Polytech Paris Sud - ET4 Année 2018-2019
Informatique Théorique : Logique propositionnelle
TD n
◦5
Semaine du 15 octobre
Premiers exercices
Exercice 1. Soit la formule propositionnelleA dénie comme ((p→ ¬q)→ ¬p)∧r. 1. Donner la table de vérité de la formule A.
2. Donner une forme normale conjonctive pour la formule A.
3. Cette formule est-elle valide ? justier votre réponse.
4. Cette formule est-elle satisfaisable ? si oui donner une interprétation la satisfaisant.
Exercice 2. SoitB un langage. Soient A et L deux langages rationnels. Est-ce que les propriétés suivantes sont vraies ? Prouver vos armations.
Propriété 1 : (A∪B) =L→B est rationnel.
Propriété 2 : (A∩B) =L→B est rationnel.
Propriété 3 : (A∪L) n'est pas rationnel→B est rationnel.
Tables de vérité
Exercice 3. Soient les connaissances suivantes. Jean arme : si Bernard est coupable, Sophie l'est aussi ; Bernard dit : Jean est coupable et Sophie ne l'est pas ; Sophie dit : je ne suis pas coupable, mais au moins l'un des deux autres protagonistes l'est . On suppose que chacune de ces personnes ment si et seulement si elle est coupable. Quels est (sont) le(s) coupable(s) ? On raisonnera par table de vérité.
Exercice 4. Un homme qui semble divaguer déclare à toute la clientèle d'un café : (i) Le jour où je ne bois pas et où je dors, je ne suis pas content.
(ii) Le jour où je bois, je ne suis pas content et je dors.
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(iii) Le jour où je ne mange pas, ou je ne suis pas content, ou je dors ou les deux.
(iv) Le jour où je mange, ou bien je suis content, ou bien je bois ou les deux.
(v) Aujourd'hui, je suis content.
1. Introduire des variables propositionnelles pour représenter les principales notions et donner les formules correspondantes à chacune des armations précédentes.
2. On considère que toutes les armations précédentes sont vraies.
a. Par raisonnement élémentaire à partir des armations, montrer qu'il n'a pas bu.
b. Répondre en les justiant par un raisonnement ou une table de vérité aux questions suivantes : a-t-il mangé ? a-t-il dormi ?
Résolution et Davis-Putnam
Exercice 5. On veut montrer queΓ :={a→c∨e, b→a∨c, c→b∨d, d→a∨b,¬d→ a∨c, e → c ∨d, a ∧d → c, b ∧c → a, c ∧d → ¬a} |= a∧b ∧c. Procéder à une démonstration par réfutation en utilisant, après mise sous forme clausale, l'algorithme de Davis et Putnam.
Exercice 6. A partir des connaissances : si Pierre vient, on joue aux cartes ; si Pierre et Jean viennent, il y a des disputes ; si on ne joue pas aux cartes , il n'y a pas de dispute ; Pierre ne vient pas , peut-on démontrer qu'il n'y aura pas de dispute ? Justier votre réponse d'abord en vous plaçant au niveau sémantique (trouver des modèles) puis ensuite au niveau syntaxique par la règle de résolution après mise sous forme clausale.
Exercice 7. Après plusieurs observations de la cafétéria de la maison de l'ingénieur il apparaît plusieurs comportements empiriques :
Les ET4 sont en cours, ou Fabien et Elian font une partie de baby-foot et une photo de Jérémy est installée.
Si les ET4 sont en cours ou si une photo de Jérémy est installée, alors c'est que Lucas a mangé une pizza ou que Théo est serveur au bar.
C'est la pause pour les ET4 et Théo n'est pas au bar car il joue à un jeu vidéo. Montrez par l'algorithme de Davis-Putnam que Lucas a mangé une pizza et que Fabien et Elian jouent au baby-foot.
Raisonnement par équivalence
Exercice 8. Un roi veut vider ses prisons. Il soumet donc chacun de ses prisonniers à une épreuve. Tout prisonnier doit choisir entre deux cellules. Il y a une princesse ou un tigre dans chaque cellule, mais pas les deux à la fois (on peut donc avoir deux tigres, ou deux princesses ou un tigre et une princesse). Si le prisonnier choisit une cellule où se trouve une princesse, il l'épouse, s'il tombe sur un tigre, il est dévoré. Le prisonnier va être aidé par une inscription sur la porte de chaque cellule ainsi que par des renseignements donnés par le roi au sujet de la véracité de ces inscriptions. Ci-dessous, les épreuves proposées
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aux deux premiers prisonniers, chacune un jour diérent (le contenu des cellules peut changer chaque jour). A la place de chaque prisonnier, quelle cellule auriez-vous choisie ? Vous devrez d'abord formaliser par une formule de la logique propositionnelle chacune des situations correspondant aux quatre énigmes à l'aide des seuls symboles propositionnels suivants :
p1 : il y a une princesse dans la cellule 1.
p2 : il y a une princesse dans la cellule 2.
Vous devrez ensuite justier votre choix en démontrant, par réécriture de chaque formule en procédant par équivalence, quel est le contenu de chaque cellule.
Épreuve du premier prisonnier
Sur la porte de la première cellule, on lit l'inscription : Il y a une princesse dans cette cellule, et un tigre dans l'autre . Sur la porte de la deuxième cellule, on lit : Il y a une princesse dans une cellule, et un tigre dans une cellule . Le roi précise par ailleurs que l'une des inscriptions est vraie et que l'autre est fausse.
Épreuve du deuxième prisonnier
Sur la porte de la première cellule, on lit l'inscription : Il y a un tigre dans cette cellule ou il y a une princesse dans l'autre . Sur la porte de la deuxième cellule, on lit : Il y a une princesse dans l'autre cellule . Le roi précise que soit les deux inscriptions sont toutes les deux vraies, soit elles sont toutes les deux fausses.
Épreuve du troisième prisonnier
Sur la porte de la première cellule, on lit l'inscription : Choisis bien ta cellule, ça a de l'importance ! . Sur la porte de la deuxième cellule, on lit : Tu ferais mieux de choisir l'autre cellule ! . Le roi précise que l'inscription sur la porte de la première cellule est vraie si cette cellule contient une princesse et fausse si elle contient un tigre et que l'inscription sur la porte de la deuxième cellule est vraie si cette cellule contient un tigre et fausse si elle contient une princesse.
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