Essaidi Ali 16 octobre 2017
1 Nombres complexes :
1.1 Représentation algébrique d’un nombre complexe :
Définition 1.1 Un nombre complexezest un nombre qui s’écrit de façon unique sous la formez = a+ibaveca, b ∈ Ret i2=−1. Cette écriture s’appelle la représentation algébrique du nombre complexez.
– as’appelle la partie réelle dezet on la note<e(z).
– bs’appelle la partie réelle dezet on la note=m(z).
– L’ensemble des nombres complexes se noteC. Remarques :
– Égalité de deux nombres complexes :∀z, z0∈C, z=z0 ⇐⇒ (<e(z) =<e(z0)et=m(z) ==m(z0)).
– ∀z∈C, z= 0 ⇐⇒ <e(z) ==m(z) = 0.
– Addition et multiplication :
∀a, b, c, d∈R,(a+ib) + (c+id) = (a+c) +i(b+d)et(a+ib)(c+id) = (ac−bd) +i(ad+bc) – Carré d’un nombre complexe :Siz∈Cde représentation algébriquez=x+iyalorsz2=x2−y2+ 2ixy.
– z∈R ⇐⇒ =m(z) = 0.
– On dit qu’un nombre complexezest imaginaire pur si<e(z) = 0. L’ensemble des nombres imaginaires purs se noteiR et on aiR={z∈C/<e(z) = 0}={ix/x∈R}.
Nombres complexes sous Python :Pour construire le nombre complexez de forme algébriquez =a+ib, on tappez=a+bjouz= complex(a, b).
SousPython,jdésigne le nombre complexei:
– Définir les deux nombres complexesa= 2 +ietb= 3 + 2i: In [1]: a = 2 + 1j
In [2]: b = complex(3, 2) – Partie réelle dea:
In [3]: a.real Out[3]: 2.0 – Partie imaginaire dea:
In [4]: a.imag Out[4]: 1.0 – Calcul dea+b:
In [5]: a + b Out[5]: (5+3j) – Calcul deab:
In [6]: a * b Out[6]: (4+7j) – Calcul dea/b:
In [7]: a / b
Out[7]: (0.6153846153846154-0.07692307692307691j) – Calcul dea5:
In [8]: a**5 Out[8]: (-38+41j) In [7]: pow(a, 5) Out[7]: (-38+41j)
Définition 1.2 On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct.
– Sizest un nombre complexe de représentation algébriquez =a+ibalors on dit que le pointM(a, b)du planPest associé àz.
– SiM(a, b)est un point du planPalors le nombre complexez=a+ibs’appelle l’affixe deMet on noteM(z).
x y
M(z)
•
a• b•
– Sizest un nombre complexe de représentation algébriquez=a+ibalors on dit que le vecteuru(a, b)est associé àz.
– Siu(a, b)est un vecteur du planPalors le nombre complexez=a+ibs’appelle l’affixe deuet on noteu(z).
x y
u(z) a• b•
Remarques :On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct d’origineO.
– L’application deCversP qui à chaque nombre complexez associe le pointM d’affixezest bijective ce qui permet d’identifierCau planP.
– SoitM un point du planP. Le pointM et le vecteur−−→
OM ont même affixe.
– SiAetBsont deux point du planPd’affixes respectifsaetbalors l’affixe du vecteur−−→
ABestb−a.
– Siuetvsont deux vecteurs du planPd’affixes respectifsaetbalors l’affixe du vecteuru+vesta+b.
– Siuest un vecteur du planP d’affixeaetλ∈Calors l’affixe du vecteurλuestλa.
1.2 Conjugué d’un nombre complexe :
Définition 1.3 Soitzun nombre complexe de représentation algébriquez=a+ib.
Le nombre complexea−ibs’appelle le conjugué dezet on le notez.¯
Interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe : On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct et soitz∈C.
Les pointsMetNdePd’affixes respectifszet¯zsont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
x y
M(z)
•
=
M(¯z)
•
=
Conjugué d’un nombre complexe sous Python :
In [1]: a = 2 + 3j In [2]: a.conjugate() Out[2]: (2-3j)
Propriété 1.1 Soientz, z0∈C. – z¯= 0 ⇐⇒ z= 0.
– <e(¯z) =<e(z)et=m(¯z) =−=m(z)
– z=z.
– <e(z) = z+ ¯z
2 et=m(z) =z−z¯ 2i .
– z∈R ⇐⇒ z¯=zetz∈iR ⇐⇒ z¯=−z.
– z+z0= ¯z+z0etzz0= ¯z z0.
– ∀n∈N, zn= ¯znavec la convention00= 1.
1.3 Module d’un nombre complexe :
Définition 1.4 Soitzun nombre complexe de représentation algébriquez=a+ib.
Le réel positif√
a2+b2s’appelle le module dezet on le note|z|.
Interprétation géométrique du module d’un nombre complexe : On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct d’origineOet soientz, z0∈C.
– SiMet le point du planPd’affixezalors|z|est la distance entreOetM. Autrement dit,OM =|z|.
– Siuet le vecteur du planPd’affixezalors|z|est la norme du vecteuru. Autrement dit,kuk=|z|.
– SiM etM0sont les points du planPd’affixes respectifszetz0alors|z−z0|est la distance entreM etM0. Autrement dit,M M0=|z−z0|.
– Siuetvsont les vecteurs du planPd’affixes respectifszetz0alors|z−z0|est la norme du vecteuru−v. Autrement dit,ku−vk=|z−z0|.
Module d’un nombre complexe sous Python :
In [1]: a = 2 + 3j In [2]: abs(a)
Out[2]: 3.605551275463989 Propriété 1.2 Soientz, z0∈C.
– z= 0 ⇐⇒ |z|= 0.
– |z|2=zz.¯ – |z|=|¯z|=| −z|.
– |zz0|=|z| |z0|.
– ∀n∈N,|zn|=|z|navec la convention00= 1.
– |<e(z)| ≤ |z|et|=m(z)| ≤ |z|.
Proposition 1.1 Soitz, z0 ∈Cavecz6= 0.
– zest inversible et on a1 z = z¯
|z|2. –
z0 z
=z0
¯ z. –
z0 z
=|z0|
|z|. – ∀n∈Z, zn= ¯zn. – ∀n∈Z,|zn|=|z|n
Application : Représentation algébrique du rapport de deux nombres complexes : Soientz, z0∈Cavecz6= 0. La représentation algébrique de z0
z peut être déduite à partir de la formule z0 z = z0z¯
|z|2. Exemples :
– Représentation algébrique du nombre 1
1 +i : On a : 1
1 +i = 1−i
|1 +i|2 = 1−i
12+ 12 = 1−i 2 =1
2 −1 2i – Représentation algébrique du nombre 2 +i
3−2i: On a : 2 +i
3−2i =(3 + 2i)(2 +i)
|3−2i|2 =(6−2) +i(3 + 4)
32+ 22 = 4 + 7i 13 = 4
13+ 7 13i Proposition 1.2 Inégalité triangulaire :
∀z, z0∈C,|z+z0| ≤ |z|+|z0|avec égalité si, et seulement si,∃λ≥0, z0=λzouz=λz0
Démonstration : Soitz, z0∈C. On a :
(|z|+|z0|)2− |z+z0|2 = |z|2+|z0|2+ 2|z||z0| −(z+z0)(z+z0)
= |z|2+|z0|2+ 2|z||z0| −(z+z0)(z+z0)
= |z|2+|z0|2+ 2|z||z0| − zz+z0z0+zz0+z0z
= |z|2+|z0|2+ 2|z||z0| − |z|2+|z0|2+zz0+z0z
= 2|z||z0| − zz0+z0z Or :
zz0+zz0= 2<e(zz0)≤2|zz0|= 2|z||z0|= 2|z||z0| donc(|z|+|z0|)2− |z+z0|2≥0donc(|z|+|z0|)2≥ |z+z0|2d’où|z|+|z0| ≥ |z+z0|.
Si on a égalité alors2|z||z0| − zz0+z0z
= (|z|+|z0|)2− |z+z0|2= 0donc2|z||z0|=zz0+z0zd’où|zz0|=<e(zz0)car
|zz0|=|z||z0|=|zz0|etzz0+z0z= 2<e(zz0).
Soitzz0 =a+ibl’expression algébrique dezz0. On a|zz0|=<e(zz0)donc√
a2+b2=adonca2+b2 =a2doncb2 = 0 d’oùb= 0. On déduit quezz0=adonca=<e(zz0) =|zz0|=|a| ≥0.
– Sia= 0alorszz0= 0doncz= 0ouz0= 0doncz= 0z0ouz0= 0zet on a0≥0.
– Sia6= 0: On azz0 =adoncz6= 0donczz0z0 =az0doncz|z|2=az0d’oùz= a
|z|2z0. On poseλ= a
|z|2 doncλ≥0 etz=λz0.
Réciproquement, supposons que∃λ≥0tel quez=λz0ouz0=λz. Prenons, par exemple,z=λz0donc|z+z0|=|λz0+z0|=
|(1 +λ)z0|=|1 +λ||z0|= (1 +λ)|z0|=|z0|+λ|z0|=|z0|+|λz0|=|z0|+|z|d’où l’égalité.
On déduit qu’on a égalité si, et seulement si,∃λ≥0, z0=λzouz=λz0. Corollaire 1.3
∀z, z0 ∈C,||z| − |z0|| ≤ |z−z0| Démonstration :
Soitz, z0∈C. On a, d’aprèsl’inégalité triangulaire, :
|z| = |(z−z0) +z0| ≤ |z−z0|+|z0|
|z0| = |(z0−z) +z| ≤ |z0−z|+|z|
donc :
|z| − |z0| ≤ |z−z0|
|z0| − |z| ≤ |z0−z|
Or|z0−z|=| −(z−z0)|=|z−z0|et|z0| − |z|=−(|z| − |z0|)donc : |z| − |z0| ≤ |z−z0|
−(|z| − |z0|) ≤ |z−z0| d’où||z| − |z0|| ≤ |z−z0|.
2 Équation du second degré :
2.1 Racines carrées d’un nombre complexe :
Proposition et définition 2.1 Soita∈C.
L’équationz2=aadmet deux racinesuetvdansC. – uetvs’appellent les racines carrées dea.
– v=−u.
Technique de détermination des racines carrées d’un nombre complexe : Soita∈Cetzune racine carrée deade représentation algébrique dez=x+iy.
On az2=adoncx2−y2+ 2ixy=a=<e(a) +i=m(a)d’oùx2−y2=<e(a)et2xy==m(a).
De même, on az2=adonc z2
=|a|donc|z|2=|a|d’oùx2+y2=|a|. On obtient alors le système d’équations :
x2+y2 = |a|
x2−y2 = <e(a) 2xy = =m(a)
On a :
x2+y2 = |a|
x2−y2 = <e(a) donc
x2 = |a|+<e(a) 2 y2 = |a| − <e(a)
2 L’équation2xy==m(a)permet de déterminer le signe du produitxy:
– Si=m(a)≥0alorsxy≥0doncxetyont même signe d’où :
x =
r|a|+<e(a) 2
y =
r|a| − <e(a) 2
ou
x = −
r|a|+<e(a) 2
y = −
r|a| − <e(a) 2 – Si=m(a)≤0alorsxy≤0doncxetyont des signes opposés d’où :
x =
r|a|+<e(a) 2
y = −
r|a| − <e(a) 2
ou
x = −
r|a|+<e(a) 2
y =
r|a| − <e(a) 2 Exemples :
– Détermination des racines carrées du nombre−3 + 4i: Soitzune racine carrée de−3 + 4ide représentation algébrique dez=x+iy.
On az2=−3 + 4idoncx2−y2+ 2ixy=−3 + 4id’oùx2−y2=−3etxy= 2.
De même, on az2=−3 + 4idonc z2
=| −3 + 4i|=√
32+ 42=√
25 = 5d’oùx2+y2= 5. On obtient alors le système d’équations :
x2+y2 = 5 x2−y2 = −3
xy = 2
On a :
x2+y2 = 5 x2−y2 = −3
donc
x2 = 5−3
2 = 1
y2 = 5 + 3
2 = 4
D’autre part, on axy= 2≥0doncxetyont même signe d’où : ( x = 1
y = 2 ou
( x = −1 y = −2 On déduit que les racines carrées de−3 + 4isont1 + 2iet−1−2i.
– Détermination des racines carrées du nombre −24−10i : Soitz une racine carrée de −24−10ide représentation algébrique dez=x+iy.
On az2=−24−10idoncx2−y2+ 2ixy=−24−10id’oùx2−y2=−24etxy=−5.
De même, on az2 = −24−10i donc z2
= | −24−10i| = √
242+ 102 = √
576 + 100 = √
676 = 26d’où x2+y2= 26. On obtient alors le système d’équations :
x2+y2 = 26 x2−y2 = −24
xy = −5
On a :
x2+y2 = 26 x2−y2 = −24
donc
x2 = 26−24
2 = 1
y2 = 26 + 24
2 = 25
D’autre part, on axy=−5≤0doncxetyont même signe d’où : ( x = 1
y = −5 ou
( x = −1
y = 5
On déduit que les racines carrées de−24−10isont1−5iet−1 + 5i.
Remarque :Soita∈R.
– Sia≥0alors les racines carrés deasont√
aet−√ a.
– Sia <0alors les racines carrés deasonti√
−aet−i√
−a.
Racines carrées d’un nombre complexe sous Python :Pour calculer une racine carrée d’un nombre complexe on appelle la commandesqrtdu modulecmath:
In [1]: from cmath import sqrt – Racine carré du nombre−3 + 4i:
In [2]: sqrt(-3+4j) Out[2]: (1+2j)
– Racine carré du nombre−24−10i: In [3]: sqrt(-24-10j) Out[3]: (1-5j)
2.2 Équation du second degré :
Proposition 2.1 Soita, b, c∈Caveca6= 0. L’équation :
E :az2+bz+c= 0
admet deux racines−b+δ
2a et−b−δ
2a avecδune racine carrée du discriminant∆ =b2−4acde l’équationE. Démonstration :
Soitz∈C. On a : az2+bz+c=a
z2+ b
az
+c=a
z2+ 2 b
2az+ b2 4a2
+c− b2 4a =a
z+ b
2a 2
−b2−4ac 4a =a
z+ b
2a 2
− ∆ 4a donc :
az2+bz+c= 0 ⇐⇒ a z+2ab 2
−4a∆ = 0
⇐⇒ z+2ab 2
−4aδ22 = 0
⇐⇒ z+2ab −2aδ
z+2ab +2aδ
= 0
⇐⇒ z+2ab −2aδ = 0ouz+2ab +2aδ = 0
⇐⇒ z=−2ab +2aδ ouz=−2ab −2aδ
⇐⇒ z=−b+δ2a ouz=−b−δ2a Exemples :
– Résolution de l’équationz2+z+1 = 0: Le discriminant de cette équation est∆ = 12−4×1×1 = 1−4 =−3 = i√ 32 donc les racines de l’équationz2+z+ 1 = 0sont :
z1= −1 +i√ 3
2 =jetz2= −1−i√ 3 2 = ¯j
– Résolution de l’équationz2−(3 + 4i)z+ 5i−1 = 0: Le discriminant de cette équation est∆ = (3 + 4i)2−4(5i−1) = (32−42+ 2×3×4i)−20i+ 4 = 9−16 + 24i−20i+ 4 =−3 + 4i, or on a déjà montrer que1 + 2iest une racine carrée de∆donc les racines de l’équationz2−(3 + 4i)z+ 5i−1 = 0sont :
z1= (3 + 4i) + (1 + 2i)
2 =4 + 6i
2 = 2 + 3ietz2=(3 + 4i)−(1 + 2i)
2 =2 + 2i
2 = 1 +i
– Résolution de l’équationz2−3(1−i)z+ 6−2i= 0: Le discriminant de cette équation est∆ = 9(1 +i)2−4(6−2i) = 9(12−12+ 2×1×(−i))−24 + 8i=−18i−24 + 8i=−24−10i, or on a déjà montrer que1−5iest une racine carrée de∆donc les racines de l’équationz2−3(1−i)z+ 6−2i= 0sont :
z1= 3(1−i) + (1−5i)
2 =4−8i
2 = 2−4ietz2=3(1−i)−(1−5i)
2 =2 + 2i
2 = 1 +i Remarque :Soita, b, c∈Raveca6= 0.
Siuest une solution de l’équationaz2+bz+c= 0alorsau2+bu+c= 0donc0 = ¯0 =au2+bu+c= ¯a¯u2+ ¯b¯u+ ¯c= a¯u2+bu¯+ccar¯a=a,¯b=betc¯=cpuisquea, b, c∈Rd’oùu¯est aussi une racine de l’équationaz2+bz+c= 0.
On déduit que siu /∈Ralors les solutions de l’équationaz2+bz+c= 0sont conjuguées.
Résolution d’une équation du second degré sous Python :
Pour résoudre une équation du second degré on commence par charger la commanderootsdu modulenumpy: In [1]: from numpy import roots
– Résolution de l’équationz2−(3 + 4i)z+ 5i−1 = 0: In [2]: roots([1, -3 - 4j, -1 + 5j]) Out[2]: array([ 2.+3.j, 1.+1.j]) – Résolution de l’équationz2−3(1−i)z+ 6−2i= 0:
In [3]: roots([1, -3 + 3j, 6 - 2j]) Out[3]: array([ 2.-4.j, 1.+1.j])
Corollaire 2.2 Somme et produit des racines :Soita, b, c∈Caveca6= 0.
Siuetvsont les solutions de l’équationaz2+bz+c= 0alors :
u+v = −b a
uv = c
a Démonstration :
Soit∆le discriminant de l’équationaz2+bz+c= 0etδune racine carrée de∆donc les racines de l’équationaz2+bz+c= 0 sontu= −b+δ2a etv= −b−δ2a d’oùu+v= −ba etuv=(b−δ)(b+δ)4a2 =b24a−δ22 = b24a−∆2 = b2−(b4a2−4ac)2 =ac.
Remarques :
– Si on connaît déjà une solution d’une équation de second degré alors, au lieu de résoudre l’équation à l’aide du discrimi- nant, il est plus pratique d’utiliser la formule de la somme ou du produit des racines pour déterminer l’autre racine.
– Pour résoudre le système produit-somme :
S:
x+y = s
xy = p
on commence par résoudre l’équation associéeE :z2−sz+p= 0:
– Si l’équationE admet deux solutions distinctesuetvalors les solutions du systèmeSsont(u, v)et(v, u).
– Si l’équationE admet une seule solutionule systèmeSadmet une seule solution(u, u).
Exemples :
– Résoudre l’équationE :z2−4z+ 3 = 0: On remarque quex= 1est une solution de l’équationE, donc siyest l’autre racine alors, d’aprèsla formule de la somme des racines,4 =x+y= 1 +yd’oùy = 3. On déduit que les solutions de l’équationE sont1et3.
– Résoudre le système :
S :
x+y = 5
xy = −14
On considère l’équation associéez2−5z−14 = 0. On a∆ = (−5)2−4×14 = 25 + 56 = 81 = 92donc l’équation associée admet deux racinesu=5+92 = 7etv=5−92 =−2d’où le systèmeSadmet deux solutions(7,−2)et(−2,7).
3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe :
3.1 Nombres complexes de module 1 :
Définition 3.1 On dit que deux réelsxetysont congrus modulo2πsi∃n∈ Ztel quey = x+ 2nπ. Dans ce cas, on note y≡x[2π].
Rappels :Soita, b∈Rtels quea2+b2= 1.
– ∃t∈R, a= cos(t)etb= sin(t).
– ∃!t∈]−π, π], a= cos(t)etb= sin(t).
– ∃!t∈[−π, π[, a= cos(t)etb= sin(t).
– ∃!t∈]0,2π], a= cos(t)etb= sin(t).
– ∃!t∈[0,2π[, a= cos(t)etb= sin(t).
– ∀x∈R,∀k∈Z,∃!t∈]x, x+ 2kπ], a= cos(t)etb= sin(t).
– ∀x∈R,∀k∈Z,∃!t∈[x, x+ 2kπ[, a= cos(t)etb= sin(t).
– ∀t, s∈R,(coss= costet sins= sint) ⇐⇒ s≡t[2π].
Notation :On noteU={z∈C/|z|= 1}.
Remarques : – ∀z∈U,z¯=1
z. – ∀z∈C∗, z
|z| ∈U.
– ∀z∈U,∃t∈R, z= cost+isint. On peut prendret∈]−π, π](resp.t∈[0,2π[), dans ce castest unique.
Notation :Soitt∈R. On noteeitouexp(it)le nombre complexecost+isint.
Valeurs particulières : – e0i= cos(0) +isin(0) = 1.
– eiπ6 = cos π6
+isin π6
=
√ 3 2 +2i. – eiπ4 = cos π4
+isin π4
=
√2 2 +i
√2 2 . – eiπ3 = cos π3
+isin π3
= 12+i
√3 2 . – eiπ2 = cos π2
+isin π2
=i.
– eiπ = cos(π) +isin(π) =−1.
– e2iπ3 =−12+i
√ 3
2 . Le nombree2iπ3 se notej.
Notation :On notejle nombree2iπ3 et on aj=−12+i
√3 2 .
Interprétation géométrique du nombre eit avec t∈R :
On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct d’origineOet soitt∈R.
SiM est le point deP d’affixeeitalorsM est de coordonnées(cos(t),sin(t)). Autrement dit,M est le point qui représente l’angletsur le cercle trigonométrique (cercle de centreOet de rayon1) :
x y
M(eit)
•
t
1
Nombres complexes de module 1 sous Python : – Constantesπetesous Python :
– Méthode 01 :On appelle ces constantes à partir du modulemath: In [1]: from math import pi, e
In [2]: pi
Out[2]: 3.141592653589793 In [3]: e
Out[3]: 2.718281828459045
– Méthode 02 :On appelle ces constantes à partir du modulecmath: In [1]: from cmath import pi, e
In [2]: pi
Out[2]: 3.141592653589793 In [3]: e
Out[3]: 2.718281828459045 – Calcul deeiπ2 :
In [4]: e**(1j * pi / 2)
Out[4]: (6.123233995736766e-17+1j) – Calcul deeiπ:
In [5]: pow(e, 1j * pi)
Out[5]: (-1+1.2246467991473532e-16j) – Calcul dej:
In [6]: e**(2 * 1j * pi / 3)
Out[6]: (-0.4999999999999998+0.8660254037844387j) On va voir une deuxième méthode dans la partie"Exponentielle complexe".
Remarques :
– ∀z∈U,∃t∈R, z=eit. – ∀t∈R, eit∈U. Autrement dit,
eit = 1.
– U={eit/t∈R}.
– ∀t∈R, eit= 1
eit =e−it. Proposition 3.1
∀t, s∈R, eis=eit ⇐⇒ s≡t[2π]
Démonstration : Soientt, s∈R. On a :
eis=eit ⇐⇒ coss+isins= cost+isint ⇐⇒ (coss= costet sins= sint) ⇐⇒ ∃n∈Z, s=t+2nπ ⇐⇒ s≡t[2π]
Proposition 3.2 Formules d’Euler :
∀t∈R,cost=eit+e−it
2 et sint=eit−e−it 2i Démonstration :
Soitt ∈ R. On aeit = cost+isint donccost = <e eit
= eit+eit
2 = eit+e−it
2 etsint = =m eit
= eit−eit 2i = eit−e−it
2i . Propriété 3.1
∀t, s∈R, ei(s+t)=eiseit Démonstration :
Soientt, s∈Rdonc :
eiseit= (coss+isins) (cost+isint) = cosscost−sinssint+i(cosssint+ sinscost) = cos(s+t)+isin(s+t) =ei(s+t) Corollaire 3.3 Soientt, s∈R.
– eis+eit= 2eis+t2 coss−t2 eteis−eit= 2ieis+t2 sins−t2 . – eit+ 1 = 2eit2cos2t eteit−1 = 2ieit2sint2.
Démonstration :
– D’aprèsles formules d’Euler: 2eis+t2 coss−t
2 =eis+t2
eis−t2 +e−is−t2
=eis+t2 eis−t2 +eis+t2 e−is−t2 =eis+t+s−t2 +eis+t−s+t2 =eis+eit et
2ieis+t2 sins−t
2 =eis+t2
eis−t2 −e−is−t2
=eis+t2 eis−t2 −eis+t2 e−is−t2 =eis+t+s−t2 −eis+t−s+t2 =eis−eit
– En effet,eit+ 1 =eit+ei×0= 2eit+02 cost−02 = 2eit2cos2t eteit−1 =eit−ei×0= 2ieit+02 sint−02 = 2ei2t sin2t.
Proposition 3.4 Formule de Moivre :
∀t∈R,∀n∈Z, eitn
=eint Démonstration :
Soitt∈Retn∈Z. – Sin= 0alors eitn
= eit0
= 1 = cos(0t) +isin(0t) =ei×0×t=eint.
– Sin≥1: On a∀k∈ {0, . . . , n−1}, ei(k+1)t=ei(kt+t)=eikteitd’où ei(k+1)teikt =eit. On déduit que eitn
=
n−1
Y
k=0
eit =
n−1
Y
k=0
ei(k+1)t
eikt = ei((n−1)+1)t
e0it = eint car il s’agit d’un produit télescopique donc eint= eitn
.
– Sin≤ −1alors−n≥1d’où eitn
= (eit1)−n = ei(−n)t1 = e−int1 =eint. Remarque :La formule de Moivre s’écrit encore :
∀t∈R,∀n∈Z,(cost+isint)n= cosnt+isinnt Applications :Soitx∈R:
– Calcul des sommes
n
X
k=0
coskx et
n
X
k=0
sinkx :On suppose quex6≡0[2π]et soitn∈N. On a :
n
X
k=0
eikx=
n
X
k=0
eixk
= ei(n+1)x−1 eix−1 =
2iei
(n+ 1)x
2 sin(n+ 1)x 2 2iei
x 2 sinx
2
=ei nx
2
sin(n+ 1)x 2 sinx 2 donc :
n
X
k=0
eikx=
sin(n+ 1)x 2 cosnx
2 sinx
2
+i
sin(n+ 1)x 2 sinnx
2 sinx
2
Or : n
X
k=0
eikx=
n
X
k=0
(cos(kx) +isin(kx)) =
n
X
k=0
cos(kx) +i
n
X
k=0
sin(kx)
donc :
n
X
k=0
cos(kx) =
sin(n+ 1)x 2 cosnx
2 sinx
2
et
n
X
k=0
sin(kx) =
sin(n+ 1)x 2 sinnx
2 sinx
2
– Expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de puissances de cos(x) et sin(x) : – Écrirecos 3xen fonction de puissance decosx: D’aprèsla formule de Moivre, on a :
cos(3x) +isin(3x) = (cos(x) +isin(x))3
= cos3(x) + 3icos2(x) sin(x)−3 cos(x) sin2(x)−isin3(x)
= cos3(x)−3 cos(x) sin2(x) +i 3 cos2(x) sin(x)−sin3(x) donc :
cos(3x) =<e(cos(3x) +isin(3x)) = cos3(x)−3 cos(x) sin2(x) = cos3(x)−3 cos(x)(1−cos2(x)) = 4 cos3(x)−3 cos(x) – Écriresin 4xen fonction de puissance decosxetsinx: D’aprèsla formule de Moivre, on a :
cos(4x) +isin(4x) = (cos(x) +isin(x))4
= cos4(x) + 4icos3(x) sin(x)−6 cos2(x) sin2(x)−4icos(x) sin3(x) + sin4(x)
= cos4(x)−6 cos2(x) sin2(x) + sin4(x) +i 4 cos3(x) sin(x)−4 cos(x) sin3(x) donc :
sin(4x) ==m(cos(4x) +isin(4x)) = 4 cos3(x) sin(x)−4 cos(x) sin3(x) – Linéarisation des fonctions trigonométriques :
– Linéarisation decos3x: On a :
cos3x =
eix+e−ix 2
3
= eix+e−ix3 8
= e3ix+ 3e2ixe−ix+ 3eixe−2ix+e−3ix 8
= e3ix+ 3eix+ 3e−ix+e−3ix 8
= e3ix+e−3ix+ 3 eix+e−ix 8
= e3ix+e−3ix
8 + 3eix+e−ix 8
= cos(3x)
4 + 3cos(x) 4 – Linéarisation decos2xsinx: On a :
cos2xsinx =
eix+e−ix 2
2
eix−e−ix 2i
= eix+e−ix2
4
eix−e−ix 2i
= e2ix+ 2eixe−ix+e−2ix 4
eix−e−ix 8i
= e2ix+ 2 +e−2ix
eix−e−ix 8i
= e3ix−e2ixe−ix+ 2eix−2e−ix+e−2ixeix−e−2ixe−ix 8i
= e3ix−eix+ 2eix−2e−ix+e−ix−e−3ix 8i
= e3ix+eix−e−ix−e−3ix 8i
= e3ix−e−3ix
+ eix−e−ix 8i
= e3ix−e−3ix
8i +eix−e−ix 8i
= cos(3x)
4 +cos(x) 4
3.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe :
Proposition et définition 3.1
∀z∈C∗,∃r >0,∃t∈R, z=reit L’expressionz=reits’appelle la forme trigonométrique dez.
Démonstration :
Soitz∈C∗donc |z|z ∈Udonc∃t∈Rtel que |z|z =eitd’oùz=|z|eit. On déduit quez=reitavecr=|z|>0carz6= 0.
Remarques :
– 0n’admet pas de forme trigonométrique mais on peut toujours écrire0sous la formereitavecr= 0ett∈Rquelconque.
– Soitz∈C∗de forme trigonométriquez=reit. – r=|z|. En particulier,rest unique.
– Siz=reisest une forme trigonométrique dezalorss≡t[2π].
– Siz=x+iyest l’expression algébrique dezalors : – x=rcostety=rsint.
– r=p
x2+y2,cos(t) = x
px2+y2 etsin(t) = x px2+y2. Exemples :
– Soitz= 1 +i. On a|z|=√
12+ 12=√
2doncz=√ 2
√1 2+i√1
2
=√
2 cosπ4 +isinπ4
=√ 2eiπ4. – Soitz= 1 +i√
3. On a|z|= q
12+√ 32=√
4 = 2doncz= 2
√1 2+i
√ 3 2
= 2 cosπ3 +isinπ3
= 2eiπ3. – Soitz= 3 + 4i. On a|z|=√
32+ 42=√
25 = 5doncz= 5 35+i45
= 5 (cosθ+isinθ) = 5eiθavecθ∈Rtel que cosθ= 35etsinθ= 45.
Formes trigonométriques de nombres complexes particuliers :Soitλ >0.
– Siz=λalors la forme trigonométrique dezestz=λei0. – Siz=−λalors la forme trigonométrique dezestz=λeiπ. – Siz=iλalors la forme trigonométrique dezestz=λeiπ2. – Siz=−iλalors la forme trigonométrique dezestz=λe−iπ2.
Interprétation géométrique de la forme trigonométrique d’un nombre complexe : On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct(O,~i,~j)et soitz∈C∗de forme trigonométriquez=reit. SiM est le point dePd’affixezalorsr=OM et(~i,−−→
OM)≡t[2π]:
x
~i y
r
M(z)
•
t
Définition 3.2 On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct et soitM un point dePd’affixez6= 0.
Siz=reitest la forme trigonométrique dezalors le couple(r, t)s’appelle coordonnées polaires deM.
Passage, sous Python, entre coordonnées polaires d’un point et expression algébrique du nombre complexe associé :
Il faut d’abord charger les commandespolaretrectdu modulecmath: In [1]: from cmath import polar, rect
– Coordonnées polaires du point d’affixez= 3 + 4i: In [2]: polar(3 + 4j)
Out[2]: (5.0, 0.9272952180016122) – Expression cartésienne du nombre complexez= 2e3i:
In [3]: rect(2, 3)
Out[3]: (-1.9799849932008908+0.2822400161197344j) Propriété 3.2 Soientz, z0∈C∗de formes trigonométriquesz=reitetz0=r0eit0.
– z¯=re−it. – zz0=rr0ei(t+t0). – 1
z =1 re−it. – z
z0 = r
r0ei(t−t0). – ∀n∈Z, zn=rneint.
Application : Transformation de l’expression acos(t) +bsin(t) :Soienta, b, t∈Ravec(a, b)6= (0,0).
On considère le nombre complexez=a+ibdoncze−it= (a+ib)(cos(t)−isin(t)) =acos(t) +bsin(t) +i(−asin(t) + bcos(t)).
On a(a, b)6= (0,0)doncz6= 0et soitz=Aeiϕsa forme trigonométrique doncze−it=Aei(ϕ−t)=Acos(ϕ−t)+iAsin(ϕ−
t)d’oùacos(t) +bsin(t) =Acos(ϕ−t) =Acos(t−ϕ).
Aetϕs’appellent respectivement l’amplitude et la phase deacos(t) +bsin(t)et on aA=√
a2+b2,cos(ϕ) = a
√a2+b2 et sin(ϕ) = b
√a2+b2. Exemples :Soitt∈R.
– Transformation decost+ sint: SoientAetϕl’amplitude et la phase respectives decost+ sintdoncA=√
12+ 12, cosϕ= 1
√
2 etsinϕ= 1
√
2 doncA=√
2etϕ≡ π4[2π]d’oùcost+ sint=√
2 cos t−π4 .
– Transformation de 3 cost+ 4 sint : SoientA etϕ l’amplitude et la phase respectives de3 cost+ 4 sint donc A =
√32+ 42=√
5,cosϕ= 3
5 etsinϕ= 4
5 et on a3 cost+ 4 sint= 5 cos(t−ϕ).
3.3 Arguments d’un nombre complexe :
Définition 3.3 Soitz∈C∗.
Tout réelttel quez =|z|eitest appelé un argument dezet on notearg(z)≡t[2π]. Si, en plus,t∈]−π, π], on dit quetest l’argument principal dez.
Interprétation géométrique de l’argument d’un nombre complexe : On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct(O,~i,~j)et soitz∈C∗.
SiM est le point dePd’affixezalorsarg(z)≡(~i,−−→
OM)[2π].
Remarques :
– 0n’a pas d’argument.
– Soitz∈C∗ett∈Run argument dez.
– z=|z|eit.
– Sisest un argument dezalorss≡t[2π].
– L’ensemble des arguments dezest{t+ 2kπ/k∈Z}.
– Siz=x+iyest l’expression algébrique dezalorsx=|z|costety=|z|sint.
Exemples :
– arg(1)≡0[2π].
– arg(−1)≡π[2π].
– arg(i)≡ π2[2π].
– arg(−i)≡ −π2[2π].
– On a1 +i=√
2eiπ4 doncarg(1 +i)≡π4[2π].
– On a1 +i√
3 = 2eiπ3 doncarg 1 +i√ 3
≡π3[2π].
– On a3 + 4i= 5 35+45i
doncarg(3 + 4i)≡θ[2π]avecθ∈Rtel quecosθ= 35 etsinθ= 45. Argument d’un nombre complexe sous Python :
Il faut d’abord charger la commandephasedu modulecmath: In [1]: from cmath import phase
– Argument du nombre complexez= 1: In [1]: phase(1)
Out[1]: 0.0
– Argument du nombre complexez=−1: In [2]: phase(-1)
Out[2]: 3.141592653589793 – Argument du nombre complexez=i:
In [3]: phase(1j)
Out[3]: 1.5707963267948966 – Argument du nombre complexez= 1 +i:
In [4]: phase(1 + 1j) Out[4]: 0.7853981633974483 Propriété 3.3 Soitz∈C.
– z∈R+∗ ⇐⇒ arg(z)≡0[2π].
– z∈R−∗ ⇐⇒ arg(z)≡π[2π].
– z∈iR+∗ ⇐⇒ arg(z)≡π2[2π].
– z∈iR−∗ ⇐⇒ arg(z)≡ −π2[2π].
Proposition 3.5 Soientz, z0 ∈C∗. – arg(¯z)≡ −arg(z)[2π].
– arg(zz0)≡arg(z) + arg(z0)[2π].
– arg z1
≡ −arg(z)[2π].
– arg zz0
≡arg(z)−arg(z0)[2π].
– ∀n∈Z,arg (zn)≡narg(z)[2π].
Démonstration :
Soitz=|z|eitetz0=|z0|eit0 les formes trigonométriques dezetz0.
– On az¯=|z|eit=|z|e−itdoncarg(¯z)≡ −t[2π]d’oùarg(¯z)≡ −arg(z)[2π].
– On azz0=|z||z0|ei(t+t0)doncarg(zz0)≡t+t0[2π]d’oùarg(zz0)≡arg(z) + arg(z0)[2π].
– On az1 =|z|1e−itdoncarg 1z
≡ −t[2π]d’oùarg 1z
≡ −arg(z)[2π].
– On azz0 =|z|z|0|ei(t−t0)doncarg zz0
≡t−t0[2π]d’oùarg zz0
≡arg(z)−arg(z0)[2π].
– Soitn∈Z. On azn=|z|neintdoncarg (zn)≡nt[2π]d’oùarg (zn)≡narg(z)[2π].
Remarques :Soitz, z0∈C∗etλ∈R∗. – Siλ >0alorsarg(λz)≡arg(z)[2π].
– Siλ <0alorsarg(λz)≡π+ arg(z)[2π].
– |z+z0|=|z|+|z0| ⇐⇒ arg(z)≡arg(z0)[2π].
4 Exponentielle complexe :
Définition 4.1 Soitz∈Cd’expression algébriquez=x+iy.
Le nombreexeiys’appelle l’exponentiel complexe dezet on le noteezouexp(z).
Remarque :
Siz∈Cd’expression algébriquez=x+iyalorsez=ex(cos(y) +isin(y)).
Exemples :
– e1+i =e(cos 1 +isin 1).
– e2+3i=e2(cos 3 +isin 3).
– e5−2i=e5(cos(−2) +isin(−2)) =e5(cos 2−isin 2).
Exponentiel d’un nombre complexe sous Python : Il faut d’abord charger la commandeexpdu modulecmath:
In [1]: from cmath import exp – Exponentiel du nombre complexez= 2i:
In [2]: exp(2j)
Out[2]: (-0.4161468365471424+0.9092974268256817j) – Exponentiel du nombre complexez= 1 +i:
In [3]: exp(1 + 1j)
Out[3]: (1.468693939915885+2.2873552871788423j) – Exponentiel du nombre complexez= 2 + 3i:
In [4]: exp(2 + 3j)
Out[4]: (-7.315110094901103+1.0427436562359045j) Propriété 4.1 Soitz, z0∈C.
– ez=ez¯. – ez+z0 =ezez0.
– |ez|=e<e(z). En particulier,ez6= 0.
– ezest inversible et on a 1
ez =e−z. – ez
ez0 =ez−z0.
– ∀n∈Z,(ez)n=enz. Proposition 4.1
∀z, z0 ∈C, ez0 =ez ⇐⇒ ∃k∈Z, z0=z+ 2ikπ Démonstration :
Soientz, z0∈C.
⇒ On aez0 =ezdonc ez0
=|ez|donce<e(z0)=e<e(z0)d’où<e(z0) =<e(z).
On a ez0 = ez donc e<e(z0)ei=m(z0) = e<e(z)ei=m(z), or <e(z0) = <e(z), donc ei=m(z0) = ei=m(z) d’où ∃k ∈ Z,=m(z0) ==m(z) + 2kπ.
On déduit quez0 =<e(z0) +i=m(z0) =<e(z) +i(=m(z) + 2kπ) =<e(z) +i=m(z) + 2ikπ=z+ 2ikπ.
⇐ On az0=z+ 2ikπdoncez0 =ez+2ikπ=eze2ikπ=ezcare2ikπ= 1.
Application à la résolution de l’équation ez=a : Soita∈Cet on considère l’équationE :ez=a.
– Sia= 0alors l’équationE n’admet pas de solutions.
– Sia6= 0: soita=|a|eiθla forme trigonométrique deadonca=eln(|a|)eiθ=eln(|a|)+iθd’où :
∀z∈C, ez=a ⇐⇒ ez =eln(|a|)+iθ ⇐⇒ ∃k∈Z, z= ln(|a|) +i(θ+ 2kπ) On déduit que l’ensemble des solutions de l’équationez=aestS ={ln(|a|) +iθ+ 2ikπ/k∈Z}.
Exemples :
– On a−1 =eiπdonc l’ensemble des solutions de l’équationez=−1estS ={iπ+ 2ikπ/k∈Z}.
– On a1 +i=√
2eiπ4 donc l’ensemble des solutions de l’équationez= 1 +iestS={12ln 2 +iπ4 + 2ikπ/k∈Z}.
5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe :
5.1 Racines n-ièmes de l’unité :
Définition 5.1 Soitn∈N∗etz∈C.
On dit quezest une racinen-ième de l’unité sizn = 1.
L’ensemble des racinesn-ième de l’unité se noteUn. Remarque :Soitn∈N∗etz∈C.
Sizest une racinen-ième de l’unité alors1 =|zn|=|z|ndonc|z|= 1d’oùz∈U. On déduit queUn ⊂Uet, en particulier,
∃t∈[0,2π[tel quez=eit. Proposition 5.1 Sin∈N∗alors :
Un =n
e2ikπn /k∈ {0, . . . , n−1}o
Uncontient exactementnélément. Autrement dit, il existe exactementnracinesn-ième de l’unité.
Démonstration :
Soitz∈Udonc∃t∈[0,2π[tel quez=eit. On a :
zn= 1 ⇐⇒ eint= 1 =e0i ⇐⇒ ∃k∈Z, nt= 2kπ ⇐⇒ ∃k∈Z, t= 2kπ n Soitk∈Ztel quet=2kπn . On at∈[0, π[donc0≤ 2kπ
n <2πdonc0≤k < nd’oùk∈ {0, . . . , n−1}.
On déduit quezn= 1 ⇐⇒ ∃k∈ {0, . . . , n−1}, t=2kπ
n doncUn =n
e2ikπn /k∈ {0, . . . , n−1}o . Soitk, k0 ∈ {0, . . . , n−1}tels que e2ikπn = e2ikn0π donc∃m ∈ Ztel que 2kπ
n = 2k0π
n + 2mπ donc k−k0
n = m d’où k−k0
n ∈Z.
On ak, k0 ∈ {0, . . . , n−1}donc0≤ k
n <1et0≤ k0
n <1d’où−1< k−k0
n <1, or k−k0
n ∈Zdonc k−k0
n = 0d’où k=k0.
On déduit que les nombrese2ikπn , k∈ {0, . . . , n−1}sont deux à deux distincts doncUncontient exactementnéléments.
Exemples :
– Racines cubiques de l’unité :
– U3={e2ikπ3 /k∈ {0,1,2}}={1, e2iπ3 , e4iπ3 }={1, j, j2}={1, j,¯j}.
– j3= 1,j2= ¯jet1 +j+j2= 0.
– Les racines cubiques de l’unité1, j, j2sont les affixes des sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité :
x y
•
•
•
Racines cubiques de l’unité – Racines4-ièmes de l’unité :
– U4={e2ikπ4 /k∈ {0,1,2,3}}={eikπ2 /k∈ {0,1,2,3}}={1, eiπ2, eiπ, e3iπ2 }={1, i,−1,−i}.
– Les racines4-ièmes de l’unité1, i,−1,−isont les affixes des sommets d’un carré inscrit dans le cercle unité :
x y
•
•
•
•
Racines4-ièmes de l’unité – Racines5-ièmes de l’unité :
– U5={e2ikπ5 /k∈ {0,1,2,3,4}}={1, eiπ5, e2iπ5 , e3iπ5 , e4iπ5 }.
– Les racines5-ièmes de l’unité1, eiπ5, e2iπ5 , e3iπ5 , e4iπ5 sont les affixes des sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité :
x y
•
•
•
•
•
Racines5-ièmes de l’unité
Remarques :Soitn∈N∗.
– ∀k, k0∈ {0, . . . , n−1}, e2ikπn =e2ikn0π ⇒k=k0.
– Les racinesn-ièmes de l’unité sont les affixes des sommets d’un polygone régulier àncotés inscrit dans le cercle unité.
– Si on noteω=e2iπn alorsUn=
1, ω, . . . , ωn−1 =
ωk/k∈ {0, . . . , n−1} . – ∀z ∈ Un distinct de1,
n
X
k=0
zk = zn−1
z−1 = 0. En particulier, la somme des racinesn-ièmes de l’unité est nulle (i. e X
z∈Un
z= 0).
5.2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe :
Définition 5.2 Soitn∈N∗etz, u∈C.
On dit queuest une racinen-ième dezsiun=z.
Proposition 5.2 Soitn∈N∗etz∈C∗. – zadmet exactementnracinesn-ième.
– Siz=reitest la forme trigonométrique dezalors l’ensemble des racinesn-ièmes dezest : n√n
rei(nt+2kπn )/k∈ {0, . . . , n−1}o Démonstration :
Soitu∈C.
un=z ⇐⇒ un=reit
⇐⇒ un=
√n
teintn
⇐⇒
u
√n
teint n
= 1
⇐⇒ u
√n
teint ∈Un
⇐⇒ ∃k∈ {0, . . . , n−1}, u
√n
teint =e2ikπn
⇐⇒ ∃k∈ {0, . . . , n−1}, u= √n
rei(nt+2kπn ) On déduit que l’ensemble des racinesn-ièmes dezestn
√n
rei(nt+2kπn )/k∈ {0, . . . , n−1}o . Soitk, k0∈ {0, . . . , k−1}tels que √n
rei(nt+2kπn ) = √n rei
t n+2kn0π
donce2ikπn =e2ik
0π
n d’oùk=k0. On déduit que les éléments de l’ensemble n
√n
rei(nt+2kπn )/k∈ {0, . . . , n−1}o
sont deux à deux distincts donc z admet exactementnracinesn-ième.
Exemples :
– On a1 +i=√
2eiπ4 donc l’ensemble des racines cubiques de1 +iest : n√6
2ei(12π+2kπ3 )/k∈ {0,1,2}o
=n
√6
2ei12π,√6
2ei(12π+2π3),√6
2ei(12π+4π3)o
=n
√6
2ei12π,√6
2e3iπ4 ,√6 2e17iπ12 o – On a1 +i√
3 = 2eiπ3 donc l’ensemble des racines4-ièmes de1 +i√ 3est : n√4
2ei(12π+kπ2 )/k∈ {0,1,2,3}o
=n√4
2ei12π,√4
2ei7π12,√4
2ei13π12 ,√4
2ei19π12 o
=n√4
2ei12π,√4
2ei7π12,−√4
2ei12π,−√4 2ei7π12o – On ai=eiπ2 donc l’ensemble des racines5-ièmes deiest :
n
ei(10π+2kπ5 )/k∈ {0,1,2,3,4}o
=n
ei10π, eiπ2, ei9π10, ei13π10 , ei17π10 o
=n
ei10π, i,−e−i10π,−ei3π10,−e−i3π10o Remarque :Siz∈C∗de forme trigonométriquez=reitalors les racines carrées dezsont :
√reit2 et −√ rei2t
6 Nombres complexes et géométrie plane :
On considère le planPmuni d’un repère orthonormé direct(O,~i,~j).
