2` eme ´ epreuve 2005 : 3` eme partie
Ceci n’est pas un corrig´e
F´evrier 2007
3.1 Transform´ ee de Descartes
On note P le point courant de Γ : P :
x = α(t)
y = β(t) ; ∆ : x = a.
On suppose α(t) 6= 0, car sinon (OM) ∩ ∆ = ∅. Alors Ω
a
ω(t)
tel que
a α(t) ω(t) β(t)
= 0, i.e. ω(t) = a β(t) α(t). Puis−−→
OM =−→
OΩ +−−→
ΩM =−→
OΩ +−→
OP, d’o`u :
M(t) :
x = α(t) + a y = β(t) + a β(t)
α(t).
3.1 Transform´ ee de Descartes des droites
1 Une droite verticale a un param´etrage de la forme P :
x = α
y = t avec α 6= 0 et t 6= 0.
Alors :
M(t)
α + a t + a t
α
=
α + a
α + a α t.
Ainsi,
M d´ecrit une droite (si α + a 6= 0) ou reste fixe en O (si α + a = 0).
3.1 Transform´ ee de Descartes des droites (suite)
2 Une droite non verticale a un param´etrage de la forme P :
x = t
y = ut + v avec (u, v ) 6= (0, 0).
Alors, pour t 6= 0 :
M(t) :
X = t + a Y = ut + v
t (a + t).
On a donc :
(X − a)Y = (u(X − a) + v )X = uX2+ (−au + v )X . Forme quadratique uX2− XY :
u −1/2
−1/2 0
: hyperbole.
3.1 TD d’une droite non verticale
3.3 Transform´ ee de Descartes d’une parabole
Param´etrage de la parabole : P :
x = t
y = ct2 avec t 6= 0, c > 0(fix´e).
Transform´ee de Descartes : M :
X = t + a Y = ct(t + a) Equation de l’image :
Y = c(X − a)X = c X − a
2
2
− ca2 4 .
M d´ecrit une parabole translat´ee de y = cx2, priv´ee de A(a, 0).
3.1 TD d’une droite non verticale
3.4 Transform´ ee de Descartes d’une parabole : 2V
Work it out, man!
3.5 Transform´ ee de Descartes d’une parabole “verticale”
Param´etrage de la parabole Γ (c 6= 0, b, d ∈ R fix´es) : P :
x = t
y = c(t − b)2+ d avec t 6= 0.
Transform´ee de Descartes : M :
( x = t + a
y = c(t−b)t2+d(a + t) ⇐⇒
t = x − a
y (x − a) = c(x − a − b)2+ d x, et t 6= 0 si et seulement si x 6= a.
Ainsi, la TD de Γ est legraphe d’une fonction.
3.5 Transform´ ee de Descartes d’une parabole “verticale”
3.6 Parabole asymptote ` a C
Il est commode de revenir `a t = x − a : y = t + a
t c(t − b)2+ d = 1 +a
t
ct2− 2bct + cb2+ d ,
y = ct2+ (a − 2b)c t + cb2+ d − 2abc + a(cb2+ d )
t ,
y = c(x − a)2+ (a − 2b)c(x − a) + cb2+ d − 2abc
| {z }
φ(x )
+a(cb2+ d ) x − a . D’o`u l’existence d’une parabole asymptote y = φ(x ). Sa position relative par rapport `a C est d´etermin´ee par le signe de a(cb2+ d ).
3.7 Exemples num´ eriques
b = 0, c = 1, d = 1, a = 1 y = x (x − 1) + x
x − 1, y = x2− x + 1
3.7 Exemples num´ eriques
b = 0, c = 1, d = 1, a = 6 y = x (x − 6) + x
x − 6
3.8 Back to the future
Si on prend
Γ :
x = k cos t y = k sin t, la transform´ee de Descartes est :
C :
x = a + k cos t y = a tan t + k sin t
Sapristi ! N’aurions-nous pas rencontr´e cette courbe en 1.1 ?
