DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : COURS CORRIGE
OBJECTIFS : Connaître la définition du nombre dérivé en x0. Savoir utiliser les fonctions dérivées usuelles.
Savoir appliquer à l'étude du sens de variation d'une fonction.
ACTIVITE 1 : Utilité de la dérivée.
Le directeur d'un magasin détermine que son bénéfice B(q) en milliers d'euros en fonction du nombre q d'articles vendus en milliers est : B(q) = -q2 + 80q – 200
Sachant qu'il vend entre 20 000 et 60 000 articles, il désire déterminer le nombre d'articles à vendre qui lui permettra de réaliser un bénéfice maximum.
1) Compléter le tableau ci-contre.
2) A priori, combien d'articles doit-il vendre
? En est-on sûr ?
40 mais pas sur car ce pourrait être entre 35 et 45 ACTIVITE 2 : Recherche du nombre dérivé.
x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) 9 6.25 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9
u(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Après avoir complété le tableau de valeurs, tracer les fonctions f(x) = x2 et u(x) = 2x – 1 sur l'intervalle [-3 ; 3] sur le papier millimétré ci-contre.
Echelle : Abscisses : 2 cm pour 1 unité Ordonnées : 1 cm pour 1 unité.
Que constatez-vous ?
Graphiquement, les fonctions f et u ont 1 seul point d'intersection qui est le point A d'abscisses x = 1. Comme il n'y a qu'un seul point de contact, on dit que la droite d'équation y = 2x – 1 est tangente à la courbe C en ce point. Le coefficient directeur de la droite est 2.
I) LE NOMBRE DERIVE.
PAR DEFINITION, le nombre dérivé de la fonction f au point d'abscisse x0 = 1 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C en x0 = 1.
Il est noté f '(1) et vaut 2 ici.
ACTIVITE 3 : Recherche de la fonction dérivée.
Tracer sur le papier millimétré dans d'autres couleurs sur l'intervalle [0 ; 2] les fonctions g(x) = 0,4x2 et v(x) = 0,8x – 0,4 puis les fonctions h(x) = 2x2 et w(x) = 4x - 2
Que constatez-vous ?v(x) tangente à g(x) en x = 1 ; g '(1) = 0,8 ; w(x) tangente à h(x) en x = 1 ; h '(1) = 4 q (en milliers) 20 25 30 35 40 45 50 55 60
B(q) (en milliers) 1000 1175 1300 1375 1400 1375 1300 1175 1000
f(x) = x2
u(x) = 2x - 1
g(x) = 0,4x2
v(x) = 0,8x – 0,4 h(x) = 2x2
w(x) = 4x - 2
DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : COURS CORRIGE
II) LA FONCTION DERIVEE.
1) Calcul des dérivées.
On aurait pu calculer le nombre dérivé grâce au tableau ci-contre : Si f(x) = x2 alors f '(x) = 2x et f '(1) = 2
Si g(x) = 0,4x2 alors g'(x) = 0,8x et g'(1) = 0,8 Si h(x) = 2x2 alors h'(x) = 4x et h'(1) = 4
2) Opérations sur les dérivées.
La fonction f(x) + g(x) a pour dérivée f '(x) + g'(x) La fonction kf(x) a pour dérivée kf '(x)
3) Exemples.
Calculer les dérivées des fonctions f(x) = 3x2 – 5x +4 f '(x) = 6x - 5
g(x) = 4x3 – 7x2 + 2x – 3 g'(x) = 12x2 – 14x + 2 h(x) = 3
x + 4x2 h'(x) = -3 x2 + 8x
Fonction f ax + b x2 x3 1 x Dérivée f ' a 2x 3x2 -1
x2
