capes2005 2

2` eme ´ epreuve 2005 : 2` eme partie

Ceci n’est pas un corrig´e

F´evrier 2007

2.1 Th´ eor` eme de Thal` es

Erreurs d´esarmantes

Ne pas respecter les notations de l’´enonc´e ! Ne pas ´ecrire les hypoth`eses !

Diviser sans vergogne par 0 !

Croire que Thal`es, c’est dans un triangle !

Th´eor`eme de Thal`es

Soit D, D⁰ et D⁰⁰ trois droites, dont les deux derni`eres sont parall`eles et disjointes. Soit ∆_A et ∆_B deux droites, coupant les pr´ec´edentes respectivement en A, A⁰, A⁰⁰ et B, B⁰, B⁰⁰. On suppose que A 6= B. Alors

D D

0 ⇐⇒ AA⁰

A⁰A⁰⁰ = BB⁰ B⁰B⁰⁰ .

2.1 Th´ eor` eme de Thal` es

Erreurs d´esarmantes

Ne pas respecter les notations de l’´enonc´e ! Ne pas ´ecrire les hypoth`eses !

Diviser sans vergogne par 0 !

Croire que Thal`es, c’est dans un triangle ! Th´eor`eme de Thal`es

Soit D, D⁰ et D⁰⁰ trois droites, dont les deux derni`eres sont parall`eles et disjointes. Soit ∆_A et ∆_B deux droites, coupant les pr´ec´edentes respectivement en A, A⁰, A⁰⁰ et B, B⁰, B⁰⁰. On suppose que A 6= B. Alors

D D

0 ⇐⇒ AA⁰

A⁰A⁰⁰ = BB⁰ B⁰B⁰⁰ .

2.2 Hyperbole ayant des asymptotes et un point donn´ es

Connu : dans un rep`ere fix´e, les hyperboles dont les asymptotes sont port´ees par les axes de coordonn´ees ont une ´equation de la forme

xy = c, pour c ∈ R^∗ fix´e..

Pour M de coordonn´ees (a, b) dans ce rep`ere, il existe donc un unique hyperbole de cette famille qui contient M, correspondant `a :

c = ab.

Une CNS sur les coordonn´ees (x , y ) d’un point M⁰ pour que M⁰ appartienne `a cette parabole est donc :

xy = ab.

NB : Avec les notations ´evidentes : O₁P⁰

O₁P = O₁Q⁰ O₁Q .

2.3 Une propri´ et´ e de sym´ etrie (sans Thal` es...)

On choisit le rep`ere o`u U(1, 0) et V (0, 1).

La droite (UV ) a pour ´equation x + y = 1, et, comme elle contient M(a, b) :

a + b = 1.

Alors :

M⁰(x , y ) ∈ H ∩ (UV ) ⇐⇒

 xy = ab x + y = a + b

On en d´eduit que {x , y } = {a, b}, d’o`u, puisque M 6= M⁰ : x = b, y = a.

Ainsi, le milieu de [MM⁰] a pour coordonn´ees

a+b 2 a+b

2

!

=

1 2 1 2

! .

2.3 Une propri´ et´ e de sym´ etrie (sans Thal` es...)

On choisit le rep`ere o`u U(1, 0) et V (0, 1).

La droite (UV ) a pour ´equation x + y = 1, et, comme elle contient M(a, b) :

a + b = 1.

Alors :

M⁰(x , y ) ∈ H ∩ (UV ) ⇐⇒

 xy = ab x + y = a + b On en d´eduit que {x , y } = {a, b}, d’o`u, puisque M 6= M⁰ :

x = b, y = a.

Ainsi, le milieu de [MM⁰] a pour coordonn´ees

a+b 2 a+b

2

!

=

1 2 1 2

! .

2.4 Propri´ et´ e de la tangente

M⁰ U V

M

2.4 Propri´ et´ e de la tangente

M⁰

U V

M

2.4 Propri´ et´ e de la tangente

M⁰

U V

M

2.4 Propri´ et´ e de la tangente

= M⁰

U0

V0

M

2.4 Propri´ et´ e de la tangente

Lorsque M est fixe et M⁰ tend vers M : le milieu I de [MM⁰] tend vers M ;

les points U et V tendent vers les intersections U0 et V0 de la tangente en M et des axes ;

I reste le milieu de [UV ].

A la limite, M est le milieu de [U0V0].

Ainsi,les intersections d’une tangente `a une hyperbole et des asymptotes sont sym´etriques par rapport au point de tangence.

2.4 Propri´ et´ e de la tangente

Lorsque M est fixe et M⁰ tend vers M : le milieu I de [MM⁰] tend vers M ;

les points U et V tendent vers les intersections U0 et V0 de la tangente en M et des axes ;

I reste le milieu de [UV ].

A la limite, M est le milieu de [U0V0].

Ainsi,les intersections d’une tangente `a une hyperbole et des asymptotes sont sym´etriques par rapport au point de tangence.

2.5 Vers la convexit´ e d’une parabole

F

D H M

Hypoth`eses :

P de foyer F , directrice D ; M ∈ P, H le projet´e sur D ;

T : m´ediatrice de [FH] ; N ∈ T , N 6= M ;

K le projet´e de N sur D. Alors, puisque K 6= H :

NK =p

NH²− KN²< NH = NF .

2.5 Vers la convexit´ e d’une parabole

F

D H M

T K N

Hypoth`eses :

P de foyer F , directrice D ; M ∈ P, H le projet´e sur D ; T : m´ediatrice de [FH] ; N ∈ T , N 6= M ;

K le projet´e de N sur D.

Alors, puisque K 6= H : NK =p

NH²− KN²< NH = NF .

2.5 Vers la convexit´ e d’une parabole (2)

F

D

H M Hypoth`eses :

P de foyer F , directrice D ; M ∈ P, H le projet´e sur D ;

T : m´ediatrice de [FH] ; N⁰ tel que N⁰H < N⁰F ; K⁰ le projet´e de N⁰ sur D. Alors :

N⁰K ≤ N⁰H < N⁰F .

2.5 Vers la convexit´ e d’une parabole (2)

F

D H M

T

N⁰ K

Hypoth`eses :

P de foyer F , directrice D ; M ∈ P, H le projet´e sur D ; T : m´ediatrice de [FH] ; N⁰ tel que N⁰H < N⁰F ; K⁰ le projet´e de N⁰ sur D.

Alors :

N⁰K ≤ N⁰H < N⁰F .

2.6 Tangente ` a la parabole

On vient de montrer que la m´ediatrice T de [FH] a exactement un point d’intersection avec la parabole, M.

Attention !

Ceci ne suffit pas `a d´emontrer que T est la tangente en M `a la parabole. Il y a deux types de telles droites :

Comme le demi-plan ouvert de fronti`ere T contenant H ne contient aucun point de la parabole, c’est queT est la tangente en M.

2.6 Tangente ` a la parabole

On vient de montrer que la m´ediatrice T de [FH] a exactement un point d’intersection avec la parabole, M.

Attention !

Ceci ne suffit pas `a d´emontrer que T est la tangente en M `a la parabole. Il y a deux types de telles droites :

Comme le demi-plan ouvert de fronti`ere T contenant H ne contient aucun point de la parabole, c’est queT est la tangente en M.

2.7 Podaire du foyer

F

D H M

Hypoth`eses : F , D, M, H ;

T : tangente en M ; I le projet´e de F sur T .

Par 2.6, T est la m´ediatrice de [FH], donc I est le milieu de [FH], donc

I = h_{F ,1/2}(H).

Lorsque M parcourt la parabole, H parcourt D et I parcourt la parall`ele `a D contenant le sommet.

2.7 Podaire du foyer

F

D H M

I

Hypoth`eses : F , D, M, H ; T : tangente en M ; I le projet´e de F sur T .

Par 2.6, T est la m´ediatrice de [FH], donc I est le milieu de [FH], donc

I = h_{F ,1/2}(H).

Lorsque M parcourt la parabole, H parcourt D et I parcourt la parall`ele `a D contenant le sommet.

2.8 Puissance d’un point par rapport ` a un cercle

Je passe.

2.9 (a) Axe radical de deux cercles

F

D H M

M⁰ H⁰

Notations :

M 6= M⁰ sur la parabole (F , D) ; H, H⁰ les projet´es sur D.

Axe radical de C(M, MF ) et C(M⁰, M⁰F ) ?

1 M 6= M⁰ donc l’axe radical est une droite ;

2 F appartient aux deux cercles.

L’axe radical est la perpendiculaire `a (MM⁰) contenant F .

2.9 (a) Axe radical de deux cercles

F

D H M

M⁰ H⁰

Notations :

M 6= M⁰ sur la parabole (F , D) ; H, H⁰ les projet´es sur D.

Axe radical de C(M, MF ) et C(M⁰, M⁰F ) ?

1 M 6= M⁰ donc l’axe radical est une droite ;

2 F appartient aux deux cercles.

L’axe radical est la perpendiculaire `a (MM⁰) contenant F .

2.9 (a) Axe radical de deux cercles

F

D H M

M⁰ H⁰

Notations :

M 6= M⁰ sur la parabole (F , D) ; H, H⁰ les projet´es sur D.

Axe radical de C(M, MF ) et C(M⁰, M⁰F ) ?

1 M 6= M⁰ donc l’axe radical est une droite ;

2 F appartient aux deux cercles.

L’axe radical est la perpendiculaire `a (MM⁰) contenant F .

2.9 (b) J milieu de [HH

] ?

F

D H M

M⁰ H⁰

J

Notations :

M 6= M⁰ sur la parabole (F , D) ; H, H⁰ les projet´es sur D ; J = D ∩ (axe radical).

Que dire de (J, H, H⁰) ?

1 J a mˆeme puissance :

MJ²− MF² = M⁰J²− M⁰F², d’o`u

MJ²− MH²= M⁰J²− M⁰H⁰², c’est-`a-dire :

HJ²= H⁰J².

2 J, H et H⁰ align´es ! Donc J milieu de [HH⁰].

2.9 (b) J milieu de [HH

] ?

F

D H M

M⁰ H⁰

J

Notations :

M 6= M⁰ sur la parabole (F , D) ; H, H⁰ les projet´es sur D ; J = D ∩ (axe radical).

Que dire de (J, H, H⁰) ?

1 J a mˆeme puissance :

MJ²− MF² = M⁰J²− M⁰F², d’o`u

MJ²− MH²= M⁰J²− M⁰H⁰², c’est-`a-dire :

HJ²= H⁰J².

2 J, H et H⁰ align´es ! Donc J milieu de [HH⁰].

2.10 (a) Lieu des points I

F

D H M

M⁰ H⁰

J I

D⁰

Notation :

I milieu de [MM⁰],

D⁰ droite fixe, (MM⁰) D

0.

Lorsque (MM⁰) varie,J est fixe. En effet, (FJ) ⊥ D⁰ et J ∈ D.

Par la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es : J milieu de [HH⁰],

I milieu de [MM⁰], (HM) (H

0M⁰), donc (IJ) (MH ).

Donc I est sur la perpendiculaire en J `a D.

2.10 (a) Lieu des points I

F

D H M

M⁰ H⁰

J I

D⁰

Notation :

I milieu de [MM⁰],

D⁰ droite fixe, (MM⁰) D

0. Lorsque (MM⁰) varie,J est fixe.

En effet, (FJ) ⊥ D⁰ et J ∈ D.

Par la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es : J milieu de [HH⁰],

I milieu de [MM⁰], (HM) (H

0M⁰), donc (IJ) (MH ).

Donc I est sur la perpendiculaire en J `a D.

2.10 (a) Lieu des points I

F

D H M

M⁰ H⁰

J I

D⁰

Notation :

I milieu de [MM⁰],

D⁰ droite fixe, (MM⁰) D

0. Lorsque (MM⁰) varie,J est fixe.

En effet, (FJ) ⊥ D⁰ et J ∈ D.

Par la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es : J milieu de [HH⁰],

I milieu de [MM⁰], (HM) (H

0M⁰), donc (IJ) (MH ).

Donc I est sur la perpendiculaire en J `a D.

2.10 (b) Tangente ` a P dans une direction donn´ ee

F

D J

D⁰

Lorsque (MM⁰) tend vers la tangente `a la parabole,

J tend vers la projection commune H de M et M⁰ sur D.

Mais alors,

JM = HM = FM,

donc la tangente est la m´ediatrice de [FH]. Lien avec 2.7

La projection de F sur la tan- gente/m´ediatrice est le milieu de [FH], donc ce point d´ecrit h_{F ,1/2}(D).

2.10 (b) Tangente ` a P dans une direction donn´ ee

F

D J

D⁰

Lorsque (MM⁰) tend vers la tangente `a la parabole, J tend vers la projection commune H de M et M⁰ sur D.

Mais alors,

JM = HM = FM,

donc la tangente est la m´ediatrice de [FH]. Lien avec 2.7

La projection de F sur la tan- gente/m´ediatrice est le milieu de [FH], donc ce point d´ecrit h_{F ,1/2}(D).

2.10 (b) Tangente ` a P dans une direction donn´ ee

F

D J

D⁰

Lorsque (MM⁰) tend vers la tangente `a la parabole, J tend vers la projection commune H de M et M⁰ sur D.

Mais alors,

JM = HM = FM,

donc la tangente est la m´ediatrice de [FH]. Lien avec 2.7

La projection de F sur la tan- gente/m´ediatrice est le milieu de [FH], donc ce point d´ecrit h_{F ,1/2}(D).

2.10 (b) Tangente ` a P dans une direction donn´ ee

F

D

H = J M = M⁰

D⁰

Lorsque (MM⁰) tend vers la tangente `a la parabole, J tend vers la projection commune H de M et M⁰ sur D.

Mais alors,

JM = HM = FM,

donc la tangente est la m´ediatrice de [FH].

Lien avec 2.7

La projection de F sur la tan- gente/m´ediatrice est le milieu de [FH], donc ce point d´ecrit h_{F ,1/2}(D).

2.10 (b) Tangente ` a P dans une direction donn´ ee

F

D

H = J M = M⁰

D⁰

Lorsque (MM⁰) tend vers la tangente `a la parabole, J tend vers la projection commune H de M et M⁰ sur D.

Mais alors,

JM = HM = FM,

donc la tangente est la m´ediatrice de [FH].

Lien avec 2.7

La projection de F sur la tan- gente/m´ediatrice est le milieu de [FH], donc ce point d´ecrit h_{F ,1/2}(D).

2.10 (c) Sym´ etries non orthogonales de la parabole

F

D

∆

Notations : ∆ ⊥ D ;

{J} = ∆ ∩ D ;

T m´ediatrice de [FJ] ; {M₀} = ∆ ∩ T : M₀∈ P et T = tangente !

Pour M ∈ P, soit

H le projet´e de M sur D ; H⁰ = s_J(H) ;

M⁰ le point de P qui se projette en H⁰. Alors :

1 (MM⁰) T ;

2 le milieu I de [MM⁰] appartient `a ∆. σ = la sym´etrie d’axe ∆ parall`element `a T

σ(P) ⊂ P donc σ(P) = P

2.10 (c) Sym´ etries non orthogonales de la parabole

F

D

∆ J

Notations : ∆ ⊥ D ; {J} = ∆ ∩ D ;

T m´ediatrice de [FJ] ; {M₀} = ∆ ∩ T : M₀∈ P et T = tangente !

Pour M ∈ P, soit

H le projet´e de M sur D ; H⁰ = s_J(H) ;

M⁰ le point de P qui se projette en H⁰. Alors :

1 (MM⁰) T ;

2 le milieu I de [MM⁰] appartient `a ∆. σ = la sym´etrie d’axe ∆ parall`element `a T

σ(P) ⊂ P donc σ(P) = P

2.10 (c) Sym´ etries non orthogonales de la parabole

F

D

∆ J

M₀

T

Notations : ∆ ⊥ D ; {J} = ∆ ∩ D ;

T m´ediatrice de [FJ] ; {M₀} = ∆ ∩ T : M₀∈ P et T = tangente !

Pour M ∈ P, soit

H le projet´e de M sur D ; H⁰ = s_J(H) ;

M⁰ le point de P qui se projette en H⁰. Alors :

1 (MM⁰) T ;

2 le milieu I de [MM⁰] appartient `a ∆. σ = la sym´etrie d’axe ∆ parall`element `a T

σ(P) ⊂ P donc σ(P) = P

2.10 (c) Sym´ etries non orthogonales de la parabole

F

D

∆ J

M₀ M H

T

Notations : ∆ ⊥ D ; {J} = ∆ ∩ D ;

T m´ediatrice de [FJ] ; {M₀} = ∆ ∩ T : M₀∈ P et T = tangente !

Pour M ∈ P, soit

H le projet´e de M sur D ;

H⁰ = s_J(H) ;

M⁰ le point de P qui se projette en H⁰. Alors :

1 (MM⁰) T ;

2 le milieu I de [MM⁰] appartient `a ∆. σ = la sym´etrie d’axe ∆ parall`element `a T

σ(P) ⊂ P donc σ(P) = P

2.10 (c) Sym´ etries non orthogonales de la parabole

F

D

∆ J

M₀ M H

M⁰ H⁰

T

Notations : ∆ ⊥ D ; {J} = ∆ ∩ D ;

T m´ediatrice de [FJ] ; {M₀} = ∆ ∩ T : M₀∈ P et T = tangente !

Pour M ∈ P, soit

H le projet´e de M sur D ; H⁰ = s_J(H) ;

M⁰ le point de P qui se projette en H⁰. Alors :

1 (MM⁰) T ;

2 le milieu I de [MM⁰] appartient `a ∆.

σ = la sym´etrie d’axe ∆ parall`element `a T σ(P) ⊂ P donc σ(P) = P

2.11 Une ´ egalit´ e vectorielle

Soit J le milieu des projections de S et Q sur D, ∆ la

perpendiculaire en J `a D, σ la sym´etrie d’axe fixe ∆ d´efinie en 2.10 (c), donc parall`element `a (SQ).

Alors :

σ(N) = M, σ(S ) = Q.

A-t-on : σ(L) = Ω ?

Par le th´eor`eme des milieux, V milieu de [ΩN], i.e.

−→ΩN = 2−→

VN = 2−−→ MR.

De plus,−→ NL =−→

SQ donc −−−−→

Mσ(L) =−→

QS =−→

RV , puis

−−→MN +−−−−→ Nσ(L) =−→

RN +−→

NV , i.e. :

−−−−→ Nσ(L) =−−→

RM +−→

NV = 2−→

NV =−→

NΩ.

Ainsi, σ(L) = Ω. AQT.

2.11 Extension ` a une tangente

Si M = N = I , on note T la tangente en N `a P et on d´efinit L par :

−→ NL =−→

SQ (vecteur fixe)

et Ω comme le projet´e de l’image de N par la sym´etrie orthogonale d’axe (SF ).

Alors : N est le milieu de [LΩ].

Super.