C220. Les colonnes du temple
Cryptarithme proposé par Raymond Bloch
On pose la multiplication de deux entiers A à 4 chiffres et B à deux chiffres. Sur les lignes L1 à L5 figurent respectivement A, B, les résultats des deux
multiplications intermédiaires et le résultat final de la multiplication A x B.
Sachant que la somme des chiffres d'une même colonne sur les cinq lignes est toujours égale à 17, déterminer A et B.
Pour les plus courageux.
Existe-t-il d'autres couples d'entiers A à 4 chiffres et B à 2 chiffres qui donnent lieu à la même représentation des lignes L1 à L5 telles que la somme des chiffres d'une même colonne est toujours la même?
Solution de Raymond Bloch.
Donnons à chacun des 5 nombres le nom de la ligne qu’il occupe, et ajoutons un zéro imaginaire à la droite de L4. Ainsi L3 + L4 = L5 = L1*L2, en plaçant un zéro à la place du blanc à la droite de L4, et la somme S des 5 lignes est
S = L1 + L2 + 2*L1*L2 .
Mais on a aussi S = 17 (104+103+102+10+1) = 17*11111 = 188887, ou
L1 = 377.775/2(2L2+1) - 1/2.
Comme 10 ≤ L2 ≤ 99, les seules valeurs possibles pour 2L2+1 sont les diviseurs impairs de 377.775 compris entre 21 et 199, à savoir 23, 25, 45, 69, 73 et 75, conduisant à une valeur de L1 ayant 4 chiffres, et à une somme des chiffres de chaque colonne égale à 17. L’unique solution est obtenue pour L1=2587 et
L2=36 :
L1 2 5 8 7
L2 x 3 6
L3 1 5 5 2 2
L4 7 7 6 1 . L5 9 3 1 3 2
avec la somme des chiffres de chaque colonne égale à 17.
