Tutorat de Math´ematiques
Premi`ere S´eance Samedi 15 mars 2008
Exercice 1
Vous ˆetes devant deux cellules dont les portes sont ferm´ees. Vous savez que derri`ere chacune de ces portes se cache soit une princesse sympathique soit un tigre affam´e. Mais vous ne savez pas s’il y a 0, 1 ou 2 tigres (de mˆeme pour les princesses, du coup. . .)
Sur chacune des portes, une affiche donne une information. Vous savez que soit les deux pancartes mentent, soit elles disent toutes les deux la v´erit´e.
Porte 1 : Une au moins des deux cellules contient une princesse Porte 2 : Il y a un tigre dans l’autre cellule.
Que contiennent les cellules ? Exercice 2
Mˆeme probl`eme, mais cette fois, l’une des pancartes dit la v´erit´e, l’autre ment.
Porte 1 : Il y a une princesse dans cette cellule et un tigre dans l’autre.
Porte 2 : Il y a une princesse dans une cellule et un tigre dans une cellule Exercice 3
Toujours pareil. Cette fois, l’affiche de la cellule 1 dit vrai si une princesse s’y trouve et ment si un tigre s’y trouve, et pour l’affiche de la cellule 2, c’est le contraire !
Porte 1 : Les deux cellules contiennent des princesses.
Porte 2 : Les deux cellules contiennent des princesses.
Exercice 4
Cette fois il y a 3 cellules. . .Il y a une princesse dans une d’elles, et un tigre dans chacune des 2 autres. On sait de plus qu’une seule des affiches dit vrai.
Porte 1 : Il y a un tigre ici.
Porte 2 : Cette cellule contient une princesse.
Exercice 5
1. Soientaet bdeux nombres r´eels. Montrer qu’on a forc´ement a2+b2 >2ab 2. Soitx un nombre r´eel. Montrer que
a) x2+ 2x>−1 b) x2−2x>−1 c) x2+x>−14
d) si x >0, x+x1 >2.
Exercice 6 `a la r`egle et au compas
Dans cette exercice, on n’a pas le droit de se servir des graduations de la r`egle.
1. Construire `a la r`egle et au compas un angle de 45˚.
2. Construire `a la r`egle et au compas un angle de 60˚.
3. Proposer une construction `a la r`egle et au compas pour partager un segment quelconque en 4 segments de mˆemes longueurs.
4. On se donne la figure suivante, o`u les droites (M P) et (BQ) sont parall`eles :
a) Montrer queAM = AB 5 .
b) En d´eduire une construction `a la r`egle et au compas pour partager un segment donn´e en 5 segments de mˆeme longueur.
c) Proposer une construction `a la r`egle et au compas pour partager un segment en 7 segments de mˆemes longueurs. Et en 11 segments ? et en 1247 segments ?
Exercice 7
1. Consid´erons le ”damier” suivant :
Est-il possible de le recouvrir enti`erement et sans chevauchement avec des pi`eces de la forme suivante :
2. Mˆeme question avec le damier suivant :
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Ann´ee 2007-2008 Feuille A
Exercice 8
On dispose de 9 lingots d’or dont un est d´efectueux : il p`ese un tout petit peu moins que les autres. On a par ailleurs une balance rudimentaire : 2 grands plateaux permettant de comparer deux poids, mais ne donnant pas de valeur pr´ecise.
On n’a le droit d’utiliser la balance que 2 fois (vous savez, les restrictions budg´etaires. . .).
Peut-on d´eterminer quel est le lingot d´efectueux ?
Et si on a 27 lingots (dont un d´efectueux) et 3 pes´ees ? Avec n pes´ees, jusqu’`a combien de lingots (dont un d´efectueux) peut-on tester ?
Exercice 9
Il y a quelques ann´ees, c’´etait l’anniversaire de Joha. Il y avait un gˆateau mais pas de bougies.
Il d´eclara :
«Si j’avais un an de plus que le double de l’ˆage que j’aurais eu si je n’avais eu que le tiers de l’ˆage que j’aurais eu si j’avais ´et´e d’un an plus jeune que la moiti´e de l’ˆage que j’ai r´eellement et si, bien sˆur, j’avais mis des bougies `a raison d’une par an, il y en aurait juste le quart de ce que j’aurais mis si j’avais eu l’id´ee d’inverser les chiffres de mon ˆage et de mettre autant de bougies que le r´esultat obtenu.»
Joha ´etait jeune `a l’´epoque (c’est `a dire moins de 100 ans, apr`es on peut commencer `a ne plus se sentir jeune). Quel ˆage avait-il ?
Exercice 10
Reproduisez approximativement la figure suivante :
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Ann´ee 2007-2008 Feuille B
Exercice 11
Myriam se rend pour la premi`ere fois dans un salon de coiffure o`u trois coiffeuses op`erent avec plus ou moins de talent (mais au mˆeme prix). Elle sait que l’une d’entre elles fait des prouesses, la seconde travaille dans la norme et la derni`ere massacre la chevelure des clientes. Mais elle ne sait pas qui est qui. . .
Elle a une information suppl´ementaire : Chaque matin avant l’arriv´ee de la client`ele, chacune est coiff´ee par l’une des deux autres choisie au hasard (mais toutes les trois coiffent).
Myriam se pr´esente donc `a la boutique. Quelle coiffeuse doit-t-elle choisir pour ´eviter la catastrophe ?
Qui devra-t-elle choisir la prochaine fois qu’elle se rendra dans cet ´etrange salon de coiffure ? Exercice 12
Il fut un temps o`u les ma¸cons utilisaient un proc´ed´e particulier pour v´erifier que des angles entre des murs ´etaient bien droits. Ils utilisaient une cordelette (ferm´ee) orn´ee de 12 nœuds r´eguli`erement espac´es :
Comment s’en servaient-ils ? Exercice 13
Sachant queX+Y = 1 et que X2+Y2 = 2, que vautX3+Y3?
Sachant que X+Y +Z = 1, que X2+Y2+Z2 = 2 et que X3+Y3+Z3 = 3, que vaut X4+Y4+Z4?
Exercice 14
Soientaetb deux entiers. Montrer que si 7 divise a2+b2 alors 7 divise aet 7 divise b.
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Ann´ee 2007-2008 Feuille C
Exercice 15
Quel est le d´eveloppement du polynˆome suivant (`a 26 variables) : (x−a)(x−b). . .(x−z)
Exercice 16
Blanche-Neige en a eu assez de jouer les femmes de m´enage pour les sept nains et a d´ecid´e d’inverser les rˆoles. Tous les matins, elle les envoie trimer dans leur mine pour qu’ils lui rapportent des pierres pr´ecieuses qu’elle revendra au march´e noir.
Tout se passe bien jusqu’`a ce qu’elle remarque en faisant ses compte que l’un des nains (mais lequel ?) garde pour lui une partie du minerai qu’il r´ecolte... un dixi`eme des diamants trouv´es exactement. Blanche-Neige d´ecide de d´emasquer le coupable d’un seul coup, d’un seul pour que les autres la craignent encore plus.
Pour l’aider, la reine (devenue son amie depuis que Blanche-Neige est pass´ee dans le camp des exploiteurs) lui prˆete une Balance Magique, avec laquelle on peut peser n’importe quel objet, aussi lourd et volumineux soit-il, et qui en donne le poids exact.
Mais attention ! Blanche-Neige n’a droit qu’`a UNE SEULE pes´ee. Tous les matins, les nains vont travailler, et mettent les diamants qu’ils r´ecoltent dans des sacs tous identiques, qu’ils doivent remplir au maximum. Chaque sac est sens´e contenir un kilo de diamants. A la fin de la journ´ee, chaque nain remonte avec dix sacs. Le voleur, au moment de remplir son sac, glisse discr`etement dans une cachette un dixi`eme des diamants r´ecolt´es (il ne les garde pas sur lui car il est malin : ce ne doit pas ˆetre Simplet) ; ses sacs p`esent donc 900 grammes.
Comment Blanche-Neige va-t-elle, en une seule pes´ee de Balance Magique, trouver le cou- pable ?
Exercice 17
Montrer qu’on peut avoirab rationnel avecaetb irrationnels.
Exercice 18
Un triangle ´equilat´eral AEF est inscrit dans un rectangleABCD, avec Asommet commun au triangle et au rectangle,E sur [BC] etF sur [CD].
D´emontrer que l’aire du triangleECF est ´egale `a la somme des aires des triangles ABE et ADF.
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Ann´ee 2007-2008 Feuille D
Exercice 19
Calculer la somme suivante :
1 + 2 + 3 +· · ·+ 999999999 + 1000000000.
Exercice 20
Un classique : le paradoxe de Z´enon, revu au goˆut du jour. Un bandit arm´e d’un revolver met en joue un math´ematicien qui lui dit sereinement :
«Tire, je m’en moque : ta balle ne m’arrˆetera jamais. Regarde bien : pour me toucher il faut bien qu’elle traverse la moiti´e de la distance qui nous s´epare, puis encore la moiti´e de la moiti´e qui reste, puis la moiti´e du quart qui reste, etc. . .`a l’infini : il lui restera toujours un trajet `a parcourir et elle ne me touchera jamais.»
Le bandit se met `a r´efl´echir, et, contrit, laisse partir le math´ematicien en regardant son arme d’un air malheureux.
Que pensez-vous du raisonnement du math´ematicien ? Exercice 21
On dispose de 9 lingots d’or dont un est d´efectueux : il p`ese un tout petit peu moins ou un tout petit peu plus que les autres. On a par ailleurs une balance rudimentaire : 2 grands plateaux permettant de comparer deux poids, mais ne donnant pas de valeur pr´ecise.
On n’a le droit d’utiliser la balance que 4 fois (vous savez, les restrictions budg´etaires. . .).
Peut-on d´eterminer quel est le lingot d´efectueux ? Exercice 22
Quelle est la ligne de longueur minimale qui partage un triangle ´equilat´eral en deux parties d’aires ´egales ?
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Ann´ee 2007-2008 Feuille E
Exercice 23
Combien ai-je d’animaux domestiques sachant que tous sauf deux sont des chats, tous sauf deux sont des chiens, et tous sauf deux sont des perroquets ?
Exercice 24
On tend un fil autour de la Terre1 et on suppose que celui-ci est exactement long pour faire une fois le tour. On augmente maintenant la longueur du fil de deux m`etres et on l’´el`eve pour qu’il continue `a encercler la Terre mais `a une certaine altitude. Un petit chat est-il capable de passer sous le fil ?
Exercice 25
Un concombre est form´e de 99% d’eau (en volume). Pendant la nuit, il s’ass`eche l´eg`erement, et le lendemain il ne contient plus que 98% d’eau. Quelle est (en pourcentage) la variation du volume total du concombre ?
Exercice 26
On colorie les nombres rationnels en rouge ou en bleu. On suppose que le nombre 1 est colori´e en rouge, que les nombres x et x1 ont toujours des couleurs identiques et que les nombres x et x+ 1 ont toujours des couleurs diff´erentes. Quelle est la couleur de 15151789?
Exercice 27
Soit un triangle ABC dont les cˆot´es AB, BC et CA mesurent respectivement 13, 14, et 15.
Trouvez la longueur du cˆot´e d’un carr´e DEFG inscrit dans ABC de telle sorte que D est sur AB, E et F sur BC et G sur CA.
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Ann´ee 2007-2008 Feuille F
Exercice 28
Je p`ese 25% de plus que toi. Combien p`eses-tu de moins que moi ? Exercice 29
Combien le motbonjour poss`ede-t-il d’anagrammes ? Et le mot abracadabra? Exercice 30
Sid d´esigne le nombre de diviseurs d’un entier n, et N le produit de ces diviseurs, trouver une formule qui relie d,netN.
Exercice 31
Ci dessous, une liste d’assertions, certaines fausses, d’autres vraies, qui se r´ef`erent `a un nombre positif2, entier en base 10. Si une assertion est vraie, son num´ero apparaˆıt comme chiffre du nombre `a trouver sinon, il n’y apparaˆıt pas.
(0) La somme des chiffres du nombre est un nombre premier.
(1) Le produit des chiffres du nombre est impair.
(2) Chacun des chiffres du nombre est inf´erieur au chiffre suivant (s’il existe).
(3) Aucun chiffre du nombre n’est ´egal `a un autre.
(4) Aucun des chiffres du nombre n’est sup´erieur `a quatre.
(5) Le nombre a moins de six chiffres.
(6) Le produit des chiffres du nombre n’est pas divisible par 6.
(7) Le nombre est pair.
(8) Aucun chiffre du nombre ne diff`ere de un d’un autre chiffre du nombre.
(9) Au moins un des chiffres du nombre est ´egal `a la somme de deux autres chiffres du nombre. (Les trois chiffres en question doivent ˆetre des chiffres diff´erents du nombre `a trouver. Pr´ecis´ement, un chiffre peut ˆetre compt´e deux fois, mais il faut alors qu’il appa- raisse deux fois dans le nombre.)
Quel est ce nombre ?
