2008-2009 TS
Sujet 1/ 2
DST Terminale S Spécialité Mathématiques 2h
Exercice 1
4 points (Restitution Organisée de Connaissances ) 1. On suppose connu le théorème de Bézout :Si a et bsont deux entiers non nuls et si dest leur PGCD alors il existe deux entiers relatifsuet v tels queau+bv=d.
Démontrer alors le théorème de Gauss :
Si adivisebcet siaetb sont premiers entre eux, alorsadivisec.
2. Application :
a. Montrer que sipest un nombre premier, alorspne divise pas(p−1)! = 1×2× · · · ×(p−1).
b. Que peut-on en déduire surpgcd(n; (n−1)!)sinest un nombre premier ? c. Cette propriété est-elle encore vraie pour tout entiernnon premier ? Justifier.
Exercice 2
4 points (d’après JPS )1. À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminerδ=P GCD(2737; 195).
2. Donner deux entiersuet v vérifiant2737u+ 195v=δ. On détaillera la méthode d’obtention des calculs (avec de jolies couleurs)
3. On veut résoudre l’équation 2737u+ 195v= 2.
a. Donner une solution particulière(u0;v0)de cette équation.
b. Résolvez cette équation et en donner toutes les solutions.
Exercice 3
4 points (d’après Nouvelle Calédonie 2004 ) Dans cet exercice,aet bdésignent des entiers strictement positifs.1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs uet v tels que au+bv= 1alors les nombres aet b sont premiers entre eux.
b. En déduire que si (a2+ab−b2)2= 1, alorsaetb sont premiers entre eux.
2. On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a; b)tels que(a2+ab−b2)2= 1.
Un tel couple sera appelé solution.
a. Détermineralorsquea=b.
b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particuliéres.
c. Montrer que si(a; b)est solution et sia < b, alorsa2−b2<0.
3. a. Montrer que si(x; y)est une solution différente de (1 ; 1) alors(y−x; x)et(y ; y+x)sont aussi des solutions.
b. Déduire de2. b. trois nouvelles solutions.
4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n définie par a0=a1= 1 et pour tout entiern, n>0, an+2=an+1+an .
Démontrer que pour tout entier n>0, (an ; an+1)est solution.
En déduire que les nombres an etan+1 sont premiers entre eux.
Exercice 4
4 points ( d’après La Réunion 2005 ) Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :« Étant donnés deux entiers naturelsaetbnon nuls, si PGCD(a; b) = 1alors PGCD(a2 ; b2) = 1».
Une suite(Sn)est définie pour n >0 par Sn=
n
X
p=1
p3. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nuln, le plus grand commun diviseur de Sn et Sn+1.
1. Démontrer que, pour toutn >0, on a : Sn=
n(n+ 1) 2
2 .
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Sujet 2/ 2
2. Étude du cas ùnest pair. Soitk l’entier naturel non nul tel quen= 2k.
a. Démontrer que PGCD(S2k; S2k+1) = (2k+ 1)2PGCD k2; (k+ 1)2. b. Calculer PGCD(k; k+ 1).
c. Calculer PGCD(S2k ; S2k+1).
3. Étude du cas ùnest impair. Soitkl’entier naturel non nul tel quen= 2k+ 1.
a. Démontrer que les entiers 2k+ 1et2k+ 3 sont premiers entre eux.
b. Calculer PGCD(S2k+1 ; S2k+2).
4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur den, que l’on déterminera, pour laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.
Exercice 5
4 points ( d’après Centres étrangers 2005 )Partie A
SoitN un entier naturel, impair non premier.
On suppose queN =a2−b2oùaet bsont deux entiers naturels.
1. Montrer queaet bn’ont pas la même parité.
2. Montrer queN peut s’écrire comme produit de deux entiers naturelspet q.
3. Quelle est la parité depet de q?
Partie B
On admet que 250 507 n’est pas premier.
On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a; b)vérifiant la relation (E) : a2−250 507 =b2.
1. SoitX un entier naturel.
a. Donner dans un tableau, les restes possibles deX modulo 9 ; puis ceux deX2 modulo 9.
b. Sachant quea2−250 507 =b2, déterminer les restes possibles modulo 9 dea2−250 507; en déduire les restes possibles module 9 de a2.
c. Montrer que les restes possibles modulo 9 de asont 1 et 8.
2. Justifier que si le couple(a; b)vérifie la relation (E), alorsa>501. Montrer qu’il n’existe pas de solution du type (501 ; b).
3. On suppose que le couple (a; b)vérifie la relation (E).
a. Démontrer queaest congru à 503 ou à 505 modulo 9.
b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505 + 9k; b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.
Partie C
1. Déduire des parties précédentes une écriture de 250 507 en un produit deux facteurs.
2. Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ? 3. Cette écriture est-elle unique ?
