F ORMULAIRE DE P HYSIQUE - ATS
MES1
1) Grandeurs de base : unités et dimension
Grandeur Longueur Masse Temps Intensité électrique
Tempé- rature
Quantité de matière
Unité mètre kilogramme seconde ampère kelvin mole
Symbole de l’unité m kg s A K mol
Symbole de la
dimension associée L M T I 𝜃 N
MK1
2) Vitesse scalaire moyenne : 𝒗𝒎𝒐𝒚= 〈𝒗〉 = 𝒅
𝝉 =∆𝒔
∆𝒕 avec 𝑑 =∆𝒔 distance parcourue et 𝜏 =∆𝒕 durée du parcours 3) Accélération scalaire moyenne : 𝒂𝒎𝒐𝒚= 〈𝒂〉 = ∆𝒗
∆𝒕 avec ∆𝒗 variation de vitesse pendant la durée 𝜏 =∆𝒕 4) Cas du mouvement rectiligne :
a) Vitesse instantanée algébrique 𝒗𝒙 du point en mouvement rectiligne (MR) : 𝒗𝒙= 𝒙̇ =𝒅𝒙
𝒅𝒕 (dérivée par rapport au temps de la position b) Position à partir de la vitesse :
Intégrale par rapport au temps de la vitesse : 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡). 𝑑𝑡 + 𝐾).
c) Signe de 𝒗𝒙
𝑣𝑥 > 0 si le point 𝑀 se déplace dans le sens des x croissants, < 0 sinon.
d) Accélération instantanée algébrique 𝒂𝒙 du point en mouvement rectiligne
𝒂𝒙
=
𝒅𝒗𝒅𝒕𝒙=
𝒗̇ =𝒅𝒙𝒅𝒕̇= 𝒙
̈=
𝒅𝟐𝒙𝒅𝒕𝟐 (dérivée par rapport au temps de la vitesse)
e) Vitesse à partir de l’accélération
Intégrale par rapport au temps de l’accélération : 𝒗(𝒕) =∫ 𝒂(𝒕). 𝒅𝒕 + 𝑲).
f) Signe de 𝒂𝒙
𝑎𝑥> 0 ⟺ 𝑣𝑥 augmente ; 𝑎𝑥 < 0 ⟺ 𝑣𝑥 diminue
5) Pulsation (ou vitesse angulaire) : 𝝎 =𝜽̇= 𝟐𝝅𝒇 =𝟐𝝅
𝑻 (unité : rad/s) 6) ** Vitesse pour un mouvement circulaire de rayon 𝑹 : 𝒗 = 𝑹𝜽̇
7) Energie cinétique pour un point matériel de masse 𝒎 en mouvement à la vitesse 𝒗R :
𝑬𝒄(𝑴) = 𝟏
𝟐𝒎𝒗𝓡𝟐 (USI : Joule (J))
8) Accélération 𝒈 de la pesanteur (champ de pesanteur terrestre) [𝑔] = L.T-2 ; 𝑔 = 9,8 𝒎. 𝒔−𝟐≈ 𝟏𝟎 𝒎. 𝒔−𝟐.
MK2
9) Energie potentielle de pesanteur dans le champ de pesanteur uniforme d’un objet de masse 𝒎 situé
à une altitude 𝑧 (axe (𝑂𝑧) orienté vers le haut) : 𝐸𝑝𝑝 = 𝑚𝑔𝑧 + 𝑐𝑡𝑒 à une profondeur 𝑧 (axe (𝑂𝑧) orienté vers le bas) : 𝐸𝑝𝑝= − 𝑚𝑔𝑧 + 𝑐𝑡𝑒
(USI : Joule) ; Attention à l’orientation de l’axe vertical ! veiller à la cohérence physique de l’expression utilisée.
10) Energie potentielle élastique 𝑬𝒑𝒆 associée à un ressort : 𝑬𝒑𝒆= ½ 𝒌(𝓵 − 𝓵𝟎)𝟐
où 𝒌 constante de raideur du ressort (N/m); 𝓵 longueur et 𝓵𝟎 longueur à vide du ressort ;
11) * Lien entre équilibre et énergie potentielle pour un point matériel repéré par un paramètre 𝒙 unique (graphiquement et par le calcul) :
Position d’équilibre : extremum de 𝑬𝒑 soit (𝒅𝑬𝒑
𝒅𝒙)
𝒙é𝒒= 𝟎 Position d’équilibre stable : minimum de 𝑬𝒑 (puits) soit (𝒅𝟐𝑬𝒑
𝒅𝒙𝟐)
𝒙é𝒒
> 𝟎 ;
Position d’équilibre instable : maximum de 𝑬𝒑 (barrière) soit (𝒅𝟐𝑬𝒑
𝒅𝒙𝟐)
𝒙é𝒒
< 𝟎
12) Dérivation d’une fonction (𝒖𝒏)′∶ (𝒖𝒏)′= 𝒏𝒖′𝒖𝒏−𝟏
13) Dérivation spatiale de l’énergie potentielle élastique 𝑬𝒑𝒆 = ½ 𝒌(𝒛 − 𝓵𝟎)𝟐 : pour 𝑬𝒑𝒆= ½ 𝒌(𝒛 − 𝓵𝟎)𝟐, 𝒅𝑬𝒑𝒆
𝒅𝒛 = 𝒌(𝒛 − 𝓵𝟎)
MK3
14) Energie mécanique 𝑬𝒎 : 𝑬𝒎 = 𝑬𝒄 + 𝑬𝒑
avec 𝐸𝑐 énergie cinétique et 𝐸𝑝 énergie potentielle totale du système
15) Puissance mécanique P fournie par une force 𝐹⃗ subie par un point M se déplaçant dans ℛ : associée à la notion d’énergie par unité de temps.
Dimension et unité : [P ] = [E]/T = [F]L/T = [F].[v] ; en W, avec 1 W = 1 J/s = 1 N.m/s.
16) Théorème de la puissance mécanique (TPM) dans un référentiel galiléen : 𝒅𝑬𝒎
𝒅𝒕 = 𝑷𝒏𝒄
avec 𝑷𝒏𝒄 puissance des interactions non conservatives.
17) Dérivée temporelle de l’énergie cinétique pour un mouvement rectiligne selon l’axe (𝑶𝒛) :
𝒅𝑬𝒄
𝒅𝒕 =𝒅(½ 𝒎𝒛̇𝟐) 𝒅𝒕 = 𝒎𝒛̇𝒛̈
18) Forme canonique des équations différentielles d’un système du 1er ordre à coefficients constants ; constante introduite à définir :
Forme canonique usuelle dans notre cours de physique : 𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕 +𝟏
𝝉𝒚(𝒕) =𝟏 𝝉𝒚𝟎
Avec 𝜏 temps caractéristique du système, correspondant à l’ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, le régime permanent étant atteint après 4 à 5 𝜏.
19) Solution générale de l’équation homogène (SGEH) associée aux équations différentielles du premier ordre à coefficients constants :
𝒚𝑯(𝒕) = 𝑨 𝐞𝐱𝐩 (−𝒕 𝝉)
MK4
20) Forme canonique de l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique non amorti ; Indiquer le nom, la dimension et l’unité de la constante intervenant ainsi que son lien avec la période de la réponse.
𝑿̈ + 𝝎𝟎𝟐𝑿 = 𝟐𝐧𝐝 𝐦𝐞𝐦𝐛𝐫𝐞 Avec 𝜔0 pulsation propre en rad.s-1 ; [𝜔0] = 𝑇−1;
𝜔0=2𝜋
𝑇 où 𝑇 période de la réponse
21) Quelle est la solution de l’équation homogène d’un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre 𝝎𝟎 ?
𝑿𝑯(𝒕) = 𝑿𝒎𝐜𝐨 𝐬(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋) = 𝑨𝐜𝐨 𝐬(𝝎𝟎𝒕) + 𝑩𝐬𝐢 𝐧(𝝎𝟎𝒕)
où 𝑋𝑚 et 𝜑 ou 𝐴 et 𝐵 constantes d’intégration déterminées avec 2 conditions initiales.
22) ** Définir le plan de phase ; représenter 2 trajectoires de phase d’un oscillateur harmonique en indiquant laquelle correspond à l’énergie mécanique la plus élevée.
Plan (𝑿; 𝑿̇) ; schéma : ellipses de demi grand axe et petit axe qui augmentent avec 𝑬𝒎.
23) Formes canoniques de l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique amorti (équation homogène) (Indiquer les noms, dimensions et unités des constantes intervenant).
𝐝𝟐𝒙(𝒕)
𝐝𝒕𝟐 + 𝟐𝝀𝐝𝒙(𝒕)
𝐝𝒕 + 𝝎𝟎𝟐 𝒙(𝒕) = 𝟎 ; 𝐝𝟐𝐝𝒕𝒙(𝒕)𝟐 + 𝝎𝟎
𝑸 𝐝𝒙(𝒕)
𝐝𝒕 + 𝝎𝟎𝟐 𝒙(𝒕) = 𝟎 Pulsation propre o : [ 𝜔0] = 𝑇−1 (rad.s-1)
Facteur de qualité Q : [Q]=1 adimensionnel, sans unité
Pulsation caractéristique ou coefficient d’amortissement : [ ] = 𝑇−1 (s-1)
24) Conditions d’existence du régime apériodique pour un oscillateur harmonique amorti
et ’ > 0 ⟺ 𝑄 < ½ ⟺ > 0 (amortissement élevé)
25) Conditions d’existence du régime critique pour un oscillateur harmonique amorti
et ’ = 0 ⟺ 𝑄 = ½ ⟺ = 0 (amortissement critique)
26) Conditions d’existence du régime pseudo-périodique pour un oscillateur harmonique amorti
et ’ < 0 ⟺ 𝑄 > ½ ⟺ < 0 (amortissement faible)
27) Solution générale à l’équation homogène pour un oscillateur harmonique amorti en régime apériodique
𝑥(𝑡) = 𝜇1exp(𝑟1𝑡) + 𝜇2exp(𝑟2𝑡)
Où 𝑟𝑖 racines de l’équation caractéristique associée à l’équation différentielle de l’oscillateur.
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡(𝜇1exp(𝛺𝑡) + 𝜇2exp(−𝛺𝑡))
avec Ω = √Δ′ = √𝜆2− ω02 = 𝜔0√4𝑄12− 1
28) Solution générale à l’équation homogène pour un oscillateur harmonique amorti en régime critique
𝒙(𝒕) = (𝝁𝟏+ 𝝁𝟐𝒕)𝒆−𝝎𝟎𝒕 = 𝒙(𝒕) = (𝝁𝟏+ 𝝁𝟐𝒕)𝒆−𝒕
29) Solution générale à l’équation homogène pour un oscillateur harmonique amorti en régime pseudo-périodique
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡.(𝐴cos(Ω𝑡) + 𝐵sin(Ω𝑡)) = 𝐷𝑒−𝑡.cos(Ω𝑡 + 𝜑)
30) * Pseudo-pulsation du régime pseudo-périodique d’un oscillateur harmonique amorti : expression en fonction des grandeurs caractéristiques de l’oscillateur, lien avec la pseudo-période 𝑻
Ω = √−Δ′ = √ω02− 𝜆2= 𝜔0√1 − 1
4𝑄2=2𝜋
𝑇 En rad.s-1
31) * Décrément logarithmique : définition et expression en fonction des grandeurs caractéristiques de l’oscillateur harmonique amorti étudié
𝜹 =𝟏
𝒏 ln ( 𝒖(𝒕)−𝒖
𝒖(𝒕+𝒏𝑻)−𝒖) = 𝝀𝑻 = 𝟐𝝅𝝀
√𝛚𝟎𝟐−𝝀𝟐
;
Il caractérise le taux d’amortissement (rapidité de la décroissance).
32) ** Approximations usuelles pour les grandeurs caractéristiques du régime pseudo- périodique dans le cas d’un facteur de qualité élevé (valeur à préciser)
Pour 𝑄 > 4 𝑜𝑢 5 ∶ pseudo-pulsation quasi confondue avec la pulsation propre :
𝜔0, idem pour la pseudo-période et la période : 𝑇 𝑇0, d’où, avec 𝛿 décrément logarithmique :
𝑸 ≈𝝅 𝜹
MK5
33) Vecteurs position, déplacement élémentaire, vitesse et accélération : définitions et expressions en coordonnées cartésiennes
𝐎𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐱 𝐮⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐲 𝐮𝐱 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐳 𝐮𝐲 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐳 𝒗(𝐌)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐑 =𝒅𝐎𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝒕 = 𝒙̇ 𝒖⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒚 ̇𝒖𝒙 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒛 ̇𝒖𝒚 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒛 𝒂(𝑴)𝑹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒅𝒗⃗⃗⃗
𝒅𝒕)
𝓡= (𝒅𝟐𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝒕𝟐 )
𝓡= 𝒙̈ 𝒖⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒚̈ 𝒖𝒙 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒛̈ 𝒖𝒚 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝒛 𝒅𝐎𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒗(𝐌)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐝𝐭 = 𝐝𝐱 𝐮𝐑 ⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐝 𝐲 𝐮𝐱 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐳𝐳 𝐮𝐲 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐳
34) Mouvements accéléré, retardé, uniforme et non accéléré : definitions et conditions
Type de mouvement Evolution de la norme ‖𝒗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝒗 de la vitesse Condition 𝓡
Accéléré 𝑣 augmente 𝑎⃗. 𝑣⃗ > 0
Retardé ou décéléré 𝑣 diminue 𝑎⃗. 𝑣⃗ < 0
Uniforme 𝑣 constante 𝑎⃗. 𝑣⃗ = 0
Non accéléré 𝑣⃗ = 𝑐𝑡𝑒⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, mouvement rectiligne uniforme 𝑎⃗ = 0⃗⃗
35) Tension exercée par ressort (définir les différents termes)
∀ℓ; 𝑻⃗⃗⃗ = −𝒌(𝓵 − 𝓵𝟎) 𝒖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑹→𝑴
Pour un ressort de longueur ℓ, de longueur à vide ℓ0, de constante de raideur 𝑘, avec 𝑢𝑅→𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vecteur unitaire dirigé du point d’attache du ressort vers le point M accroché au ressort.
36) Poussée d’Archimède
Tout corps totalement immergé dans un ensemble de fluides au repos subit de la part de ces fluides une force (poussée d’Archimède) s’appliquant au barycentre des fluides déplacés, égale à l’opposé du poids du fluide déplacé par le solide immergé.
Dans un fluide homogène de masse volumique 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒∶ 𝚷⃗⃗⃗ = −𝝆𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆𝑽𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆𝒈⃗⃗⃗
37) * Quantité de mouvement d’un point matériel : 𝒑
⃗⃗⃗(𝑴)𝓡= 𝒎𝒗⃗⃗⃗(𝑴)𝓡
Où 𝑚 est la masse du point et 𝒗⃗⃗⃗ sa vitesse
38) Seconde loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique
Dans un référentiel galiléen, pour une particule de masse 𝒎 constante et d’accélération 𝒂⃗⃗⃗R soumise à une résultante de forces extérieures𝑭⃗⃗⃗𝒆𝒙𝒕,𝑹 =∑ 𝑭⃗⃗⃗𝒆𝒙𝒕,𝒊 :
𝒅𝒑⃗⃗⃗
𝒅𝒕= 𝑭⃗⃗⃗𝒆𝒙𝒕,𝑹 = ∑ 𝑭⃗⃗⃗𝒆𝒙𝒕,𝒊
39) Puissance fournie par la force 𝑭⃗⃗⃗ subie par un point M se déplaçant à la vitesse 𝒗⃗⃗⃗R dans le référentiel 𝓡 considéré :
𝓟𝒊 = 𝑭⃗⃗⃗⃗𝒊 . 𝒗⃗⃗⃗R =𝜹𝑾
𝒅𝒕
(en W, avec 1 W = 1 J/s = 1 N.m/s).
40) Travail 𝑾(𝑭⃗⃗⃗) de la force 𝑭⃗⃗⃗ au cours d’un déplacement infinitésimal : 𝜹𝑾(𝑭⃗⃗⃗(𝑴) = 𝓟 𝒅𝒕 = 𝑭⃗⃗⃗(𝑴). d𝐎𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (en J).
41) Travail 𝑾 de la force 𝑭⃗⃗⃗ appliquée à M sur le trajet () de A à B : somme des travaux élémentaires
𝑾𝑨−𝑩,(𝚪) = ∫ 𝓟 𝒅𝒕 𝒕𝟏𝒕𝟐 = ∫𝑩 𝑭⃗⃗⃗. d𝐎𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨,(𝚪)
42) * Théorème de la puissance cinétique 𝒅𝑬𝒄
𝒅𝒕 = 𝓟𝒕𝒐𝒕= ∑ 𝓟(𝑭⃗⃗⃗⃗)𝒊
𝒊
= ∑ 𝐯⃗⃗⃗⃗. 𝑭𝒊 ⃗⃗⃗⃗𝒊
𝒊
43) * Théorème de l’énergie cinétique TEC
𝜟 𝑬𝒄 = ∑ 𝑾𝒊 ( F⃗⃗⃗⃗ ) i
44) Lien entre force conservative et énergie potentielle associée
𝜹𝑾(𝑭⃗⃗⃗(𝑴) = 𝑭⃗⃗⃗(𝑴). 𝐝𝐎𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝒅𝑬𝒑 ; 𝐹⃗ = − grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝐸𝑝) 𝑾𝑨−𝑩,(𝚪)= ∫𝑨,(𝚪)𝑩 𝑭⃗⃗⃗. 𝐝𝐎𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝚫𝑬𝒑 = 𝑬𝒑(𝑨) − 𝑬𝒑(𝑩)
45) Théorème de l’énergie mécanique TEM
Dans un référentiel galiléen entre A et B selon le trajet (𝚪): la variation d’énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives :
𝑨𝑩(𝑬𝒎)(𝑴) = 𝑾 (𝑭⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)𝒏𝒄
46) Théorème de la puissance mécanique TPM
Dans un référentiel galiléen, la dérivée de l’énergie mécanique est égale à la puissance des forces non conservatives : 𝒅𝑬𝒎𝒅𝒕 = 𝓟 (𝑭⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)𝒏𝒄
MK6
47) Grandeur complexe 𝑿(𝒕) associée à une grandeur sinusoïdale 𝑿(𝒕) = 𝑿m𝐜𝐨 𝐬(𝒕 +)
𝑋(𝑡) = 𝑋𝑚𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜑) avec 𝑋(𝑡) = ℛ𝑒(𝑋(𝑡)) ;
48) Amplitude complexe 𝑿𝒎 associée à 𝑿(𝒕) = 𝑿m𝐜𝐨 𝐬(𝒕 +), obtention de l’amplitude et de la phase à l’origine à partir de 𝑿(𝒕)
𝑋(𝑡) = 𝑋𝑚𝑒𝑖𝜔𝑡 soit 𝑋𝑚= 𝑋𝑚𝑒𝑖𝜑 On a alors 𝑋𝑚= |𝑋𝑚| et 𝐴𝑟𝑔 (𝑋𝑚) = 𝜑
49) Dérivée par rapport à 𝒕 d’une grandeur complexe 𝑿(𝒕) = 𝑿𝒎 𝒆𝒋(𝝎𝒕+𝝓) Dérivation par rapport à 𝑡 d’une grandeur complexe ⟺ multiplication par 𝑖𝜔 Si 𝑿(𝒕) = 𝑿𝒎 𝒆𝒋(𝝎𝒕+𝝓) ; 𝑿•(𝒕) = 𝒋𝝎𝑿(𝒕) ; 𝑿••(𝒕) = (𝒋𝝎)𝟐𝑿(𝒕) = −𝝎𝟐𝑿(𝒕) 50) * Conditions de résonance en élongation (ou amplitude, ou en charge) et en vitesse
(ou en intensité) Résonance si 𝑄 > 1
√2 pour la résonance en élongation, pas de condition pour la résonance en vitesse
51) * Pulsation de résonance pour une résonance en élongation, cas pour 𝑸 ≫ 𝟏 Pulsation de résonance 𝜔𝑟< 𝜔0, avec pour 𝑄 ≫ 1 𝜔𝑟≈ 𝜔0
52) ** Amplitude 𝑺𝒎 de la réponse en fonction de l’amplitude 𝑬𝒎 de l’entrée à la pulsation 𝝎 = 𝝎𝟎 pour une résonance en élongation
𝑺𝒎= 𝑸𝑬𝒎
53) Définition de l’impédance complexe en convention récepteur en électrocinétique 𝒁 =𝒖
𝒊
54) Impédances complexes de 𝑹, 𝑳 et 𝑪 :
𝑹 𝑍𝑅= 𝑅 𝑳 𝑍𝐿= 𝑗𝐿𝜔 𝑪 𝑍𝐶= 1
𝑗𝐶𝜔 55) * Décomposition de Fourier d’un signal périodique de période 𝑻, de pulsation
𝝎𝟏= 𝟐𝝅
𝑻
𝒔(𝒕) = 𝑽𝟎+ ∑ 𝑽𝒌𝒄𝒐𝒔(𝒌𝝎𝟏𝒕 + 𝝋𝒌)
∞
𝒌=𝟏
• Terme V0 : valeur moyenne < 𝑠(𝑡) > du signal (composante de pulsation nulle).
•Pulsation 𝜔1 du signal périodique 𝑠(𝑡) : pulsation de la 1ère composante sinusoïdale (quand elle existe) = harmonique de rang 1 ou terme fondamental ou fondamental.
• Termes de la forme 𝑉𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜔𝑡 + 𝜑𝑘) : harmoniques de rang k (ou d’ordre k).
THM0
56) ** Soit un atome 𝒁𝑨𝑿 ; indiquer la signification des grandeurs 𝑨 et 𝒁, ainsi que les autres grandeurs auxquelles elles donnent accès.
𝑍 = nombre de charge, correspond au nombre de protons dans le noyau de l’atome ; un atome, électriquement neutre, possède 𝑍 électrons.
𝐴 = nombre de masse, correspond au nombre de nucléons dans le noyau : 𝑨 = 𝒁 + 𝑵 où 𝑁 = nombre de neutrons.
57) Donner le lien entre le nombre 𝑵 de particules et le nombre 𝒏 de moles, en définissant soigneusement la grandeur introduite.
𝑁 = 𝑁𝐴. 𝑛
avec 𝑁𝐴 nombre d’Avogadro tq NA = 6,02.1023 mol-1 (nombre d’entités dans une mole).
58) Donner le lien entre le nombre de moles d’un système et sa masse, en définissant les grandeurs introduites et en précisant leurs unités usuelles.
𝑛 =𝑚 𝑀
avec 𝑛 : quantité de matière (en mol), 𝑚 : masse de l'échantillon (en kg ou g) et 𝑀 : masse molaire (en kg. mol−1 ou en g. mol−1).
THM 1 : Formes d’énergie
59) Lien entre puissance et travail reçus (préciser les unités) 𝓟= 𝑾
𝒅𝒕 soit 𝑾𝟏→𝟐= ∫𝒕𝒕𝟐𝓟𝐝𝒕
𝟏 avec 𝑊1→2 travail reçu entre les instants 𝑡1
et 𝑡2, en Joules (J), et 𝑃 puissance reçue en Watt (W).
60) Unités S.I. de 𝑷 et 𝑻, Conversion entre Kelvin et Celsius, entre Pa, bar et atm.
Unité S.I. de T° : le K, avec 𝑇 (Kelvin) = (Celsius) + 273,15 K. d’où 𝑇 = . Unité S.I. de pression : le Pascal (Pa), avec 1 bar = 105 Pa, 1 atm = 1,013 bar 61) Equation d’état des gaz parfaits : énoncé, conditions de validité
𝑷𝑽 = 𝒏𝑹𝑻
avec 𝑷 en Pa, 𝑽 en m3, 𝒏 en mol, 𝑻 en K et 𝑹 = 8,314 J.mol-1.K-1 ; d’autant mieux vérifiée que la pression est faible (et la température élevée)
62) * Définitions de l’énergie totale, de l’énergie interne.
𝑼 = 𝑬𝒄,micro + 𝑬𝒑,int (Joules) 𝑬𝒕𝒐𝒕= 𝑬𝒎+ 𝑼
63) Définir la capacité thermique isochore 𝑪𝒗 d’un système fermé dont l’énergie interne ne dépend que de la température et préciser son unité
𝒅𝑼 = 𝑪𝒗 𝒅𝑻 𝑪𝒗 =𝒅𝑼
𝒅𝑻 (J/K) Cas usuels de capacités thermiques constantes :
𝑼 = 𝑪𝒗𝑇 = 𝑚𝑐𝑣𝑇 = 𝑛𝐶𝑣𝑚𝑇
THM 2 : Transferts d’énergie
50) Lien entre puissance thermique 𝓟𝒕𝒉et quantité de chaleur échangée 𝑸 : 𝓟𝒕𝒉= 𝜹𝑸
𝒅𝒕 = 𝑸̇
51) Définition d’une paroi diatherme (ou diathermane) ; conséquence à l’équilibre Qui laisse parfaitement s’effectuer les échanges d’énergie thermique ; à l’équilibre, égalité des températures de part et d’autre de la paroi.
52) Définition d’une paroi isolante (thermiquement isolée, calorifugée) ; conséquence :
ne laissant aucun transfert thermique s’effectuer. L’équilibre thermique ne peut s’établir avec le milieu extérieur, 𝑸 = 𝟎.
53) Noms des transformations à paramètre d’état constant :
isotherme isobare isochore
𝑇 = 𝑐𝑡𝑒 𝑃 = 𝑐𝑡𝑒 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒
54) Définition d’une transformation adiabatique :
Qui a lieu sans aucun transfert d’énergie thermique : 𝑸 = 𝟎. Attention ! ne pas confondre avec une isotherme !!
55) Enoncer les lois de Laplace pour un gaz parfait ainsi que les principales conditions de validité associées
Transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait, si = cte et 𝑊tot = 𝑊pression
𝑃𝑉𝛾= 𝐾1
** 𝑇𝑉𝛾−1= 𝐾2 ; 𝑃𝑇
𝛾
1−𝛾= 𝐾3 ou 𝑃1−𝑇= 𝐾4
56) Travail des forces de pression extérieure
Transformation élémentaire : 𝜹𝑾𝒑= −𝒑𝒆𝒙𝒕𝒅𝑽 Transformation globale : 𝑊𝑝= − ∫ 𝑝𝑒𝑥𝑡𝑑𝑉
57) Travail des forces de pression extérieure sur une transformation quasi-statique mécaniquement réversible finie, le volume du système variant de 𝑽𝒊 à 𝑽𝒇
𝑾 = ∫ −𝒑𝒆𝒙𝒕𝒅𝑽
𝑽𝒇
𝑽𝒊
=⏟
𝑬𝑸𝑺𝑴𝑹
∫ −𝑷𝒅𝑽
𝑽𝒇
𝑽𝒊
58) * Représentation graphique du travail des forces de pression dans le diagramme de Clapeyron
Le travail des forces de pression peut s’interpréter comme l’aire sous la courbe.
|𝑊| = | ∫ 𝑃𝑑𝑉
𝑉𝑓
𝑉𝑖
| = |𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒|
𝑊 > 0 si 𝑉 diminue, soit lors d’une compression.
𝑊 < 0 si 𝑉 augmente, soit lors d’une détente.
59) Expressions des efficacités des machines thermiques dithermes 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑡é = "𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒"
"𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜û𝑡"= é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑒𝑟𝑐ℎé𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑎𝑦𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛 𝑐𝑜û𝑡 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒
Machine thermique
Moteur ditherme Machine frigorifique
Pompe à chaleur Efficacités
𝒆𝒎 = −𝑾 𝑸𝒄
𝑪𝒐𝑷𝒇𝒓𝒊𝒈𝒐=𝑸𝒇
𝑾 𝑪𝒐𝑷𝑷𝑨𝑪=−𝑸𝒄 𝑾
THM 3 : Bilans d’énergie
60) Bilan d’énergie issu du 1er principe dans le cas usuel où ∆𝑬 ≈ ∆𝑼 𝒅𝑼 = 𝜹𝑾 + 𝜹𝑸 ; 𝑼 = 𝑾 + 𝑸 ;
61) Définition de l’enthalpie
• Enthalpie 𝑯 : 𝑯 = 𝑼 + 𝑷𝑽 fonction d’état extensive en J,
• Enthalpie massique ℎ : ℎ = 𝐻/𝑚 = 𝑢 + 𝑃𝑣 ; en J/kg
• Enthalpie molaire 𝐻m : 𝐻𝑚= 𝐻/𝑛 = 𝑈𝑚+ 𝑃𝑉𝑚 ; en J/mol
62) Bilan d’énergie pour les transformations particulières suivantes en l’absence de travail autre que celui des forces de pression : monobare avec 𝑷i = 𝑷f = 𝑷0 , isochore.
𝑯 = 𝑸𝑷 𝑼 = 𝑸𝑽
THM 4 : Application du 1
erprincipe aux systèmes monophasés
63) Expressions des variations d’énergie interne pour un gaz parfait (cas d’une transformation élémentaire et d’une transformation globale).
𝑼 = 𝒏𝑪𝒗,𝒎𝜟𝑻 = 𝒏𝑹
𝜸−𝟏𝚫𝐓 𝒅𝑼 = 𝒏𝑪𝒗,𝒎𝒅𝑻 = 𝒏𝑹
𝜸−𝟏𝐝𝐓
64) Expressions des variations d’enthalpie pour un gaz parfait (cas d’une transformation élémentaire et d’une transformation globale).
𝜟𝑯 = 𝒏𝑪𝒑,𝒎𝜟𝑻 = 𝒏𝑹𝜸
𝜸−𝟏∆𝑻 ; 𝒅𝑯 = 𝒏𝑪𝒑,𝒎𝒅𝑻 = 𝒏𝑹𝜸
𝜸−𝟏𝒅𝑻
65) Expressions des variations d’énergie interne et d’enthalpie pour une phase condensée incompressible et indilatable (PCII) (cas d’une transformation élémentaire et d’une transformation globale).
𝑼 = 𝜟𝑯 = 𝑪𝜟𝑻 = 𝒎𝒄𝚫𝐓 ; 𝒅𝑼 = 𝒅𝑯 = 𝑪𝒅𝑻 = 𝒎𝒄𝐝𝐓
66) * Relation de Mayer pour un gaz parfait
Relation de Mayer : 𝐂𝒑 − 𝐂𝑽 = 𝐧𝐑 𝐞𝐧 𝐉/𝐊 ; 67) * Définition du coefficient de Laplace d’un gaz parfait
Coefficient de Laplace (ou isentropique) : 𝜸 = 𝑪𝒑
𝑪𝒗=𝒄𝒑
𝒄𝒗 =𝑪𝒑,𝒎
𝑪𝒗,𝒎
THM5 : Bilans d’énergie lors des trasnformations physiques ou chimiques
68) Titre massique ou molaire en phase 𝒊 pour un corps pur 𝑥𝑖= 𝑚𝑖
𝑚1+ 𝑚2
= 𝑚𝑖 𝑚𝑡𝑜𝑡
= 𝑛𝑖 𝑛1+ 𝑛2
= 𝑛𝑖 𝑛𝑡𝑜𝑡
69) Définitions de la vapeur sèche et de la vapeur saturante
Vapeur sèche (ou vapeur surchauffée) : gaz en absence de tout liquide (domaine monophasique)
Vapeur saturante : vapeur en présence de liquide (état diphasique) : tant qu’il existe au moins une goutte de liquide dans le gaz (rosée) ou une bulle de gaz dans le liquide.
70) Définition de la pression de vapeur saturante
Pression de vapeur saturante 𝑃sat(𝑇) : pression maximale d’existence de la vapeur sèche, ou encore pression d’équilibre de l’équilibre liquide / vapeur à 𝑇 fixée.
71) * Allure du diagramme (𝑷, 𝑻)
72) Allure du diagramme (𝑷, 𝒗) pour l’équilibre liquide vapeur
73) Lien entre titre massique
en vapeur et volumes massiques pour un mélange liquide – vapeur, règle des moments 𝒗 = 𝒙𝒗𝒗𝒗+ (𝟏 − 𝒙𝒗)𝒗𝑳 soit 𝒙𝒗= 𝒗−𝒗𝑳
𝒗𝒗−𝒗𝑳=𝑳𝑴
𝑳𝑽
74) Lien entre titre massique en vapeur et enthalpies massiques pour un mélange liquide – vapeur, règle des moments
𝒉 = 𝒙𝒗𝒉𝒗+ (𝟏 − 𝒙𝒗)𝒉𝑳 soit 𝒙𝒗= 𝒉−𝒉𝑳
𝒉𝒗−𝒉𝑳=𝑳𝑴
𝑳𝑽
M
M
75) Définition de l’enthalpie massique de changement d’état à 𝑻, 𝑷*(𝑻) (en J/kg) Différence entre les enthalpies massiques du corps pur dans la phase 2 et dans la phase 1 à 𝑻 :
∆
𝟏−𝟐𝒉(𝑻) = 𝒉
𝟐(𝑻) − 𝒉
𝟏(𝑻) = 𝑳
𝟏−𝟐(𝑻) = 𝒉
𝟏−𝟐(𝑻)
76) Lien entre enthalpies de vaporisation et de liquéfaction, enthalpies de fusion et de solidification, etc.
∆𝒗𝒂𝒑𝒉(𝑻) = − ∆𝒍𝒊𝒒𝒉(𝑻) ; ∆𝒇𝒖𝒔𝒉(𝑻) = − ∆𝒔𝒐𝒍𝒉(𝑻) ∆𝟏−𝟐𝒉(𝑻) = − ∆𝟐−𝟏𝒉(𝑻)
77) Bilan d’énergie lors d’un changement d’état isotherme réversible : Bilan enthalpique : ∆𝑯 =⏟
𝒊𝒔𝒐𝒕𝒉𝒆𝒓𝒎𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒊𝒔𝒐𝒃𝒂𝒓𝒆
𝑸𝑷 =⏟
𝒄𝒉𝒂𝒏𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒅′é𝒕𝒂𝒕 𝒔𝒆𝒖𝒍 à (𝑻,𝑷)𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒔
𝒎𝟏𝟐∆𝟏−𝟐𝒉
Où m12 est la masse subissant le changement d’état 1→ 2. 𝒎𝟏𝟐= 𝒎𝟐,𝑭− 𝒎𝟐,𝑰
78) Bilan d’énergie lors d’une réaction chimique isotherme et isobare : Bilan enthalpique : ∆𝑯 =⏟
𝒊𝒔𝒐𝒕𝒉𝒆𝒓𝒎𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒊𝒔𝒐𝒃𝒂𝒓𝒆
𝑸𝑷 =⏟
𝒄𝒉𝒂𝒏𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒅′é𝒕𝒂𝒕 𝒔𝒆𝒖𝒍 à (𝑻,𝑷)𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒔
𝝃∞∆𝒓𝑯
Où 𝝃∞est l’avancement final de la réaction chimique étudiée et ∆𝒓𝑯 l’enthalpie de réaction chimique.
THM6 : 2
ndprincipe de la thermodynamique – application aux machines thermiques cycliques
79) Bilan issu du second principe de la thermodynamique, entropie créée
∆S = Séch + Scréée
• L’entropie créée Scréée ≥ 𝟎 , et Scréée = 𝟎 pour une transformation réversible Scréée > 𝟎 pour une transformation irréversible
80) * Echanges d’entropie
• Echanges d’entropie au cours d’une transformation quelconque pendant laquelle un système fermé reçoit des transferts thermiques 𝑄𝑖 de la part de sources de chaleur aux températures 𝑇𝑖, 𝑆é𝑐ℎ= ∑ 𝑄𝑖
𝑇𝑖 𝑖
81) Inégalité de Clausius
∆𝑺 ≥ ∑ 𝑸𝒊
𝑻𝒔,𝒊
𝒆𝒊→𝒆𝒇
82) Entropie massique de transition de phase
◼ Entropie massique de changement d’état ou de transition de phase, à T, P*(T) (en J.K-1.kg-1) : différence entre les entropies massiques du corps pur dans la phase 2 et dans la phase 1 à T :
∆𝟏−𝟐𝒔(𝑻) = 𝒔𝟐(𝑻) − 𝒔𝟏(𝑻)
◼ Entropie massique de vaporisation (liquide / vapeur) : ∆𝒗𝒂𝒑𝒔(𝑻) = 𝒔𝒗(𝑻) − 𝒔𝒍(𝑻) = − ∆𝒍𝒊𝒒𝒔(𝑻)
avec 𝑠𝑣(𝑇) entropie massique de la phase vapeur saturante à la température 𝑇 et à la pression 𝑃sat(𝑇),
𝑠𝐿(𝑇) entropie massique de la phase liquide saturant à la température 𝑇 et à la pression 𝑃sat (𝑇)
83) Lien entre enthalpie et entropie de transition de phase d’un corps pur au cours d’une transition de phase 𝟏 → 𝟐 à la température 𝑻𝟏𝟐
∆𝒔𝟏→𝟐(𝑻) =∆𝒉𝟏→𝟐(𝑻𝟏𝟐) 𝑻𝟏𝟐
Exemples : ∆𝒔𝒇𝒖𝒔(𝑻) =∆𝒇𝒖𝒔𝒉(𝑻𝒇𝒖𝒔)
𝑻𝒇𝒖𝒔 ; ∆𝒔𝒗𝒂𝒑(𝑻) =∆𝒗𝒂𝒑𝒉(𝑻𝒗𝒂𝒑)
𝑻𝒗𝒂𝒑
84) Variation d’entropie d’une masse 𝒎𝟏𝟐 d’un corps pur au cours d’un changement d’état 𝟏 → 𝟐 à la température 𝑻𝟏𝟐 constante :
∆𝑺𝟏→𝟐(𝑻) = 𝒎qui change de phase𝟏→𝟐𝒉 𝑻𝟏𝟐 = 𝑚12
𝟏→𝟐𝒉
𝑻𝟏𝟐 = 𝒎𝒕𝒐𝒕(𝒙𝟐𝒇− 𝒙𝟐𝒊)𝟏→𝟐𝒉
𝑻𝟏𝟐
85) Signes des échanges d’énergie pour l’une des machines thermiques suivantes
Machine thermique
Moteur ditherme Machine frigorifique Pompe à chaleur
Signes des échanges
86) Caractéristiques de l’efficacité de Carnot
Efficacité de Carnot = efficacité maximale, atteinte pour un cycle réversible 87) Expressions de l’efficacité et de l’efficacité de Carnot pour l’une des machines
thermiques dithermes suivantes 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑡é = "𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒"
"𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜û𝑡"= é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑒𝑟𝑐ℎé𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑎𝑦𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛 𝑐𝑜û𝑡 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒
Machine thermique
Moteur ditherme Machine frigorifique Pompe à chaleur Efficacités
𝒆𝒎 = −𝑾
𝑸𝒄 𝑪𝒐𝑷𝒇𝒓𝒊𝒈𝒐=𝑸𝒇
𝑾 𝑪𝒐𝑷𝑷𝑨𝑪=−𝑸𝒄
𝑾 Efficacités
de Carnot 𝒆𝒎,𝒄 = 𝟏 −𝑻𝑭 𝑻𝑪
𝑪𝒐𝑷𝒇𝒓𝒊𝒈𝒐,𝒄= 𝑻𝑭 𝑻𝒄− 𝑻𝑭
𝑪𝒐𝑷𝑷𝑨𝑪,𝒄= 𝑻𝒄 𝑻𝒄− 𝑻𝑭
THM7 : Machines thermiques cycliques
88) Définition du débit massique, unité S.I.
Pour une masse 𝑑𝑚 traversant une section de conduite pendant un temps 𝑑𝑡, le débit massique au niveau de cette conduite est (unité S.I. : kg.s-1) :
𝐷𝑚=𝑑𝑚
𝑑𝑡
89) * Premier principe appliqué à un écoulement permanent, équation en termes de puissance :
𝐷𝑚 [(ℎ𝑠− ℎ𝑒) + (½ 𝒄𝒔𝟐− ½ 𝒄𝒆𝟐) + (𝑔𝑧𝑠− 𝑔𝑧𝑒)] = 𝑃𝑢+ 𝑃𝑡ℎ
𝑷𝒖Puissance mécanique utile reçue : 𝑃𝑢= 𝛿𝑊𝑑𝑡𝑢 ;
𝑷𝒕𝒉 Puissance thermique reçue : 𝑷𝒕𝒉= 𝑄̇ =𝛿𝑄 𝑑𝑡
𝐷𝑚 débit massique, ℎ𝑖 enthalpies massiques ; 𝑐𝑖 célérités ; 𝑧𝑖 altitudes
90) * Premier principe appliqué à un écoulement permanent, équation massique : (ℎ𝑠− ℎ𝑒) + (½ 𝒄𝒔𝟐− ½ 𝒄𝒆𝟐) + (𝑔𝑧𝑠− 𝑔𝑧𝑒) = 𝒘𝒖+ 𝒒
𝒘𝒖travail massique utile reçu ; q chaleur massique reçue ; ℎ𝑖 enthalpies massiques ; 𝑐𝑖 célérités ; 𝑧𝑖 altitudes
91) Premier principe industriel : équation en terme de puissance et équation massique
𝐷𝑚 (ℎ𝑠− ℎ𝑒) = 𝑃𝑢+ 𝑃𝑡ℎ ; (ℎ𝑠− ℎ𝑒) = 𝑤𝑢+ 𝑞 𝒘𝒖travail massique utile reçu ; q chaleur massique reçue
𝑷𝒖Puissance mécanique utile reçue : 𝑃𝑢= 𝛿𝑊𝑢
𝑑𝑡 ; 𝑷𝒕𝒉 Puissance thermique reçue : 𝑷𝒕𝒉= 𝑄̇ =𝛿𝑄
𝑑𝑡 𝐷𝑚 débit massique, ℎ𝑖 enthalpies massiques
92) Caractéristiques de l’un des organes suivants : pompe, compresseur, turbine, détendeur, échangeur de chaleur (on précisera le rôle et les caractéristiques des échanges d’énergie)
Organe Rôle Nature de la
transformation
Echanges d’énergie Compresseur augmenter la pression d’un gaz Adiabatique, modèle
classique : isentropique
𝒘𝒖 > 0 ; 𝒒 = 𝟎
Pompe augmenter la pression d’un liquide Adiabatique 𝒘𝒖 > 0 ;
𝒒 = 𝟎 Détendeur diminuer la pression d’un fluide Isenthalpique 𝒘𝒊 = 0 ; 𝒒 = 𝟎
Turbine mise en mouvement par le fluide Adiabatique 𝒘𝒖 < 0 ;
𝒒 = 𝟎 Echangeur thermique ;
chaudière, etc.
Faire varier la température du fluide ou faire un changement d’état
𝒘𝒖 = 0 ; 𝒒 𝟎 Evaporateur Echangeur thermique dans lequel il
y a vaporisation
Monobare 𝒘𝒖 = 𝟎 ; 𝒒 > 𝟎 Condenseur Echangeur thermique dans lequel il
y a liquéfaction
Monobare 𝒘𝒖 = 𝟎 ; 𝒒 < 𝟎
MFL1 : Statique des fluides
93) Masse volumique en un point M donné, pour un élément de volume 𝒅𝝉 𝝆(𝑴) = 𝒅𝒎
𝒅𝝉
94) Relation fondamentale de la statique des fluides dans un champ de pesanteur uniforme
𝒅𝒑
𝒅𝒛= −𝝆𝒈 si 𝑶𝒛 désigne la verticale ascendante,
𝒅𝒑
𝒅𝒛= +𝝆𝒈 si O𝒛 désigne la verticale descendante
95) Relation fondamentale de la statique des fluides incompressibles 𝒑𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝒃𝒂𝒔= 𝒑𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝒉𝒂𝒖𝒕+ 𝝆𝒈|∆𝒛|
96) Force pressante s’exerçant sur une surface 𝑺 quelconque : 𝑭⃗⃗⃗𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏= ∬ 𝒅𝑭⃗⃗⃗𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆→𝒑𝒂𝒓𝒐𝒊(𝑴)
𝑴∈𝑺
= ∬ 𝒑(𝑴) 𝒅𝑺⃗⃗⃗
𝑴∈𝑺
MFL2 : Caractéristiques d’un écoulement de fluides
97) Débit massique 𝑫𝒎 au travers d’une section S :
Masse de fluide 𝜹𝒎 qui traverse la section S pendant une durée infinitésimale 𝐝𝒕, en kg·s−1.
𝑫𝒎 =𝜹𝒎
𝐝𝒕 = ∬
𝝆 𝒗
⃗⃗⃗∙ 𝒅𝑺
⃗⃗⃗𝑺 98) Débit volumique 𝑫𝒗 au travers d’une section S :
Volume de fluide 𝜹𝑽 qui traverse la section S pendant une durée infinitésimale 𝐝𝒕, en m3·s−1.
𝑫𝒗 =𝜹𝑽
𝐝𝒕 = ∬
𝒗
⃗⃗⃗∙ 𝒅𝑺
⃗⃗⃗𝑺
99) Flux d’un champ vectoriel 𝒂⃗⃗⃗, à travers une surface (𝚺) orientée finie : 𝚽 = ∬ 𝒂⃗⃗⃗(𝑴) ∙ 𝒅𝑺⃗⃗⃗
(𝚺)
100) Lien entre les débits massiques et volumiques pour un écoulement stationnaire et incompressible à travers une surface 𝑺 :
𝑫𝒎= 𝝆𝑫𝒗
101) Expression en coordonnées cartésiennes de l’opérateur divergence 𝐝𝐢𝐯(𝒂⃗⃗⃗) = (𝝏𝒂𝒙
𝝏𝒙)
𝒚,𝒛+ (𝝏𝒂𝒚
𝝏𝒚)
𝒛,𝒙
+ (𝝏𝒂𝒛
𝝏𝒛)
𝒙,𝒚
102) Caractéristique locale d’un écoulement incompressible 𝐝𝐢𝐯(𝒗⃗⃗⃗) = 𝟎
103) Expression en coordonnées cartésiennes de l’opérateur rotationnel
𝐫𝐨𝐭⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝒂⃗⃗⃗) =
|
| (𝝏
𝝏𝒙)
𝒚,𝒛
(𝝏
𝝏𝒚)
𝒛,𝒙
(𝝏
𝝏𝒛)
𝒙,𝒚
∧|
| 𝒂𝒙
𝒂𝒚
𝒂𝒛
=
|
| (𝝏𝒂𝒛
𝝏𝒚)
𝒛,𝒙
− (𝝏𝒂𝒚
𝝏𝒛)
𝒙,𝒚
(𝝏𝒂𝒙
𝝏𝒛)
𝒙,𝒚
− (𝝏𝒂𝒛
𝝏𝒙)
𝒚,𝒛
(𝝏𝒂𝒚
𝝏𝒙)
𝒚,𝒛
− (𝝏𝒂𝒙
𝝏𝒚)
𝒛,𝒙
ou
𝐫𝐨𝐭⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝒂⃗⃗⃗) = [(𝝏𝒂𝒛
𝝏𝒚)
𝒛,𝒙
− (𝝏𝒂𝒚
𝝏𝒛)
𝒙,𝒚
] 𝐞⃗⃗𝐱+ [(𝝏𝒂𝒙
𝝏𝒛)
𝒙,𝒚
− (𝝏𝒂𝒛
𝝏𝒙)
𝒚,𝒛
] 𝐞⃗⃗𝐲
+ [(𝝏𝒂𝒚
𝝏𝒙)
𝒚,𝒛
− (𝝏𝒂𝒙
𝝏𝒚)
𝒛,𝒙
] 𝐞⃗⃗𝐳
104) Caractéristique locale d’un écoulement irrotationnel 𝒓𝒐𝒕⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝒗⃗⃗⃗) = 𝟎
105) ** Circulation d’un champ vectoriel 𝒂⃗⃗⃗ sur un parcours 𝑨𝑩 fini :
𝑪 = ∫ 𝜹𝑪
(𝑨𝑩)
= ∫ 𝒂⃗⃗⃗(𝑴) ∙ 𝒅𝑴⃗⃗⃗⃗
(𝑨𝑩)
106) ** Définition de l’opérateur Laplacien et expression en coordonnées cartésiennes
Laplacien d’un champ scalaire : ∆𝒇 = 𝐝𝐢𝐯 (𝐠𝐫𝐚𝐝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒇)) En coordonnées cartésiennes : ∆𝒇 = (𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝟐)
𝒚,𝒛+ (𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝟐)
𝒛,𝒙
+ (𝝏𝟐𝒇
𝝏 𝒛𝟐)
𝒙,𝒚
107) ** Potentiel des vitesses, cas d’un écoulement incompressible et irrotationnel 𝒓𝒐𝒕⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝒗⃗⃗⃗) = 𝟎 ⟺ 𝒗⃗⃗⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝝋
𝒓𝒐𝒕⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝒗⃗⃗⃗) = 𝟎 𝐞𝐭 𝐝𝐢𝐯(𝒗⃗⃗⃗) = 𝟎 ⟺ ∆𝜑 = 0
MFL3 : Etude énergétique d’un fluide en écoulement
108) Relation de Bernoulli, conditions de validité
𝒑𝝆+ ½ 𝒗𝟐+ 𝒈𝒛 = 𝒄𝒕𝒆 (𝐿𝑑𝐶) [𝑐𝑡𝑒𝑙𝑑𝑐] = [énergie massique]
𝒑 + ½ 𝝆𝒗𝟐+ 𝝆𝒈𝒛 = 𝒄𝒕𝒆 (𝐿𝑑𝐶) [𝑐𝑡𝑒𝑙𝑑𝑐] = [énergie volumique]= [pression]
𝒑
𝝆𝒈+ ½ 𝒗𝟐
𝒈 + 𝒛 = 𝒄𝒕𝒆 (𝐿𝑑𝐶) [𝑐𝑡𝑒𝑙𝑑𝑐] = [longueur]
Validité : écoulement PSIH
• écoulement Parfait
• écoulement Stationnaire
• écoulement Incompressible et Homogène
• le long d’une ligne de courant LdC
• Pas d’éléments actifs Champ de pesanteur uniforme
• 𝑧 ascendant référentiel galiléen
109) Relation de Bernoulli généralisée en présence d’un élément actif pour un écoulement Parfait, Stationnaire, Incompressible :
𝑫𝒎 [(𝒑𝒔
𝝆 + ½ 𝒗𝒔𝟐+ 𝒈𝒛𝒔) − (𝒑𝒆
𝝆 + ½ 𝒗𝒆𝟐+ 𝒈𝒛𝒆)] = 𝒫𝒊 ou
𝑫𝒗 [(𝒑𝒔+ ½ 𝝆𝒗𝒔𝟐+ 𝝆𝒈𝒛𝒔) − (𝒑𝒆+ ½ 𝝆𝒗𝒆𝟐+ 𝝆𝒈𝒛𝒆)] = 𝒫𝒊
110) Variation de la charge, en hauteur ou en pression, en présence d’un élément actif et de perte de charge :
(𝒑𝒔+ ½ 𝝆𝒗𝒔𝟐+ 𝝆𝒈𝒛𝒔) − (𝒑𝒆+ ½ 𝝆𝒗𝒆𝟐+ 𝝆𝒈𝒛𝒆) = 𝒫𝒊 𝑫𝒗
− ∆𝒑𝒄
(𝒑𝒔
𝝆𝒈+ 𝒗𝒔𝟐
𝟐𝒈+ 𝒛𝒔) − (𝒑𝒆
𝝆𝒈+𝒗𝒆𝟐
𝟐𝒈+ 𝒛𝒆) = 𝒫𝒊
𝒈𝑫𝒎− ∆𝒛𝒄
◼
EM1 : Electrostatique
111) Lien entre charge électrique et intensité du courant électrique 𝒊 =𝒅𝒒
𝒅𝒕 112) Valeur de la charge élémentaire 𝒆
𝒆 = 𝟏, 𝟔𝟎. 𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑪
113) Expression de la charge totale d’un système en fonction de sa densité volumique de charge 𝝆 ; unité de 𝝆
𝒒 = ∭ 𝝆(𝑷)𝒅𝝉
V
Avec 𝜌 en 𝑪. 𝒎−𝟑
114) Expression de la charge totale d’un système en fonction de sa densité surfacique de charge 𝝈 ; unité de 𝝈
𝒒 = ∬ 𝝈(𝑷) 𝐝𝑺
𝐒
Avec 𝝈 en 𝑪. 𝒎−𝟐
115) Expression de la charge totale d’un système en fonction de sa densité linéique de charge 𝝀 ; unité de 𝝀
𝒒 = ∫ 𝝀(𝑷) 𝐝𝓵
𝑪
Avec 𝝈 en 𝑪. 𝒎−𝟏
116) Force exercée par une charge ponctuelle 𝒒𝟏 sur une charge ponctuelle 𝒒𝟐 à la distance 𝒓 dans le vide (Loi de Coulomb)
𝑭𝟏𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝒒𝟏𝒒𝟐 𝟒𝝅𝜺𝟎
𝟏 𝒓𝟐𝒆⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏𝟐
117) Force subie par une charge 𝒒 placée en 𝑴 où règne un champ électrostatique 𝑬⃗⃗⃗(𝑴)
𝐹⃗⃗⃗(𝑴) = 𝒒𝐸⃗⃗⃗(𝑴)
118) Champ électrostatique créé en 𝑴 par une charge ponctuelle 𝒒𝟎 placée en 𝑶 : 𝑬⃗⃗⃗(𝑴) =𝟒𝜺𝒒𝟎
𝟎𝒓𝟐 𝒆⃗⃗𝒓= 𝒒𝟎
𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴𝟑 avec 𝒆⃗⃗𝒓= 𝒆⃗⃗𝑶𝑴= 𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖=𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒓
119) Dimension du champ électrique
[𝑬⃗⃗⃗] =[𝒄𝒉𝒂𝒓𝒈𝒆]
[𝜺𝟎] 𝑳𝟐
120) Propriétés d’un champ éléctrostatique créé par une distribution de charges possédant un plan de symétrie 𝚷𝒔
Les champs électrostatiques 𝐸⃗⃗(𝑀) et 𝐸⃗⃗(𝑀′) en deux points 𝑀 et 𝑀′symétriques par rapport au plan Π𝑠 sont eux-mêmes symétriques par rapport à Π𝑠 :
Si 𝑴′= 𝒔𝒚𝒎𝚷𝒔(𝑴), 𝑬⃗⃗⃗(𝑴′) = 𝒔𝒚𝒎𝚷𝒔𝑬⃗⃗⃗(𝑴).
Conséquence : Le champ électrostatique 𝐸⃗⃗(𝑀𝑠) en un point 𝑀𝑠 appartenant au plan Π𝑠 de symétrie est inclus dans ce plan.
121) Propriétés d’un champ éléctrostatique créé par une distribution de charges possédant un plan d’anti-symétrie 𝚷𝒂
Les champs électrostatiques 𝐸⃗⃗(𝑀) et 𝐸⃗⃗(𝑀′) en deux points 𝑀 et 𝑀′symétriques par rapport au plan Π𝑎 d’anti-symétrie sont eux-mêmes anti-symétriques par rapport à Π𝑎 :
Si 𝑴′ = 𝒔𝒚𝒎𝚷𝒂(𝑴), 𝑬⃗⃗⃗(𝑴′) = −𝒔𝒚𝒎𝚷𝒂𝑬⃗⃗⃗(𝑴),
Conséquence : Le champ électrostatique 𝐸⃗⃗(𝑀𝑎) en un point 𝑀𝑎 appartenant au plan Π𝑎 d’anti-symétrie est orthogonal à ce plan.
122) Équation de Maxwell-Gauss
𝐝𝐢𝐯(𝑬⃗⃗⃗(𝑴)) =𝝆(𝑴) 𝜀𝟎
Avec 𝜌 densité volumique de charges et 𝜀𝟎 permittivité diélectrique du vide 123) Théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique 𝐸⃗⃗ à travers une surface de GAUSS (Σ) (FERMÉE et orientée vers l’extérieur) est égal au quotient par 𝜀0 de la charge totale 𝑄𝑖𝑛𝑡 contenue dans le volume 𝒱 délimité par la surface (Σ) :
∯ 𝐸⃗⃗ ∙ d𝑆⃗
(Σ)
=𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0
124) ** Discontinuité du champ électrique pour une distribution de charge surfacique – relation de passage
Le champ électrique subit une discontinuité finie à la traversée d’une surface chargée : 𝑬⃗⃗⃗𝟐− 𝑬⃗⃗⃗𝟏 = 𝝈
𝜀0
𝒆⃗⃗𝟏𝟐 Lors de la traversée d’une surface chargée :
La composante tangentielle du champ électrique est continue ;
La composante normale du champ électrique est discontinue.
125) ** Équation de Maxwell-Faraday en régime statique : 𝐫𝐨𝐭⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑬⃗⃗⃗(𝑴)) = 𝟎⃗⃗⃗
Equation locale valable seulement en régime stationnaire.
126) Relations entre potentiel et champ électrostatiques ; unités 𝑬⃗⃗⃗ = −𝐠𝐫𝐚𝐝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑽) et 𝒅𝑽 = −𝑬⃗⃗⃗ ∙ 𝐝𝑴⃗⃗⃗⃗
Unités : potentiel V en volts : 𝑽 d’où l’unité du champ électrostatique : 𝐕. 𝐦−𝟏 127) Potentiel électrostatique créé en 𝑴 par une charge ponctuelle 𝒒𝟎 placée en 𝑶
𝑽(𝑴) =𝟒𝜺𝒒𝟎
𝟎𝒓
128) Energie potentielle de la charge 𝒒 au point 𝑴 où règne le potentiel 𝑽(𝑴) 𝑬𝒑 = 𝒒 𝑽(𝑴)
Où 𝑞 est la charge subissant la force électrostatique 129) ** Définition et valeur de l’électron-volt
Energie cinétique acquise par un électron accéléré sous une différence de potentiel de +1 𝑉.
1 𝑒𝑉 = 1,6. 10−19 𝐽
130) Définition de la capacité 𝑪 d’un condensateur
Facteur de proportionnalité entre la différence de potentiel aux bornes du condensateur et la charge portée par ce condensateur :
𝑸𝑨= 𝑪 (𝑽𝑨− 𝑽𝑩)
Où 𝑄𝐴 est la charge portée par l’armature de potentiel 𝑉𝐴 USI : 𝐶 en farads (𝐹) (valeurs usuelles du 𝒑𝑭 au, 𝝁𝑭).
131) Capacité d’un condensateur plan (sans diélectrique) 𝑪 = 𝜺𝟎 𝑺
𝒆
132) Associations série et parallèle de condensateur
◼
EM2 : Conduction électrique
133) Définition microscopique quantitative de l’intensité du courant
Intensité algébrique 𝒊 du courant électrique (avec 𝜹𝒒 charge algébrique infinitésimale traversant la section étudiée dans le sens choisi pendant d𝒕) :
𝒊 = 𝒅𝒒𝒅𝒕
134) Charge 𝑸 traversant une section 𝑺 de conducteur pendant la durée 𝜟𝒕 𝑸 = ∫ 𝒊(𝒕)𝒅𝒕
𝒕+𝚫𝒕
𝒕
135) Définition du vecteur densité de courant, unité S.I.
L’intensité à travers une surface 𝑺 peut s’écrire comme le flux d’un vecteur appelé vecteur densité de courant (en A.m-2) :
𝒊 = ∬ 𝒋⃗ ∙ 𝒅𝑺⃗⃗⃗
𝑺
136) ** Expression du vecteur densité de courant dans un conducteur métallique en fonction des caractéristiques microscopiques
𝒋⃗ = 𝒏𝒒𝒗⃗⃗⃗
où 𝑛 est la densité volumique des électrons libres
𝑞 =– 𝑒 est la charge d’un électron et 𝑣⃗ la vitesse moyenne des électrons libres
137) ** Vecteur densité de courant surfacique 𝒋⃗⃗⃗⃗𝒔 𝑰 = ∫ 𝒋⃗⃗⃗⃗. 𝒅𝒍𝒔 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝓒
avec 𝒅𝒍⃗⃗⃗⃗⃗ orienté selon la normale à la courbe 𝓒 traversée par 𝒋⃗⃗⃗⃗ 𝒔
138) Expression générale de l’équation locale de conservation de la charge
𝝏𝝆
𝝏𝒕 + 𝐝𝐢𝐯(𝒋⃗) = 𝟎 Avec 𝝆 densité volumique de charges
139) ** Vecteur densité de courant en régime stationnaire (ou équation de continuité)
En régime stationnaire, le vecteur densité de courant est un vecteur à flux conservatif : 𝐝𝐢𝐯(𝒋⃗) = 𝟎
L’intensité est la même à travers toute section du conducteur.
L’intensité est nulle à travers toute surface fermée : ∯ 𝑗⃗ ∙ 𝑑𝑆⃗
Σ = 0
140) Loi d’Ohm locale, unités de la conductivité et de la résistivité 𝒋⃗ = 𝜸𝑬⃗⃗⃗
Avec 𝛾 ou 𝜎 scalaire positif = conductivité du métal et 𝜌 =1𝛾 sa résistivité ; Unités : Résistivité : Ω. 𝑚 ; Conductivité : S.m-1
141) Forme intégrale (ou macroscopique) de la loi d’Ohm
