C219 - Au berceau de Diophante
Cryptarithme proposé par Philippe Laugerat
Comme dans tout cryptarithme, chaque lettre désigne un chiffre et un seul et aucun nombre ne commence par un zéro. Combien vaut DIOPHANTE ?
A P H R O D I T E
A T H E N A
E T
D I A N E
P O R T A I E N T
D I O P H A N T E
Solution par Patrick Gordon
Notons tout d'abord que seuls A, E, D, P sont assujettis à être > 0, les autres chiffres pouvant être nuls (pas plus d'un).
Commençons par la droite et notons r1 etr2 les retenues aux rangs 2 et 3 (depuis la droite).
r2 r1
I T E
E N A
E T
A N E
E N T
N T E
On a :
(1) E + 2T + A = 10 r1 (2) 3N + E + r1 = 10 r2
On remarque que (avec E T A tous différents et A et E non nuls) on a : 3 ≤ E + 2T + A ≤ 33, d'où 1 ≤ r1 ≤ 3
2 ≤ 3N + E + r1 ≤ 38, d'où 1 ≤ r2 ≤ 3
cas de r1 = 1
L'équation (1) E + 2T + A = 10 a pour solutions (avec E T A tous différents et A et E non nuls) : E T A
9 0 1
8 0 2
7 0 3
6 0 4
4 0 6
3 0 7
2 0 8
1 0 9
6 1 2
5 1 3
3 1 5
2 1 6
5 2 1
1 2 5
o r1 = 1 et r2 = 1
L'équation (2) 3N + E + r1 = 10 r2 devient : 3N + E = 9
Elle n'a pour solutions que : N = 0, E = 9
N = 1, E = 6 N = 2, E = 3
Cela conduit à ne garder dans la liste ci-dessus1 que les solutions où E est multiple de 3 (mais non nul – voir tout au début), ce qui conduit au tableau suivant, que l'on a complété par une colonne N et dont on a supprimé les solutions où N dupliquait avec E, T ou A, ou bien où, soit A, soit E était nul.
En résumé donc, pour r1 = r2 = 1 :
E T A N
6 0 4 1
3 0 7 2
3 1 5 2
Le moment est venu d'introduire la 3ème colonne (de la droite). Elle conduit à l'équation : (3) I + 2E + A + r2 = 10 r3 + N
Or nous sommes dans le cas où r2 = 1. L'équation (3) se réécrit donc : I = 10 r3 + N – 2E – A – 1
L'expression Z = N – 2E – A – 1 peut être calculée pour chacune des lignes du tableau précédent, que l'on complètera en donnant les valeurs possibles de I et r3 tels que I = 10 r3 + Z
E T A N Z r3 I
6 0 4 1 -16 2 4
3 0 7 2 -12 2 8
3 1 5 2 -10 1 0
On voit qu'il faut supprimer la ligne 1 en raison du redoublement au sein des chiffres E T A N I.
1 est ainsi désignée pour tout le chapitre r1 = 1 la liste qui figure au début de ce chapitre
En résumé donc, pour r1 = r2 = 1 :
E T A N I
3 0 7 2 8
3 1 5 2 0
Aux fins de vérification et de poursuite éventuelle, insérons ces 2 solutions dans le cryptarithme complet.
ETANI = 30728
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit (avec toujours les retenues en haut en rouge) :
2 2 1 1
7 P H R O D 8 0 3
7 0 H 3 2 7
3 0
D 8 7 2 3
P O R 0 7 8 3 2 0
D 8 O P H 7 2 0 3
On constate :
- que les totaux des 3 colonnes de droite sont justes,
- que la 4ème colonne n'est possible qu'avec D = 4 et H = 5 ou vice-versa, - que la retenue r4 vaut nécessairement 2.
Mais alors, en 5ème colonne :
- si D = 4 et H = 5, il faut que O = 2, mais 2 est déjà pris par N - si D = 5 et H = 4, il faut que O = 0, mais 0 est déjà pris par T.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 30728.
ETANI = 31520
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit :
1 1 1 1
5 P H R O D 0 1 3
5 1 H 3 2 5
3 1
D 0 5 2 3
P O R 1 5 0 3 2 1
D 0 O P H 5 2 1 3
On constate :
- que les totaux des 3 colonnes de droite sont justes,
- que la 4ème colonne n'est possible qu'avec, non pas D+H = 4, car 0,1,2 3 sont déjà utilisés, mais D+H = 14, soit D = 6 et H = 8 ou vice-versa,
- que la retenue r4 vaut nécessairement 1.
Mais alors, en 9ème colonne :
- si D = 6, il faut qu'il n'y ait pas de retenue et que P = 1, qui est déjà pris par T - si D = 8, il faut que P = 1, 2 ou 3, selon la retenue et ces chiffres sont tous déjà pris.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 31520.
En résumé donc, il n'y a pas de solution pour r1 = r2 = 1.
On passe donc à :
o r1 = 1 et r2 = 2
L'équation (2) 3N + E + r1 = 10 r2 devient : 3N + E = 19
Elle n'a pour solutions que : N = 4, E = 7
N = 5, E = 4 N = 6, E = 1
Cela conduit à ne garder dans la "liste ci-dessus" que les solutions où E est un multiple de 3 + 1, ce qui conduit au tableau suivant, que l'on a complété par une colonne N.
En résumé donc, pour r1 = 1 et r2 = 2 :
E T A N
7 0 3 4
4 0 6 5
1 0 9 6
1 2 5 6
Si l'on introduit la 3ème colonne (de la droite), on a l'équation : (3) I + 2E + A + r2 = 10 r3 + N
Or nous sommes dans le cas où r2 = 2. L'équation (3) se réécrit donc : I = 10 r3 + N – 2E – A – 2.
L'expression Z = N – 2E – A – 2 peut être calculée pour chacune des lignes du tableau précédent, que l'on complètera en donnant les valeurs possibles de I et r3 tels que I = 10 r3 + Z
E T A N Z r3 I
7 0 3 4 -15 2 5
4 0 6 5 -11 2 9
1 0 9 6 -7 1 3
1 2 5 6 -3 1 7
On voit qu'il n'y a aucun redoublement au sein des chiffres E T A N I et l'on examinera donc les 4 solutions.
En résumé donc, pour r1 = 1 et r2 = 2 :
E T A N I
7 0 3 4 5
4 0 6 5 9
1 0 9 6 3
1 2 5 6 7
Aux fins de vérification et de poursuite éventuelle, insérons ces 4 solutions dans le cryptarithme complet.
ETANI = 70345
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit :
2 2 2 1
3 P H R O D 5 0 7
3 0 H 7 4 3
7 0
D 5 3 4 7
P O R 0 3 5 7 4 0
D 5 O P H 3 4 0 7
La 4ème colonne n'est possible qu'avec, non pas D+H = 1, car 0 est déjà utilisé, mais D+H = 11, ce qui n'est possible que sous la forme 11 = 2 + 9, car 3, 4, 5, 7 sont déjà utilisés.
Mais D est le total de la 9ème colonne et ne peut pas être égal à 2. A priori donc D = 9, H = 2 est possible. La 5ème colonne est alors possible avec O = 8 et le cryptarithme s'écrit :
2 2 2 2 1
3 P 2 R 8 9 5 0 7
3 0 2 7 4 3
7 0
9 5 3 4 7
P 8 R 0 3 5 7 4 0
9 5 8 P 2 3 4 0 7
Il ne reste que les chiffres 1 et 6 pour P et R.
En colonne 6, le couple [R=1; P=6] convient, mais en colonne 7, il faut alors R = 6 et en colonne 8 il faudrait P = 7, puis P = 9 en colonne 9.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 70345.
ETANI = 40659
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit :
2 2 1
A P H R O D 9 0 4
A 0 H 4 5 6
4 0
D 9 6 5 4
P O R 0 6 9 4 5 0
D I O P H 6 5 0 4
La 4ème colonne n'est possible qu'avec, non pas D+H = 6 ou 16. Un total 6 demande un 5 ou un 4, déjà utilisés. Un total 16 n'est possible que sous la forme 7+9 mais 9 est déjà utilisé.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 40659.
ETANI = 10963
Dans ce cas, inutile d'écrire le cryptarithme : la valeur A = 9 est incompatible avec la colonne 9 où r8 + A + P = D, sans retenue.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 10963.
ETANI = 12567
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit :
1 2 1
5 P H R O D 7 2 1
5 2 H 1 6 5
1 2
D 7 5 6 1
P O R 2 5 7 1 6 2
D I O P H 5 6 2 1
La 4ème colonne n'est possible qu'avec D+H = 10. Un total 10 de deux chiffres différents ne peut pas être réalisé sans utiliser aucun des chiffres 12567.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 12567.
En résumé donc, il n'y a pas de solution pour r1 = 1 r2 = 2.
On passe donc à :
o r1 = 1 et r2 = 3
L'équation (2) 3N + E + r1 = 10 r2 devient : 3N + E = 29
Elle n'a pour solutions que : N = 7, E = 8
N = 8, E = 5 N = 9, E = 2
Cela conduit à ne garder dans la "liste ci-dessus" que les solutions où E est un multiple de 3 + 2, ce qui conduit au tableau suivant, que l'on a complété par une colonne N.
E T A N
8 0 2 7
2 0 8 9
5 1 3 8
2 1 6 9
5 2 1 8
Si l'on introduit la 3ème colonne (de la droite), on a l'équation : (3) I + 2E + A + r2 = 10 r3 + N
Or nous sommes dans le cas où r2 = 3. L'équation (3) se réécrit donc : I = 10 r3 + N – 2E – A – 3.
L'expression Z = N – 2E – A – 3 peut être calculée pour chacune des lignes du tableau précédent, que l'on complètera en donnant les valeurs possibles de I et r3 tels que I = 10 r3 + Z.
E T A N Z r3 I
8 0 2 7 -14 2 6
2 0 8 9 -6 1 4
5 1 3 8 -8 1 2
2 1 6 9 -4 1 6
5 2 1 8 -6 1 4
On voit qu'il faut supprimer la ligne 4 en raison du redoublement au sein des chiffres E T A N I.
En résumé donc, pour r1 = 1 et r2 = 3 : E T A N I
8 0 2 7 6
2 0 8 9 4
5 1 3 8 2
5 2 1 8 4
ETANI = 80276
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit :
2 2 3 1
2 P H R O D 6 0 8
2 0 H 8 7 2
8 0
D 6 2 7 8
P O R 0 2 6 8 7 0
D 6 O P H 2 7 0 8
La 4ème colonne n'est possible qu'avec D+H = 8, ce qui donnera une retenue r4= 2. Un total 8 de deux chiffres différents ne peut être réalisé qu'avec les chiffres non utilisés 3 et 5. Ces deux valeurs de D sont théoriquement possibles au titre de la colonne 9.
Or la colonne 5 donne : O + D + 4 = H + 10 r5
Si D = 3 et H = 5, ce n'est possible qu'avec O = 8 mais 8 est déjà pris.
Si D = 5 et H = 3, c'est possible avec O = 4 et le cryptarithme devient :
1 2 2 3 1
2 P 3 R 4 5 6 0 8
2 0 3 8 7 2
8 0
5 6 2 7 8
P 4 R 0 2 6 8 7 0
5 6 4 P 3 2 7 0 8
Restent alors disponibles les chiffres 1 et 9 pour P et R, ce qui est impossible.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 80276.
ETANI = 20894
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit :
1 1 3 1
8 P H R O D 4 0 2
8 0 H 2 9 8
2 0
D 4 8 9 2
P O R 0 8 4 2 9 0
19 30 12
D 4 O P H 8 9 0 2
La 4ème colonne n'est possible qu'avec D+H = 9, ce qui donnera une retenue r4= 1. Un total 9 de deux chiffres différents ne peut être réalisé qu'avec les chiffres non utilisés 3 et 6. Aucune de ces valeurs de D n'est possible au titre de la colonne 9.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 20894.
ETANI = 51382
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit :
1 1 3 1
3 P H R O D 2 1 5
3 1 H 5 8 3
5 1
D 2 3 8 5
P O R 1 3 2 5 8 1
D 2 O P H 3 8 1 5
La 4ème colonne n'est possible qu'avec D+H = 8, ce qui donnera une retenue r4= 1. Un total 8 de deux chiffres différents ne peut être réalisé avec aucun des chiffres non utilisés.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 51382.
ETANI = 52184
Dans ce cas, le cryptarithme s'écrit :
1 3 1
1 P H R O D 4 2 5
1 2 H 5 8 1
5 2
D 4 1 8 5
P O R 2 1 4 5 8 2
D 4 O P H 1 8 2 5
La 4ème colonne n'est possible qu'avec D+H = 2 ou 12.
Un total 2 de deux chiffres différents demanderait un 2, déjà utilisé.
Un total 12 de deux chiffres différents non utilisés n'est possible qu'avec 3 et 9. D = 3 ne serait possible qu'avec P = 2, déjà utilisé. Reste à examiner H =3; D = 9.
Or la colonne 5 donne alors : O + 14 = 3 + 10 r5
ce qui n'est possible que pour O = 9, déjà utilisé par D, par hypothèse.
Il n'y a donc pas de solution pour ETANI = 52184.
Mais cette 4ème solution est la dernière pour r1 = 1 et r2 = 3.
Il n'y a donc pas de solution pour r1 = 1 et r2 = 3.
En outre r2 ≤ 3.
Il n'y a donc pas de solution non plus pour r1 = 1.
Il faut donc passer à r1 = 2.
cas de r1 = 2
L'équation (1) E + 2T + A = 20 a pour solutions (avec A E T différents et A et E non nuls) : E T A
7 2 9
9 2 7
6 3 8
8 3 6
5 3 9
9 3 5
3 4 9
9 4 3
5 4 7
7 4 5
1 5 9
9 5 1
2 5 8
8 5 2
3 5 7
7 5 3
4 5 6
6 5 4
1 6 7
7 6 1
3 6 5
5 6 3
1 7 5
5 7 1
2 7 4
4 7 2
1 8 3
3 8 1
o r1 = 2 et r2 = 1
L'équation (2) 3N + E + r1 = 10 r2 devient : 3N + E = 8
Elle n'a pour solutions que :
N = 0, E = 8 N = 1, E = 5
N = 2, E = 2 (ce cas étant impossible en raison de la duplication).
Cela conduit à ne garder dans la liste ci-dessus2 que les solutions où E est égal à 5 ou 8, ce qui conduit au tableau suivant, que l'on a complété par une colonne N et dont on a supprimé les solutions où N dupliquait avec E, T ou A.
En résumé donc, pour r1 = 2; r2 = 1 : E T A N
8 3 6 0
5 3 9 1
5 4 7 1
8 5 2 0
5 6 3 1
Si l'on introduit la 3ème colonne (de la droite), on a l'équation : (3) I + 2E + A + r2 = 10 r3 + N
Or nous sommes dans un cas où r2 = 1. L'équation (3) se réécrit donc : I = 10 r3 + N – 2E – A – 1.
L'expression Z = N – 2E – A – 1 peut être calculée pour chacune des lignes du tableau précédent, que l'on complète en donnant les valeurs possibles de I et r3 tels que I = 10 r3 + Z. On supprime naturellement les lignes comportant des duplications et l'on aboutit, pour r1 = 2; r2 = 1, à un tableau donnant E T A N I, que nous compléterons désormais (pour abréger les raisonnements) par le calcul de la somme (D+H) qui intervient dans la colonne 4.
En effet, dans la colonne 4, on a (dès lors que r3 est connu) : (4) r3 + (D+H) + 2I = A + 10 r4.
Bien que r4 ne soit pas encore connu, on peut à tout le moins calculer (D+H)10 et en déduire la (ou les) valeur(s) possible(s) de (D+H) (qui doit être compris entre 1 et 17). On en profitera pour expliciter dans ce même tableau la valeur de la retenue r4 dans chaque cas.
Le tableau auquel on aboutit, pour r1 = 2; r2 = 1 est :
E T A N Z r3 I (D+H)10 (D+H) r4
8 3 6 0 -23 3 7 -11 9 2
5 4 7 1 -17 2 3 -1 9 1
8 5 2 0 -19 2 1 -2 8 1
5 6 3 1 -13 2 7 -13 7 2
5 6 3 1 -13 2 7 -13 17 3
On notera que, pour ETANI = 56317, il y a deux valeurs possibles (a priori) de la somme (D+H).
2 est ainsi désignée pour tout le chapitre r1 = 2 la liste qui figure au début de ce chapitre
Faisons une vérification avec :
ETANI = 83607
Le cryptarithme s'écrit :
2 3 1 2
6 P H R O D 7 3 8
6 3 H 8 0 6
8 3
D 7 6 0 8
P O R 3 6 7 8 0 3
D I O P H 6 0 3 8
On constate :
- que les additions des 3 premières colonnes sont justes, - que la colonne 4 implique bien (D+H) = 9
- que r4 est bien égal à 2.
Poursuivant la recherche de solutions pour ETANI = 83607, on remarque que, comme D doit être
≥ 7 au titre de la colonne 9, (D+H) = 9 ne peut être réalisé qu'avec D = 9, H = 0, puisque le 7 et le 8 sont déjà pris.
Or la colonne 5 donne :
O + D + 11 = H mod. 10 Avec D = 9, H = 0, cela implique :
O + 9 + 11 = 0 mod. 10 donc O = 0 mais le 0 est déjà pris par N.
Il n'y a donc pas de solutions pour ETANI = 83607.
ETANI = 54713
On a vu que, dans ce cas, (D+H) = 9.
Le raisonnement est voisin du précédent.
Comme D doit être ≥ 7 au titre de la colonne 9, (D+H) = 9 ne peut être réalisé qu'avec D = 9, H = 0, car le 1 et le 7 sont déjà pris.
Or la colonne 5 donne :
r4 + O + T + D + A = H mod. 10 Soit ici :
1 + O + 4 + 9 + 7 = 0 mod. 10
ce qui n'est possible qu'avec O = 9, mais 9 est déjà pris.
Il n'y a donc pas de solutions pour ETANI = 54713.
ETANI = 85201
On a vu que, dans ce cas, (D+H) = 8.
Comme D doit être ≥ A au titre de la colonne 9 et que A = 2, (D+H) = 8 ne peut être réalisé qu'avec :
D = 8, H = 0 D = 7, H = 1
D = 6, H = 2 ou vice-versa D = 5, H = 3 ou vice-versa.
Chacune de ces options comporte au moins un chiffre déjà pris.
Il n'y a donc pas de solutions pour ETANI = 85201.
ETANI = 56317
On a vu que, dans ce cas, (D+H) = 7 ou 17.
Comme D doit être ≥ A au titre de la colonne 9 et que A = 3, (D+H) = 7 ne peut être réalisé qu'avec :
D = 7, H = 0 D = 6, H = 1 D = 5, H = 2 D = 4, H = 3 D = 3, H = 4
Chacune de ces options comporte au moins un chiffre déjà pris.
Quant à (D+H) = 17, il ne peut être réalisé qu'avec : D = 9, H = 8
D = 8, H = 9 Or la colonne 5 donne :
r4 + O + T + D + A = H mod. 10 Soit ici :
3 + O + 6 + D + 3 = H mod. 10 soit :
O + D = H + 8 mod. 10 Si D = 9 et H = 8, cela implique :
O + 9 = 16 mod. 10
donc O = 7, ce qui est impossible car le 7 est déjà pris.
Si D = 8 et H = 9, cela implique : O + 8 = 17 mod. 10
donc O = 9, ce qui est impossible car le 9 est déjà pris par H dans ce cas.
Il n'y a donc pas de solutions pour ETANI = 56317.
Il faut donc passer à : o r1 = 2 et r2 = 2
L'équation (2) 3N + E + r1 = 10 r2 devient : 3N + E = 18
Elle n'a pour solutions que : N = 3, E = 9
N = 4, E = 6 N = 5, E = 3
Cela conduit à ne garder dans la "liste ci-dessus" que les solutions où E est un multiple de 3 (non nul), ce qui conduit au tableau suivant, que l'on complété par une colonne N et dont on a
supprimé les solutions où N dupliquait avec E, T ou A.
En résumé donc, pour r1 = r2 = 2 : E T A N
9 2 7 3
6 3 8 4
3 4 9 5
9 5 1 3
3 8 1 5
Si l'on introduit la 3ème colonne (de la droite), on a l'équation : (3) I + 2E + A + r2 = 10 r3 + N
Or nous sommes dans un cas où r2 = 2. L'équation (3) se réécrit donc : I = 10 r3 + N – 2E – A – 2.
L'expression Z = N – 2E – A – 2 peut être calculée pour chacune des lignes du tableau précédent, que l'on complète en donnant les valeurs possibles de I et r3 tels que I = 10 r3 + Z. On supprime naturellement les lignes comportant des duplications et l'on aboutit, pour r1 = 2; r2 = 2, à un tableau donnant E T A N I, ainsi que la somme (D+H) qui intervient dans la colonne 4 par :
(4) r3 + (D+H) + 2I = A + 10 r4.
Le tableau auquel on aboutit, pour r1 = 2; r2 = 2 est :
E T A N Z r3 I (D+H)10 (D+H) r4
9 2 7 3 -24 3 6 -8 12 2
9 2 7 3 -24 3 6 -8 2 1
6 3 8 4 -18 2 2 2 2 0
6 3 8 4 -18 2 2 2 12 1
3 4 9 5 -12 2 8 -9 1 1
3 4 9 5 -12 2 8 -9 11 2
9 5 1 3 -18 2 2 -5 5 1
9 5 1 3 -18 2 2 -5 15 2
ETANI = 92736 Dans ce cas, (D+H) = 2 ou 12.
Comme D doit être ≥ A au titre de la colonne 9 et que A = 7, (D+H) = 2 ne peut pas être réalisé et (D+H) = 12 ne peut l'être qu'avec :
D = 9, H = 3 D = 8, H = 4 D = 7, H = 5
Seule la seconde option est possible sans duplication.
Or la colonne 5 donne :
r4 + O + T + D + A = H mod. 10 Soit ici :
2 + O + 2 + 8 + 7 = 4 mod. 10 Donc : O = 5.
On arrive donc à : ETANIDHO = 92736845. Il ne reste que les valeurs 0 et 1 pour P et R. Or P ne peut être nul.
Seule solution donc : P = 1, R = 0.
Cette solution est acceptable et donne :
7 1 4 0 5 8 6 2 9 7 2 4 9 3 7 9 2 8 6 7 3 9 1 5 0 2 7 6 9 3 2 8 6 5 1 4 7 3 2 9
La démarche s'étant avérée particulièrement laborieuse, nous ne rechercherons pas s'il y a d'éventuelles autres solutions.
