C10496. Cryptarithme gaélique
Retrouvez le chiffre représenté par chaque lettre dans les mots suivants, sachant que SEACHT est un nombre premier, OCHT est un cube, NAOI est un carré et DEICH est une somme de deux carrés (ces quatre mots désignent respectivement, en gaélique, sept, huit, neuf et dix).
Solution
Comme SEACHT est premier, T est impair et OCHT est le cube d’un impair, de 11 à 21 à cause des 4 chiffres, ni 11 ni 15 car les 4 chiffres sont distincts.
Si OCHT est 133 = 2197 ou 173 = 4913, CH est 19 ou 91 et DEICH aurait un reste 3 modulo 4, et ne serait pas somme de deux carrés. Si OCHT est 213 = 9261, O est impair et dans le carré NAOI, I serait 6 comme H, c’est exclu. Ainsi OCHT est 193 = 6859.
Comme O est pair, dans un carré finissant par OI, I est 1, 4, ou 9, mais 9 est T. Le carré NAOI finit par 61 ou 64. Ce peut être 1764, 4761, 3364, 6561 ou 8464, mais les trois derniers n’ont pas 4 chiffres distincts. Ainsi NAOI est 4761 ou 1764, A est 7, 1 et 4 sont l’un N et l’autre I.
0 ne peut être S ni D, premiers chiffres de SEACHT et DEICH, c’est donc E.
S est 2 ou 3, SEACHT est 307859, premier, et non 207859 = 17×12227, donc S est 3 et D est 2.
DEICH est 20485 ou 20185 = 5×11×367, qui n’est pas somme de deux carrés à cause des facteurs 11 et 367, d’exposant impair et de reste 3 modulo 4, à la différence de 20485 = 5×17×241. Donc I est 4 et N est 1.
Finalement,
SEACHT est 307859, premier, OCHT est 6859 = 193,
NAOI est 1764 = 422,
DEICH est 20485, somme de deux carrés (de 4 façons : 1432+ 62, 1292+ 622, 1272+ 662, 1182+ 812).
