C219 - Au berceau de Diophante [*** à la main]
Cryptarithme proposé par Philippe Laugerat
Comme dans tout cryptarithme, chaque lettre désigne un chiffre et un seul et aucun nombre ne commence par un zéro.
A P H R O D I T E + A T H E N A + E T + D I A N E + P O R T A I E N T
= D I O P H A N T E Que vaut Diophante?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Première conclusion : D > A et D > P . Par la suite Y désignera la retenue affectée à la colonne suivante.
En regardant les 2 dernières colonnes : TE + NA + ET + NE + NT = YTE ---> NA + ET + NE + NT = Y00 = 100 ou 200
A) Posons T=0 . ---> A + E = 10
a) A = 1 et E = 9 ; ainsi la seconde colonne va donner : 1 + 9 + 3 x N = Y0 ---> pas de solution pour N.
b) A = 2 et E = 8 ; ainsi la seconde colonne va donner : 1 + 8 + 3 x N = Y0 --> une solution pour N = 7 avec Y = 3 jusqu'ici ça fonctionne avec : T = 0 , A = 2 , N = 7 et E = 8 . Y = 3 ( retenue de la 3ième colonne).
Cette 3 ième colonne donne alors : 3 + I + A + 2 x E = YN ---> I + 21 = 27 --> I = 6 . Et ça fonctionne toujours avec:
T = 0 , A = 2 , I = 6 , N = 7 et E = 8 . Y = 2 est la retenue pour la 4 ième colonne.
La 4 ième colonne donne à son tour : 2 + D + H +2 x I = YA --> 14 + D + H = 22 --> D + H = 8 et Y = 2 Les seuls couples autorisés pour D et H sont (3,5) et (5,3)
_ D = 3 et H = 5 --> D > A et D > P --> P ne peut prendre que la valeur 1 . La 5 ième colonne donne alors : 2 + O + T + D + A = YH --> 7 + O = Y5 = 15 ---> O = 8 --> impossible puisque E = 8.
_ D = 5 et H = 3 --> la 5 ième colonne donne alors : 2 + O + T + D + A = YH --> O + 9 = 13 --> O = 4. Y = 1
jusque là on s'aperçoit que cela ne fonctionne plus avec : T = 0 , P = 1 , A = 2 , H = 3 , O = 4 , D = 5 , I = 6 , N = 7 et E = 8 En effet si A = 2 , P = 1 , O = 4 et I = 6 , la 7 ième colonne H + R doit générer une retenue de 1 , pour cela R = 9
et H + R = 3 + 9 = 12 et cette colonne donne un total de YO = 14 puisque O = 4 . La retenue de la 6 ième colonne étant 1 alors 1 + R + A + T = YP ---> R + 3 = Y1 = 11 --> R = 8 --> impossible puisque E = 8 .
Retour à la case départ avec :
c) A = 3 et E = 7 ; la seconde colonne donne alors : 1 + 7 + 3 x N = Y0 --> N = 4 et Y = 2 (retenue de la 3 ième colonne) ainsi : T = 0 , A = 3 , N = 4 et E = 7 . Y = 2
la 3 ième colonne donne alors : 2 + I + A + 2 x E = YN --> I + 19 = 24 --> I = 5 et Y = 2 (retenue de la 4 ième colonne) T = 0 , A = 3 , N = 4 , I = 5 et E = 7 . Y = 2 ; la 4 ième colonne donne alors : 2 + D + H + 2 x I = YA --> D + H + 12 = 23 alors D + H = 11 et Y = 2 (retenue de la 5 ième colonne)
1) rappelle que D > A --> D > 3
_ D = 4 et H = 7 ---> Impossible puisque E = 7 _ D = 5 et H = 6 --> Impossible puisque I = 5 _ D = 7 et H = 4 --> impossible puisque N = 4 _ D = 8 et H = 3 --> impossible puisque A = 3
_ D = 9 et H = 2 ---> la 5 ième colonne donne alors: 2 + O + T + D + A = YH --> O + 14 = Y2 = 22 --> O = 8 et Y = 2 et T = 0 , H = 2 , A = 3 , N = 4 , I = 5 et E = 7 , O = 8 , D = 9 et Y = 2
dans ce cas , avec 1 de retenue à la dernière colonne : P = D - A -1 = 5 --> impossible puisque I = 5
avec aucune retenue à la dernière colonne : P = D - A = 6 --> P + O = 6 + 8 = 14 (il y a une retenue). ---> abandon du c) d) A = 4 et E = 6 ; la seconde colonne donne alors: 1 + 6 + 3 x N = Y0 --> pas de solution pour N
e) A = 6 et E = 4 ; la seconde colonne donne alors : 1 + 4 + 3 x N = Y0 --> une solution pour N = 5 et Y = 2 (retenue de la 3 ième colonne) T = 0 , A = 6 , N = 5 et E = 4 ; la 3 ième colonne donne alors : 2 + I + A + 2 x E = YN --> I + 14 = 15 --> I = 1 et Y = 1
ainsi : T = 0 , I = 1 , A = 6 , N = 5 et E = 4 ; la 4 ième colonne donne alors : 1 + D + H + 2 x I = YA ---> D + H + 3 = 16 --> D + H = 13 --> impossible f) A = 7 et E = 3 ; la seconde colonne donne alors : 1 + 3 + 3 x N = Y0 --> 4 + 3 x N = 10 --> N = 2 et Y = 1
à ce moment là : T = 0 , N = 2 , A = 7 et E = 3 ; la 3 ième colonne donne alors: 1 + I + A + 2 x E = YN --> I + 14 = 22 --> I = 8 et Y = 2 T = 0 , N = 2 , A = 7 , I = 8 et E = 3 --> la 4 ième colonne donne alors : 2 + D + H + 2 x I = YA --> D + H + 18 = 27 --> D + H = 9 et Y = 2 dans ce cas un seul couple fonctionne pour D et H : (4,5) . rappelons que D > A = 7 --> impossibilité .
g) A = 8 et E = 2 ; la seconde colonne donne alors : 1 + E + 3 x N = Y0 --> 3 + 3 x N = Y0 --> pas de solution pour N h) A = 9 et E = 1 : impossible puisque D > A
B) Posons T = 1
dans ce cas , A + E = 8
a) A = 2 et E = 6 ; la seconde colonne donne alors : 1 + E + 3 x N = Y0 --> 7 + 3 x N = Y0 --> pas de solution pour N
b) A = 3 et E = 5 ; la seconde colonne donne alors : 1 + E + 3 x N = Y0 --> 1 + 5 + 3 x E = 30 --> N = 8 et Y = 3 ( retenue en 3 ième colonne) alors T = 1 , A = 3 , E = 5 et N = 8 ; la 3 ième colonne donne alors : 3 + I + A + 2 x E = YN --> I + 16 = 18 --> I = 2 et Y = 1
ainsi : T = 1 , I = 2 , A = 3 , E = 5 et N = 8 ; la 4 ième colonne donne alors : 1 + D + H + 2 x I = YA --> 5 + D + H = 13 --> D + H = 8 ( D > A =3) Dans ce cas il n'y a pas de couple possible ( D,H)
c) A = 5 et E = 3 ---> dans la seconde colonne il n'y a pas de solution pour N d) A = 6 et E = 2 ---> dans la seconde colonne il n'y a pas de solution pour N
e) A = 7 et E = 1 --> impossible puisque T = 1
B) Posons T = 2
Deux cas possibles , A + E = 6 ( Y = 1) et A + E = 16 ( Y = 2) 1) A + E = 6 (Y = 1)
a) A = 5 et E = 1 --> la seconde colonne donne alors : 1 + E + 3 x N = Y0 --> 2 + 3 x N = 20 --> une solution pour N = 6 et Y = 2 alors T = 2 , A = 5 , E = 1 , N = 6 ( Y = 2) ; la 3 ième colonne donne alors : 2 + I + A + 2 x E = YN --> I + 9 = 16 --> I = 7
ainsi T = 2 , A = 5 , E = 1 , N = 6 , I = 7 ( Y = 1 ) ; la 4 ième colonne donne alors : 1 + D + H + 2 x I = YA --> D + H + 15 = 25 --> D + H = 10 ce qui est impossible avec les valeurs déjà obtenues .
b) A = 1 et E = 5 --> pas de solution pour N en seconde colonne . 2) A + E = 16 ( Y = 2 )
a) A = 9 et E = 7 ( Y = 2) --> Pas de solution pour N en seconde colonne .
b) A = 7 et E = 9 --> La seconde colonne donne alors : 2 + E + 3 x N = Y0 --> 11 + 3 x N = 20 --> Une solution avec N = 3 et Y = 2 dans ce cas T = 2 , N = 3 , A = 7 et E = 9 ; la 3 ième colonne donne alors : 2 + I + A + 2 x E = YN --> I + 27 = 33 --> I = 6 et Y = 3
alors : T = 2 , N = 3 , I = 6 , A = 7 et E = 9 ; la 4 ième colonne donne à son tour : 3 + D + H + 2 x I = YA --> D + H + 15 = 27 --> D + H = 12 (Y = 2) dans ce cas , les valeurs possibles pour D et H sont (4,8)
_ D = 4 et H = 8 ; la 5 ième colonne donne alors : 2 + O + T + D + A = YH --> O + 15 = 18 --> O = 3 ( valeur déjà obtenue par N) _ D = 8 et H = 4 ; la 5 ième colonne donne alors : 2 + O + T + D + A = YH --> O + 19 = 24 --> O = 5 et Y = 2
alors : T = 2 , N = 3 , H = 4 , O = 5 , I = 6 , A = 7 , D = 8 et E = 9
A ce stade il reste deux valeurs à affecter pour P et R . P ne peut prendre que la valeur 1 , ainsi R = 0 ; la 6 ième colonne donne alors:
2 + R + A + T = YP --> 11 = 11 . ok et Y = 1
la 7 ième colonne donne alors : 1 + H + R = YO --> 5 = 5 et Y = 0 la 8 ième colonne donne alors : P + O = I --> 1 + 5 = 6 et Y = 0 et enfin A + P = D --> 7 + 1 = 8 et au moins une solution :
DIOPHANTE = 865147329 = 714058629 + 724937 + 92 + 86739 + 150276932
