capes2005 4

2` eme ´ epreuve 2005 (4` eme partie)

Ceci n’est pas un corrig´e

F´evrier 2007

4.1 Param´ etrisation polaire d’un cercle

Γ = cercle de centre B(−a/2, 0) contenant O.

Soit t ∈−^π₂,^π₂. La droite y = x tan t (d’angle polaire t) coupe Γ en O et P de coordonn´ees polaires (ρ, t).

Inversement, tout point de Γ \ {O} est de cette forme pour un unique t.

Relations m´etriques dans le triangle OBP rectangle en P :

|ρ| = a cos t (cos t > 0).

Bien sˆur, ρ < 0 car l’abscisse de P est n´egative. D’o`u : Γ \ {O} : ρ = −a cos t o`u t ∈

i

−π 2,π

2 h

.

Ceci n’est pas un corrig´e 2`eme ´epreuve 2005 (4`eme partie)

4.1 Param´ etrisation polaire d’un cercle

Γ = cercle de centre B(−a/2, 0) contenant O.

Soit t ∈−^π₂,^π₂. La droite y = x tan t (d’angle polaire t) coupe Γ en O et P de coordonn´ees polaires (ρ, t).

Inversement, tout point de Γ \ {O} est de cette forme pour un unique t.

Relations m´etriques dans le triangle OBP rectangle en P :

|ρ| = a cos t (cos t > 0).

Bien sˆur, ρ < 0 car l’abscisse de P est n´egative. D’o`u : Γ \ {O} : ρ = −a cos t o`u t ∈

i

−π 2,π

2 h

.

4.1 TD du cercle Γ

Param´etrage de Γ issu de l’´equation polaire pr´ec´edente : Γ :

 x = ρ cos t = −a cos²t y = ρ sin t = −a sin t cos t, la transform´ee de Descartes est :

C :

( x = a(1 − cos²t) = a sin²t

y = a tan t(1 − a cos²t) = a tan t sin²t.

Ceci n’est pas un corrig´e 2`eme ´epreuve 2005 (4`eme partie)

4.1 TD du cercle Γ

4.1 TD du cercle Γ

Ceci n’est pas un corrig´e 2`eme ´epreuve 2005 (4`eme partie)

4.2 Autre repr´ esentation param´ etrique de C

Id´ee

Si la param´etrisation propos´ee avec m convient, on compare facilement les deux param´etrisations (t 6= 0) :

tan t = y x = m.

On fait le changement de variable (bijectif, C¹ et tout !) : i

−π 2,π

2 h

−→ R, t 7−→ m = tan t.

Alors, pour t ∈ ]−π/2, π/2[ : x = a sin²t

cos²+ sin²t = a m²

1 + m², y = x tan t = a m³ 1 + m³.

4.3 L’invention de la parabole

P : y² = −4ax , M ∈ C \ {O}, P ∩ (OM) = {O, M₁}.

Soit m ∈ R le param`etre de M : ´equation de (OM) : y = mx.

Si M₁(x , y ), avec M₁ 6= O, on a donc :

 y = mx

y² = −4ax ⇐⇒

( x = −_m^4a2

y = −^4a_m. D’o`u l’existence et l’unicit´e de M1 ; de plus :

(−−→

OM1|−−→

OM) = − 4a²

1 + m² − 4a²m²

1 + m² = −4a².

Sens :

C est l’image de P parl’inversion de centre O et de rapport −4a².

Ceci n’est pas un corrig´e 2`eme ´epreuve 2005 (4`eme partie)

4.3 L’invention de la parabole

P : y² = −4ax , M ∈ C \ {O}, P ∩ (OM) = {O, M₁}.

Soit m ∈ R le param`etre de M : ´equation de (OM) : y = mx.

Si M₁(x , y ), avec M₁ 6= O, on a donc :

 y = mx

y² = −4ax ⇐⇒

( x = −_m^4a2

y = −^4a_m. D’o`u l’existence et l’unicit´e de M1 ; de plus :

(−−→

OM1|−−→

OM) = − 4a²

1 + m² − 4a²m²

1 + m² = −4a². Sens :

C est l’image de P parl’inversion de centre O et de rapport −4a².

4.2 P comme anti-podaire de C

Soit M₂(x , y ) ∈ P, i.e. y² = −4ax . Tangente `a P en M₂ : 2y (Y − y ) = −4a(X − x ), soit 2yY = −4a(X + x ).

CNS pour que la tangente soit perpendiculaire `a (OM) : Y = mX : (NB : M /∈ (Ox) donc on peut supposer y 6= 0.)

−4a

2y m = −1, i.e. y = 2am. Alors la tangente coupe C en M car :

2y

 am³ 1 + m²



= −4a

 am² 1 + m² + x

 . (Remplacer y = 2am et x = (2am)²/(−4a) et v´erifier !) Sens :

C est lapodairede P par rapport `a O.

Ceci n’est pas un corrig´e 2`eme ´epreuve 2005 (4`eme partie)

4.2 P comme anti-podaire de C

Soit M₂(x , y ) ∈ P, i.e. y² = −4ax . Tangente `a P en M₂ : 2y (Y − y ) = −4a(X − x ), soit 2yY = −4a(X + x ).

CNSpour que la tangente soit perpendiculaire `a (OM) : Y = mX : (NB : M /∈ (Ox) donc on peut supposer y 6= 0.)

−4a

2y m = −1, i.e. y = 2am.

Alors la tangente coupe C en M car : 2y

 am³ 1 + m²



= −4a

 am² 1 + m² + x

 . (Remplacer y = 2am et x = (2am)²/(−4a) et v´erifier !) Sens :

C est lapodairede P par rapport `a O.

4.2 P comme anti-podaire de C

Soit M₂(x , y ) ∈ P, i.e. y² = −4ax . Tangente `a P en M₂ : 2y (Y − y ) = −4a(X − x ), soit 2yY = −4a(X + x ).

CNSpour que la tangente soit perpendiculaire `a (OM) : Y = mX : (NB : M /∈ (Ox) donc on peut supposer y 6= 0.)

−4a

2y m = −1, i.e. y = 2am.

Alors la tangente coupe C en M car : 2y

 am³ 1 + m²



= −4a

 am² 1 + m² + x

 . (Remplacer y = 2am et x = (2am)²/(−4a) et v´erifier !)

Sens :

C est lapodairede P par rapport `a O.

Ceci n’est pas un corrig´e 2`eme ´epreuve 2005 (4`eme partie)

4.2 P comme anti-podaire de C

Soit M₂(x , y ) ∈ P, i.e. y² = −4ax . Tangente `a P en M₂ : 2y (Y − y ) = −4a(X − x ), soit 2yY = −4a(X + x ).

CNS pour que la tangente soit perpendiculaire `a (OM) : Y = mX : (NB : M /∈ (Ox) donc on peut supposer y 6= 0.)

−4a

2y m = −1, i.e. y = 2am.

Alors la tangente coupe C en M car : 2y

 am³ 1 + m²



= −4a

 am² 1 + m² + x

 . (Remplacer y = 2am et x = (2am)²/(−4a) et v´erifier !) Sens :

C est lapodairede P par rapport `a O.

4.2 P comme anti-podaire de C

Ceci n’est pas un corrig´e 2`eme ´epreuve 2005 (4`eme partie)

4.2 P comme anti-podaire de C

4.3 Tout sauf la g´ eom´ etrie !

F

 −a 0



, M









a m² 1 + m² a m³

1 + m²









, Ω a ma

 .

Q : X = 0 et Y = −1

m (X + x_M2) =⇒ Q 0 ma

 .

P







−a cos²t = −a 1 1 + m²

−a sin t cos t = −a m 1 + m²





.

Ceci n’est pas un corrig´e 2`eme ´epreuve 2005 (4`eme partie)

4.3 Un rectangle ?

1 Un parall´elogramme :

−→OQ +−→

OP =









−a 1 + m² am



1 − 1 1 + m²



= am³ 1 + m²









=−→

OF +−−→

OM.

2 Un angle droit :

−−→QM









am² 1 + m² am³

1 + m² − am = −am 1 + m²







 , −→

QF −a

−am

 ,

(−−→

QM,−→

QF ) = −a²m²

1 + m² + a²m² 1 + m² = 0.