UPS-ATS-2018-Mathématiques Durée3h-Calculatriceinterdite Mathématiques-ATS-2018

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Mathématiques - ATS - 2018 Durée 3h - Calculatrice interdite

Exercice 1. ATS–2018–Ex. 1

On se place dans l’espace vectorielℝ³muni de sa base canoniqueℬ. Soit l’application linéaire𝑓 ∶ ℝ³⟶ ℝ³ définie par

∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧).

Pour 𝑎et𝑏deux réels, soit la matrice 𝐴_𝑎,𝑏 donnée par

𝐴_𝑎,𝑏= ⎛⎜

⎝

𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎

⎞⎟

⎠ .

Nous introduisons aussi les matrices

𝐼 = ⎛⎜

⎝

1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎞⎟

⎠

et𝐵 = ⎛⎜

⎝

1 1 1 1 1 1 1 1 1

⎞⎟

⎠ .

Enfin soitℰ l’ensemble des matrices de la forme de𝐴_𝑎,𝑏:

ℰ = {𝐴_𝑎,𝑏, (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ²}.

1. Étude de l’application linéaire.

(a) Donner l’expression de la matrice𝑀 représentative de l’application linéaire𝑓 dans la baseℬ.

(b) Pour quelles valeurs de𝑎et 𝑏a-t-on𝑀 = 𝐴_𝑎,𝑏? 2. Propriétés de l’ensembleℰ.

(a) Déterminer sans calcul les valeurs des couples de réels(𝑎, 𝑏)tels que la matrice𝐴_𝑎,𝑏soit diagona- lisable, en précisant le théorème utilisé

(b) Montrer queℰest un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des matrices 3 × 3à coefficients réels.

(c) Montrer que(𝐼, 𝐵)est une base deℰsurℝ.

(d) Donner la dimension deℰ surℝ.

(e) Donner les composantes de𝐴_𝑎,𝑏 dans le base(𝐼, 𝐵) 3. Étude de la matrice𝐵 = 𝐴_1,1.

(a) Déterminer le polynôme caractéristique𝑃_𝐵de𝐵.

(b) Montrer que 𝐵 a deux valeurs propres 𝜆₁ et 𝜆₂ que l’on calculera et dont on déterminera la multiplicité. On choisira𝜆₁< 𝜆₂. On noteraℰ₁etℰ₂les sous-espaces propres associés à ces deux valeurs propres.

(c) Donner une base(𝑣₁, 𝑣₂)deℰ₁. On choisira𝑣₁ et𝑣₂ tel que dans la baseℬleurs composantes ne contiennent que −1,0,1 et que la première composante soit1.

(d) Donner une base(𝑣₃)deℰ₂. On choisira𝑣₃tel que dans la baseℬ, la première composante de𝑣₃ soit 1.

(e) Calculer l’inverse de la matrice⎛⎜

⎝

1 1 1

−1 0 1

0 −1 1

⎞⎟

⎠

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(2)

(f) Donner une matrice 𝐷 diagonale, une matrice 𝑃 et son inverse 𝑃⁻¹ (à donner) telles que 𝐵 = 𝑃 𝐷𝑃⁻¹

4. Étude de la matrice𝐴_𝑎,𝑏.

(a) Montrer que les vecteurs𝑣₁et𝑣₂ trouvés en (3c) sont aussi des vecteurs propres de𝐴_𝑎,𝑏pour une même valeur propre𝜇₁ à déterminer en fonction de𝑎et 𝑏.

(b) Montrer que le vecteur 𝑣₃ trouvé en (3d) est aussi un vecteur propre de 𝐴_𝑎,𝑏 pour une valeur propre 𝜇₂à déterminer en fonction de𝑎et𝑏.

(c) En déduire que la matrice𝐴_𝑎,𝑏 a en général deux valeurs propres, une double 𝜇₁ et une simple 𝜇₂.

(d) Pour quelles valeurs de(𝑎, 𝑏)la matrice a-t-elle une unique valeur propre de triple.

5. Étude de la matrice𝐴²

3,⁻¹

3 .

(a) Résoudre le système{ 𝑎 − 𝑏 = 1 𝑎 + 2𝑏 = 0

(b) Déduire de ce qui précède les valeurs propres de𝐴²

3,⁻¹

3 . (c) Calculer(𝐴²

3,⁻¹₃ )²⁰¹⁸ 6. Étude de la matrice𝐴⁻¹

3,²

3.

(a) Résoudre le système{ 𝑎 − 𝑏 = −1 𝑎 + 2𝑏 = 1

(b) Déduire de ce qui précède les valeurs propres de𝐴⁻¹

3,²₃. (c) Calculer(𝐴⁻¹

3,²

3)²⁰¹⁸

On considère la fonction 2𝜋périodique𝑓 ; ℝ ⟶ ℝdéfinie sur[−𝜋, 𝜋]par

∀𝑡 ∈ [−𝜋, 𝜋], 𝑓(𝑡) = 𝜋²𝑡 − 𝑡³. Partie A

Pour𝑘entier naturel impair et𝑛entier naturel non nul, on considère les intégrales 𝐼_𝑘,𝑛= ∫

𝜋 0

𝑡^𝑘sin(𝑛𝑡)d𝑡.

1. Calculer𝐼_1,𝑛.

2. Montrer que pour 𝑘 ⩾ 3,𝐼_𝑘,𝑛=𝜋^𝑘(−1)^𝑛+1

𝑛 −𝑘(𝑘 − 1) 𝑛² 𝐼_{𝑘−2,𝑛}. 3. En déduire que𝐼_3,𝑛= 𝜋³(−1)^𝑛+1

𝑛 +6𝜋(−1)^𝑛 𝑛³ .

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(3)

2. Étudier les variations de𝑓sur le segment[−𝜋, 𝜋]

3. La fonction𝑓est-elle continue surℝ? Justifier.

4. On note

𝑆𝑓(𝑡) =

+∞

∑

𝑛=0

𝑎_𝑛cos(𝑛𝑡) +

+∞

∑

𝑛=1

𝑏_𝑛sin(𝑛𝑡) la série de Fourier de la fonction𝑓.

(a) Déterminer les coefficients𝑎_𝑛.

(b) Montrer, en utilisant la question A(4) et en précisant les étapes du calcul, que pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗, on a :𝑏_𝑛= 12(−1)^𝑛+1

𝑛³ .

5. Montrer que la série de Fourier𝑆𝑓converge vers𝑓en précisant le théorème utilisé.

6. Calculer𝑆𝑓(𝜋/2) et en déduire la valeur de

+∞

∑

𝑝=0

(−1)^𝑝 (2𝑝 + 1)³. 7. Monter que ∫

𝜋 0

𝑓²(𝑡)d𝑡 = 8𝜋⁷ 105.

8. En appliquant la relation de Parseval à 𝑓, montrer que

+∞

∑

𝑛=1

1 𝑛⁶ = 𝜋⁶

945. 9.

(a) Soit𝑛un entier supérieur ou égal à2. Montrer que 1 𝑛⁶ = ∫

𝑛 𝑛−1

1

𝑛⁶d𝑡 ⩽ ∫

𝑛 𝑛−1

1 𝑡⁶d𝑡. (b) Soit𝑁un entier supérieur ou égal à1. Montrer que

+∞

∑

𝑛=𝑁+1

1 𝑛⁶ ⩽ 1

5𝑁⁵. Partie C

On admettra pour répondre à cette partie d’algorithmique les deux résultats suivants démontrés dans la partieBquestions (8) et (9) :

+∞

∑

𝑛=1

1 𝑛⁶ = 𝜋⁶

945 et

+∞

∑

𝑛=𝑁+1

1 𝑛⁶ ⩽ 1

5𝑁⁵

1. Écrire en métalangage ou en Scilab, une fonction fin prenant comme argument un réel eps avec 10⁻¹⁰⩽eps⩽ 1et renvoyant le plus petit entier naturel non nulNtel que _5𝑁¹5 ⩽eps

2. Écrire en métalangage ou en Scilab, une fonction sommeprenant comme argument un entierNstricte- ment positif et renvoyant une approximation décimale de

𝑁

∑

𝑛=1

1 𝑛⁶.

3. En utilisant les deux fonctions précédentes, écrire en métalangage ou en Scilab une fonctionapproxpi6 prenant comme argument un réelepsstrictement positif et renvoyant une approximation de𝜋⁶ àeps près.

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(4)

On considère la fonction 𝑓deℝ² dansℝ², définie par

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ², 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³+ 𝑦³+ 𝑥²𝑦 + 𝑥𝑦²− 6𝑥 − 6𝑦

Dans l’espace affine euclidien muni d’un repère orthonormé(𝑂, ⃗𝑖, ⃗𝑗, ⃗𝑘), on considère la surface 𝑆admettant pour équation cartésienne :

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³+ 𝑦³+ 𝑥²𝑦 + 𝑥𝑦²− 6𝑥 − 6𝑦.

1. Comparer𝑓(𝑥, 𝑦)avec𝑓(𝑦, 𝑥)pour tout(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ². En déduire un plan de symétrie pour la surface𝑆.

2. Dans cette question, on cherche à déterminer les points critiques de𝑓.

(a) Calculer𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦). (b) Calculer𝑞(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦).

(c) Trouver les couples de réels(𝑥, 𝑦)solutions du système d’équations suivant : { 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0

𝑞(𝑥, 𝑦) = 0

Indication : on pourra considérer l’équation auxiliaire𝑝(𝑥, 𝑦) − 𝑞(𝑥, 𝑦) = 0.

(d) En déduire que la fonction𝑓admet quatre points critiques dont on précisera les coordonnées.

(e) À l’aide d’un théorème bien choisi, que vous énoncerez et dont vous vérifierez les hypothèses dans ce cas, montrer que 𝜕²𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕²𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

3. Dans cette question, on détermine de quels types sont les points critiques.

(a) Calculer𝑟(𝑥, 𝑦) = 𝜕²𝑓

𝜕𝑥²(𝑥, 𝑦).

(b) Calculer𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝜕²𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦(𝑥, 𝑦). (c) Calculer𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝜕²𝑓

𝜕𝑦²(𝑥, 𝑦).

(d) Calculer𝑟,𝑠,𝑡 et𝑟𝑡 − 𝑠²pour (𝑥, 𝑦)valant(1, 1),(−1, −1),(√ 3, −√

3),(−√ 3,√

3).

En déduire la nature des points critiques (maximum, minimum, ou col) trouvés à la question (2.d). Pour cela recopier et complétez le tableau récapitulatif suivant.

(1, 1) (−1, −1) (√

3, −√

3) (−√

3,√ 3) 𝑟

𝑠 𝑡 𝑟𝑡 − 𝑠² Nature

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(5)

(b) En déduire que l’ensemble de point vérifiant l’équation𝑓(𝑥, 𝑦) = 0est formé d’une droite et d’un cercle. On donnera une équation de la droite et une équation du cercle, son centre et son rayon puis les coordonnées de l’intersection de la droite et du cercle.

(c) Faire sur votre copie une figure donnant dans un repère la droite et le cercle précédents ainsi que les points critiques trouvés à la question (2d). (Une figure à main levée aussi claire que possible pourra être acceptée).