TDn 5 ◦ InformatiqueThéorique:Logiquepropositionnelle

Polytech Paris Sud - ET4 Année 2018-2019

Informatique Théorique : Logique propositionnelle

TD n ^◦ 5

Semaine du 15 octobre

Premiers exercices

Exercice 1. Soit la formule propositionnelleA dénie comme ((p→ ¬q)→ ¬p)∧r. 1. Donner la table de vérité de la formule A.

2. Donner une forme normale conjonctive pour la formule A. 3. Cette formule est-elle valide ? justier votre réponse.

4. Cette formule est-elle satisfaisable ? si oui donner une interprétation la satisfaisant.

Démonstration. 1. Quandr est faux la formule est toujours fausse. Voici la table : p q r p→ ¬q (p→ ¬q)→ ¬p A

0 0

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 1

2. (¬(¬p∨ ¬q)∨ ¬p)∧r= ((p∧q)∨ ¬p)∧r= (q∨ ¬p)∧r.

3. Non : sir est faux, tout est faux.

4. Oui par exemple quand les trois variables sont vraies.

Exercice 2. SoitB un langage. Soient A et L deux langages rationnels. Est-ce que les propriétés suivantes sont vraies ? Prouver vos armations.

Propriété 1 : (A∪B) =L→B est rationnel.

Propriété 2 : (A∩B) =L→B est rationnel.

Propriété 3 : (A∪L) n'est pas rationnel→B est rationnel.

Démonstration. 1. Faux. PrenonsA=L= (a+b)^∗ (qui est rationnel) etB ={aⁿbⁿ | n≥0} (qui n'est pas rationnel). On a bien L =A∪B = (a+b)^∗ et pourtant B n'est pas rationnel.

2. Faux. PrenonsA=L=∅(qui est rationnel) et B ={aⁿbⁿ | n≥0}(qui n'est pas rationnel). On a bienL=A∩B =∅et pourtant B n'est pas rationnel.

3. Vrai. En eet comme L et A sont tous deux rationnel, A∩L l'est aussi et l'as- sertion "A∩L n'est pas rationnel" est fausse. Ainsi, d'après la table de vérité de l'implication, la propriété 3 est vraie.

Tables de vérité

Exercice 3. Soient les connaissances suivantes. Jean arme : si Bernard est coupable, Sophie l'est aussi ; Bernard dit : Jean est coupable et Sophie ne l'est pas ; Sophie dit : je ne suis pas coupable, mais au moins l'un des deux autres protagonistes l'est . On suppose que chacune de ces personnes ment si et seulement si elle est coupable. Quels est (sont) le(s) coupable(s) ? On raisonnera par table de vérité.

Démonstration. On introduit les trois symboles propositionnels suivants : B : Bernard est innocent.

J : Jean est innocent.

S : Sophie est innocente.

On a alors les armations suivantes de chacun : Bernard : ¬J∧S

Jean : ¬B → ¬S Sophie : S∧(¬B∨ ¬J)

On fait les tables de vérité, il faut que la lecture des droites colonnes de droite corresponde à celle des trois colonnes de gauche.

B J S ¬J∧S ¬B → ¬S S∧(¬B∨ ¬J)

1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0

1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 0

Donc Jean est innocent, Bernard et Sophie sont coupables.

Exercice 4. Un homme qui semble divaguer déclare à toute la clientèle d'un café :

(i) Le jour où je ne bois pas et où je dors, je ne suis pas content.

(ii) Le jour où je bois, je ne suis pas content et je dors.

(iii) Le jour où je ne mange pas, ou je ne suis pas content, ou je dors ou les deux.

(iv) Le jour où je mange, ou bien je suis content, ou bien je bois ou les deux.

(v) Aujourd'hui, je suis content.

1. Introduire des variables propositionnelles pour représenter les principales notions et donner les formules correspondantes à chacune des armations précédentes.

2. On considère que toutes les armations précédentes sont vraies.

a. Par raisonnement élémentaire à partir des armations, montrer qu'il n'a pas bu.

b. Répondre en les justiant par un raisonnement ou une table de vérité aux questions suivantes : a-t-il mangé ? a-t-il dormi ?

Démonstration. 1. On introduit les variables suivantes sur l'homme : b : il boit, c : il est content, m : il mange, d : il dort. Les formules se traduisent de la manière suivante :

(i) (¬b∧d)→ ¬c; (ii) b→(¬c∧d); (iii) ¬m→(¬c∧d) (iv) m→(c∧b)

(v) c

2. a. c est vrai, donc l'armation (ii) nous permet de déduire que b est faux (il ne boit pas).

b. L'armation (i) nous permet alors de dire que d est faux, il n'a pas dormi.

Dans l'armation (iii) on remarque que (¬c∧d) est faux et donc pour que l'armation soit vrai il faut que ¬m soit faux et donc que m soit vrai : Il a mangé. Finalement on vérie que la solution trouvée valide aussi l'armation (v) et donc on a bien une solution.

Résolution et Davis-Putnam

Exercice 5. On veut montrer queΓ :={a→c∨e, b→a∨c, c→b∨d, d→a∨b,¬d→ a∨c, e → c ∨d, a ∧d → c, b ∧c → a, c ∧d → ¬a} |= a∧b ∧c. Procéder à une démonstration par réfutation en utilisant, après mise sous forme clausale, l'algorithme de Davis et Putnam.

Démonstration. On a l'ensemble de clauses{¬a∨c∨e,¬b∨a∨c,¬c∨b∨d,¬d∨a∨b, d∨

a∨c,¬e∨c∨d,¬a∨¬d∨c,¬b∨¬c∨a,¬c∨¬d∨¬a}. On ajoute¬(a∧b∧c) =¬a∨¬b∨¬c. Par une résolution eneon obtient :

{¬a∨c∨d,¬b∨a∨c

| {z }

1

,¬c∨b∨d

| {z }

2

,¬d∨a∨b

| {z }

3

, d∨a∨c,¬a∨ ¬d∨c,¬b∨ ¬c∨a

| {z }

4

,¬c∨ ¬d∨ ¬a,¬a∨ ¬b∨ ¬c

| {z }

5

}.

On fait une résolution enb:

1et2 donnent la tautologie a∨c∨ ¬c∨d. 1et3 donnent c∨a∨ ¬d

4et2 donnent d∨ ¬c∨a 4et3 donnent ¬c∨a∨ ¬d 5et2 donnent ¬a∨ ¬c∨d

5et3 donnent la tautologie a∨ ¬c∨ ¬a∨d.

On a donc :

{¬a∨c∨d, d∨a∨c,¬a∨ ¬d∨c,¬c∨ ¬d∨ ¬a,c∨a∨ ¬d, d∨ ¬c∨a,¬c∨a∨ ¬d,¬a∨ ¬c∨d}.

On eectue une résolution enc. En fait il reste tous les8cas possibles de combinaisons...

Donc on trouve les4 possibles à deux :{a∨d, a∨ ¬d,¬a∨d,¬a∨ ¬d}.

On fait maintenant une résolution en a pour obtenir deux tautologies, d et ¬d. Et

d,¬d ` . Par conséquent on a prouvé que Γ∪ ¬(a∧b∧c) ` . Par complétude de

la méthode de réfutation pour la résolution on déduit Γ |= (a∧b∧c). D'où on a le résultat.

Exercice 6. A partir des connaissances : si Pierre vient, on joue aux cartes ; si Pierre et Jean viennent, il y a des disputes ; si on ne joue pas aux cartes , il n'y a pas de dispute ; Pierre ne vient pas , peut-on démontrer qu'il n'y aura pas de dispute ? Justier votre réponse d'abord en vous plaçant au niveau sémantique (trouver des modèles) puis ensuite au niveau syntaxique par la règle de résolution après mise sous forme clausale.

Démonstration. On note les symboles propositionnels : P : Pierre vient ;

J : Jean vient ;

C : on joue aux cartes ; D: il y a une dispute.

On peut trouver une interprétation satisfaisant ces contraintes et dans lequel il y a une dispute (¬P,J,C,D) et une où il n'y en a pas (¬P,J,C,¬D).

Au niveau syntaxique on écrit nos contraintes. On a les conditions{P →C, P∧C → D,¬C → ¬D,¬P} On ajoute¬D et on applique l'algorithme de Davis Putnam :

¬P ∨C ¬P ∨ ¬C∨D C∨ ¬D ¬P ¬D

Elimination de la clause unitaire¬P : C∨ ¬D ¬D Elimination de la clause unitaire¬D: {}

Ainsi l'ensemble initial est satisfaisable, et on montre de même que l'ajout deDdans les clauses est satisfaisable.

Exercice 7. Après plusieurs observations de la cafétéria de la maison de l'ingénieur il apparaît plusieurs comportements empiriques :

Les ET4 sont en cours, ou Fabien et Elian font une partie de baby-foot et une photo de Jérémy est installée.

Si les ET4 sont en cours ou si une photo de Jérémy est installée, alors c'est que Lucas a mangé une pizza ou que Théo est serveur au bar.

C'est la pause pour les ET4 et Théo n'est pas au bar car il joue à un jeu vidéo. Montrez par l'algorithme de Davis-Putnam que Lucas a mangé une pizza et que Fabien et Elian jouent au baby-foot.

Démonstration. On introduit les symboles propositionnels suivants : C : les ET4 sont en cours ;

B : Fabien et Elian jouent au baby-foot ; J : une photo de Jérémy est installée ; L: Lucas a mangé une pizza ;

T : Théo est serveur au bar.

On a les armations suivantes : C∨(B∧J), (C∨J) → (L∨T), ¬C et¬T. On veut montrer L∧B. On met tout sous forme clausale :

C∨(B∧J) = (C∨B)∧(C∨J) (C∨J)→(L∨T) = ¬(C∨J)∨(L∨T)

= (¬C∧ ¬J)∨(L∨T) = (¬J∨L∨T)∧(¬C∨L∨T)

On ajoute la clause¬(L∧B) =¬L∨ ¬B.

C∨B C∨J ¬J∨L∨T ¬C∨L∨T ¬C ¬T ¬L∨ ¬B

clause unitaire¬C : B J ¬J∨L∨T ¬T ¬L∨ ¬B

clause unitaireJ: B L∨T ¬T ¬L∨ ¬B

clause unitaire¬T : B L ¬L∨ ¬B

clause unitaireB: L ¬L

Résolution :

Ainsi Elian et Fabien font du babyfoot et Lucas a mangé de la pizza.

Raisonnement par équivalence

Exercice 8. Un roi veut vider ses prisons. Il soumet donc chacun de ses prisonniers à une épreuve. Tout prisonnier doit choisir entre deux cellules. Il y a une princesse ou un tigre dans chaque cellule, mais pas les deux à la fois (on peut donc avoir deux tigres, ou deux princesses ou un tigre et une princesse). Si le prisonnier choisit une cellule où se trouve une princesse, il l'épouse, s'il tombe sur un tigre, il est dévoré. Le prisonnier va être aidé par une inscription sur la porte de chaque cellule ainsi que par des renseignements donnés par le roi au sujet de la véracité de ces inscriptions. Ci-dessous, les épreuves proposées aux deux premiers prisonniers, chacune un jour diérent (le contenu des cellules peut changer chaque jour). A la place de chaque prisonnier, quelle cellule auriez-vous choisie ?

Vous devrez d'abord formaliser par une formule de la logique propositionnelle chacune des situations correspondant aux quatre énigmes à l'aide des seuls symboles propositionnels suivants :

p1 : il y a une princesse dans la cellule 1.

p2 : il y a une princesse dans la cellule 2.

Vous devrez ensuite justier votre choix en démontrant, par réécriture de chaque formule en procédant par équivalence, quel est le contenu de chaque cellule.

Épreuve du premier prisonnier

Sur la porte de la première cellule, on lit l'inscription : Il y a une princesse dans cette cellule, et un tigre dans l'autre . Sur la porte de la deuxième cellule, on lit : Il y a une princesse dans une cellule, et un tigre dans une cellule . Le roi précise par ailleurs que l'une des inscriptions est vraie et que l'autre est fausse.

Épreuve du deuxième prisonnier

Sur la porte de la première cellule, on lit l'inscription : Il y a un tigre dans cette cellule ou il y a une princesse dans l'autre . Sur la porte de la deuxième cellule, on lit : Il y a une princesse dans l'autre cellule . Le roi précise que soit les deux inscriptions sont toutes les deux vraies, soit elles sont toutes les deux fausses.

Épreuve du troisième prisonnier

Sur la porte de la première cellule, on lit l'inscription : Choisis bien ta cellule, ça a de l'importance ! . Sur la porte de la deuxième cellule, on lit : Tu ferais mieux de choisir l'autre cellule ! . Le roi précise que l'inscription sur la porte de la première cellule est vraie si cette cellule contient une princesse et fausse si elle contient un tigre et que l'inscription sur la porte de la deuxième cellule est vraie si cette cellule contient un tigre et fausse si elle contient une princesse.

Démonstration. Épreuve du premier prisonnier Inscription 1 :I1=p1∧ ¬p₂

Inscription 2 :I₂= (p₁∧ ¬p₂)∨(¬p₁∧p₂)

Roi : (I1 ∧ ¬I₂)∨(¬I₁∧I2). CommeI1 → I2 on en déduit que I1∧ ¬I₂ est impossible (sinon le résoudre par équivalence). Il reste l'autre cas que l'on résout ici par équivalence :

¬I₁∧I2 = ¬(p₁∧ ¬p₂)∧[(p1∧ ¬p₂)∨(¬p₁∧p2)]

= (¬p₁∨p2)∧[(p1∧ ¬p₂)∨(¬p₁∧p2)]

= (¬p₁∧p₁∧ ¬p₂)∨(¬p₁∧ ¬p₁∧p₂)∨(p₂∧p₁∧ ¬p₂)∨(p₂∧ ¬p₁∧p₂)

= (¬p₁∧p₂)∨(p₂∧ ¬p₁) = (¬p₁∧p₂).

Ainsi il faut aller dans la pièce deux.

Épreuve du deuxième prisonnier Inscription 1 :I1=¬p₁∨p2

Inscription 2 :I₂=p₁

Roi :(I1∧I₂)∨(¬I₁∧¬I₂)on résout par équivalence. On note que¬I₁∧¬I₂ =p1∧p₂∧¬p₁ qui est contradictoire. Il reste doncI1∧I2 = (¬p₁∨p2)∧p1 =p1∧p2. Il y a donc deux princesses ! Une dans chaque salle !

Épreuve du troisième prisonnier Inscription 1 :I1= (p1∧ ¬p₂)∨(¬p₁∧p2) Inscription 2 :I₂=p₁∧ ¬p₂

Roi :R = [(I1∧p1)∨(¬I₁∧ ¬p₁))∧[(I2∧ ¬p₂)∨(¬I₂∧p2)]. On résout bout par bout. On note juste queI1 =¬[(p₁∧¬p₂)∨(¬p₁∧p₂)] = (¬p₁∨p₂)∧(p₁∨¬p₂) =¬p₁∧¬p₂∨p₁∧p₂.

I1∧p1 = p1∧ ¬p₂

¬I₁∧ ¬p₁ = [(¬p₁∧ ¬p₂)∨(p₁∧p₂)]∧ ¬p₁=¬p₁∧ ¬p₂ I₂∧ ¬p₂ = p₁∧ ¬p₂

¬I₂∧p₂ = ¬(p₁∧ ¬p₂)∧p₂= (¬p₁∨p₂)∧p₂

Dès lors :

R = [(p₁∧ ¬p₂)∨(¬p₁∧ ¬p₂)]∧[(p₁∧ ¬p₂)∨((¬p₁∨p₂)∧p₂)]

= · · ·= (p₁∧ ¬p₂)

Donc il y a une princesse dans la cellule 1.