Animath Ecole Normale Sup´erieure Science Ouverte
Tutorat de math´ ematiques
Ann´ee 2007 Feuille A
Exercice 1
On dispose de 9 lingots d’or dont un est d´efectueux : il p`ese un tout petit peu moins que les autres. On a par ailleurs une balance rudimentaire : 2 grands plateaux permettant de comparer deux poids, mais ne donnant pas de valeur pr´ecise.
On n’a le droit d’utiliser la balance que 2 fois (vous savez, les restrictions budg´etaires. . .).
Peut-on d´eterminer quel est le lingot d´efectueux ?
Et si on a 27 lingots (dont un d´efectueux) et 3 pes´ees ? Avec n pes´ees, jusqu’`a combien de lingots (dont un d´efectueux) peut-on tester ?
Exercice 2
Il y a quelques ann´ees, c’´etait l’anniversaire de Joha. Il y avait un gˆateau mais pas de bougies.
Il d´eclara :
«Si j’avais un an de plus que le double de l’ˆage que j’aurais eu si je n’avais eu que le tiers de l’ˆage que j’aurais eu si j’avais ´et´e d’un an plus jeune que la moiti´e de l’ˆage que j’ai r´eellement et si, bien sˆur, j’avais mis des bougies `a raison d’une par an, il y en aurait juste le quart de ce que j’aurais mis si j’avais eu l’id´ee d’inverser les chiffres de mon ˆage et de mettre autant de bougies que le r´esultat obtenu.»
Joha ´etait jeune `a l’´epoque (c’est `a dire moins de 100 ans, apr`es on peut commencer `a ne plus se sentir jeune). Quel ˆage avait-il ?
Exercice 3
Reproduisez approximativement la figure suivante :
Montrer qu’on peut trouver un triangle ´equilat´eral dont les trois sommets sont sur la courbe.
Exercice 4
D´eterminez les entiers positifs n pour lesquelsS = n4+ 4n est un nombre premier (c’est `a dire que les seuls entiers naturels divisant S sont 1 et S).
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