈ I ,







cos t = x − a k x sin t = y x − a

k

Attention ! On ne peut pas diviser par x lorsque x = 0...

(17)

1.3 Equation polynˆ omiale pour Φ

M(x , y ) ∈ Φ ⇐⇒ ∃t ∈ I ,

x = a + k cos t y = a tan t + k sin t

⇐⇒ ∃t ∈ I ,

( x = a + k cos t

(a + k cos t) sin t = y cos t

⇐⇒ ∃t ∈ I ,







cos t = x − a k x sin t = y x − a

k Attention ! On ne peut pas diviser par x lorsque x = 0...

(18)

1 Si x 6= 0, on a :

M(x , y ) ∈ Φ ⇐⇒ ∃t ∈ I ,







cos t = x − a k sin t = y x − a

kx

⇐⇒ x − a k

2

+

yx − a

kx

2

= 1

⇐⇒ (x²+ y²)(x − a)² = k²x².

2 Si x = 0, on a :

M(0, y ) ∈ Φ ⇐⇒ ∃t ∈ I ,







cos t = −a k y = 0

⇐⇒ y = 0et a ≤ k.

(19)

1 Si x 6= 0, on a :

M(x , y ) ∈ Φ ⇐⇒ ∃t ∈ I ,







cos t = x − a k sin t = y x − a

kx

⇐⇒ x − a k

2

+

yx − a

kx

2

= 1

⇐⇒ (x²+ y²)(x − a)² = k²x².

2 Si x = 0, on a :

M(0, y ) ∈ Φ ⇐⇒ ∃t ∈ I ,







cos t = −a k y = 0

⇐⇒ y = 0et a ≤ k.

(20)

On pose, pour x , y ∈ R :

f (x , y ) = (x²+ y²)(x − a)²− k²x². Conclusion :

si a ≤ k, f (x , y ) = 0 est une ´equation de Φ ; si a > k, f (x , y ) = 0 est une ´equation de Φ ∪ {O}.

(21)

1.4 Equation polaire de Φ

Version “inspir´ee” : pour t ∈ I , on a :







x (t) = a + k cos t =

a cos t + k

cos t y (t) =

a cos t + k

sin t =

a cos t + k

sin t Par suite, t est l’angle polaire de−−→

OM, et on a une param´etrisation de Φ :

ρ = a cos θ + k.

(22)

Autre version : Soitρ ∈ R, θ ∈ R, et x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

Alors, en ´evacuant le cas ρ = 0 :

M(x , y ) ∈ Φ ⇐⇒ (x²+ y²)(x − a)² = k²x²

⇐⇒ ρ²(ρ cos θ − a)² = k²ρ²cos²θ

⇐⇒ (ρ cos θ − a)ρ6=0 ²= k²cos²θ

⇐⇒ ρ cos θ − a = ±k cos θ

Pour θ ∈ R, θ 6≡^π₂ [π], posons g₁(θ) = a

cos θ + k, g₂(θ) = a cos θ − k.

Alors : g1(θ) = −g2(θ + π) : g1 et g2 d´efinissent la mˆeme courbe !

(23)

M(x , y ) ∈ Φ ⇐⇒ (x²+ y²)(x − a)² = k²x²

⇐⇒ (ρ cos θ − a)ρ6=0 ²= k²cos²θ

⇐⇒ ρ cos θ − a = ±k cos θ Pour θ ∈ R, θ 6≡^π₂ [π], posons

g₁(θ) = a

Alors : g1(θ) = −g2(θ + π)

: g1 et g2 d´efinissent la mˆeme courbe !

(24)

M(x , y ) ∈ Φ ⇐⇒ (x²+ y²)(x − a)² = k²x²

⇐⇒ (ρ cos θ − a)ρ6=0 ²= k²cos²θ

⇐⇒ ρ cos θ − a = ±k cos θ Pour θ ∈ R, θ 6≡^π₂ [π], posons

g₁(θ) = a

Alors : g1(θ) = −g2(θ + π) : g1 et g2 d´efinissent la mˆeme courbe !

(25)

1.5 Points singuliers de Φ

Rappel :

∀t ∈ I ,







x⁰(t) = −k sin t, y⁰(t) = a + k cos³t

cos²t . Point stationnaire en t ∈ I lorsque







0 = −k sin t 0 = a + k cos³t

cos²t

⇐⇒

t ≡ 0 [π], k ± a = 0.

D’o`u : un seul point singulier pour k = a et t = 0.

Vecteur normal en un point r´egulier

y⁰(t)

−x⁰(t)

=





a + k cos³t cos²t k sin t



.

(26)

1.5 Points singuliers de Φ

Rappel :

∀t ∈ I ,







x⁰(t) = −k sin t, y⁰(t) = a + k cos³t

cos²t . Point stationnaire en t ∈ I lorsque







0 = −k sin t 0 = a + k cos³t

cos²t

⇐⇒

t ≡ 0 [π], k ± a = 0.

D’o`u : un seul point singulier pour k = a et t = 0.

Vecteur normal en un point r´egulier

y⁰(t)

−x⁰(t)

=





a + k cos³t cos²t k sin t



.

(27)

1.6 Intersection de la normale en M et y = a tan t

1 Hypoth`ese : M /∈ (Ox)

Rappel : y (t) = x (t) tan t donc

y (t) = 0 =⇒ x (t) = 0 ou sin t = 0.

2 Equation de la normale `a Φ en M :

a+k cos³t

cos²t x − a − k cos t k sin t y − a tan t − k sin t

= 0.

3 Intersection avec y = a tan t :

a+k cos³t

cos²t x − a − k cos t

1 −1

= 0, c’est-`a-dire :

x = a + k cos t −a + k cos³t

cos²t = −a tan²t. Conclusion

R

−a tan²t a tan t

, Ω

a

a tan t

, −→

OR ·−→ OΩ = 0.

(28)

1.6 Intersection de la normale en M et y = a tan t

1 Hypoth`ese : M /∈ (Ox) donc sin t 6= 0.

a+k cos³t

= 0.

a+k cos³t

1 −1

cos²t = −a tan²t. Conclusion

R

−a tan²t a tan t

, Ω

a

a tan t

, −→

OR ·−→ OΩ = 0.

(29)

1.6 Intersection de la normale en M et y = a tan t

a+k cos³t

= 0.

a+k cos³t

1 −1

cos²t = −a tan²t.

Conclusion R

−a tan²t a tan t

, Ω

a

a tan t

, −→

OR ·−→ OΩ = 0.

(30)

1.6 Intersection de la normale en M et y = a tan t

a+k cos³t

= 0.

a+k cos³t

1 −1

cos²t = −a tan²t.

Conclusion

−a tan²t

a −→ −→

(31)

Version graphique : orthogonalit´e des deux droites bleues

M

Ω

(32)

M

Ω R

(33)

M

Ω R

(34)

M

Ω R