PanaMaths Mai 2007
Calculer l’intégrale définie :
1 0
ln I = ∫ x xdx
Analyse
La présence du logarithme népérien pousse à envisager une intégration par parties …
Résolution
Notons dans un premier temps que la fonction x6xlnx est prolongeable par continuité en 0 puisque l’on a la limite classique :
0
lim ln 0
x x x
→ = .
Considérons alors la fonction u définie sur
] ]
0 ; 1 par : u x( )
=lnx. On a immédiatement, pour tout réel x de] ]
0 ; 1 : u x'( )
1= x.
Soit alors la fonction v définie sur
[ ]
0 ; 1 par :( )
1 2v x = 2x . On a facilement, pour tout x réel de
[ ]
0 ; 1 : v x'( )
=x.La fonction 'u v est définie sur
] ]
0 ; 1 par :] ]
0 ; 1 , '( )( )
1 1 2 12 2
x u v x x x
∀ ∈ = ×x = . Elle est
donc prolongeable par continuité en 0.
On a donc :
1
0
1 1
2
0 0
1 2
0
ln
1 1
2 ln 2
0 1 1 2 2
1 1 0
2 2 1 4 I x xdx
x x xdx
x
=
⎡ ⎤
=⎢⎣ ⎥⎦ −
⎡ ⎤
= − ⎢⎣ ⎥⎦
⎛ ⎞
= − ⎜⎝ − ⎟⎠
= −
∫
∫
PanaMaths Mai 2007
Remarque : on obtient naturellement une valeur négative puisque la fonction x6xlnx prend des valeurs négatives sur
] ]
0 ; 1 du fait du logarithme népérien.Résultat final
1
0
ln 1
I=
