Devoir de math´ ematiques n
o10 - 1` ereS
20 avril 2010 - 2H
Exercice 1 (4,5 points)
Soit AGH un triangle ´equilat´eral de sens direct. On construit : – le parall´elogramme ABF Gde sens direct tel que (−−→BF ,−−→BA) = 5π
6 + 2kπ avec k∈Z, – un point C tel que (−−→F G ,−−→F C) = π
2 + 2kπ avec k∈Z, – un parall´elogramme de sens direct F CDE.
Le but de l’exercice est de d´emontrer que les droites (AH) et (DE) sont parall`eles.
1. D´eterminer (−−→AH ,−−→
AG).
2. D´emontrer que (−−→
AG ,−−→
AB) =−π
6 + 2kπ (k∈Z).
3. D´emontrer que (−−→AB ,−−→DE) = π
2 + 2kπ (k∈Z).
4. En utilisant les questions pr´ec´edentes, calculer (−−→AH ,−−→DE) et conclure.
Exercice 2 (5,5 points)
1. On donne sinx=
p2 +√ 3
2 etx∈[0;π
2] ; calculer cosx, sin 2xet cos 2x, et en d´eduire la valeur dex.
2. Montrer l’´egalit´e : 4 cos2x+ 2 sin2x= 3 + cos 2x
3. Simplifier l’expression A(x) = sin 3xcosx−sinxcos 3x ; en d´eduire que sin 3x
sinx −cos 3x cosx = 2.
Exercice 3 (6 points)
1. R´esoudre dans [0; 2π[ l’in´equation : 2 sinx+√ 3>0 2. R´esoudre dans [−π;π] l’´equation : 1−√
2 cos(π
3 −x) = 0 3. R´esoudre dans [−π;π] l’´equation : sin(2x−π
6) = cos(π 4 −x)
Exercice 4 (4 points)
Dans un rep`ere orthonormal direct (O;−→i ,−→j) , on consid`ere le point M de coordonn´ees (2√ 3; 2).
1. D´eterminer les coordonn´ees polaires de M.
2. Soit le pointN tel queON =OM et (−−→OM ,−−→ON) = 3π
4 + 2kπ, (k∈Z) ; d´eterminer les coordonn´ees polaires deN.
3. En utilisant les formules d’addition, calculer cos(11π
12 ) et sin(11π 12 ) ; en d´eduire les coordonn´ees cart´esiennes deN.
