D10187. Projections ´ equidistantes
SoitABCDun quadrilat`ere convexe inscriptible. Le pointDse projette or- thogonalement enP, Q, Rsur les cˆot´esBC, CA, ABrespectivement. Montrer queP Q=QR si et seulement si les bissectrices des anglesABCd etADCd se coupent surAC.
Solution
Les points P etQ appartiennent au cercle de diam`etre CD. Ainsi (loi des sinus dans le triangleP CQ) P Q=CDsinACB. Sid r est le rayon du cercle circonscrit au triangleABC, on a AB= 2rsinACBd etP Q.2r=AB.CD.
On obtient de mˆeme QR.2r =AD.BC.
Si P Q = QR, on a AB.CD = AD.BC et BA/BC = DA/DC. Ces deux derniers rapports sont ceux selon lesquels le segmentAC est partag´e par les bissectrices des anglesABCd etADC. S’ils sont ´d egaux, les deux bissectrices coupent AC au mˆeme point, et r´eciproquement.
Remarques.
1) Comme les points P, Q, R sont align´es sur la droite de Simson, Q est milieu de P Rdans la configuration de l’´enonc´e.
2) Quatre propri´et´es sont ´equivalentes pour un quadrilat`ere inscriptible convexe, comme l’´etablit Jean-Nicolas Pasquay :
– le produit de deux cˆot´es oppos´es est ´egal au produit des deux autres cˆot´es ; – sur la droite de Simson d’un sommet par rapport au triangle form´e par les autres sommets, les cˆot´es de ce triangle d´ecoupent deux segments ´egaux ; – les bissectrices des angles de deux sommets oppos´es se coupent sur la dia- gonale joignant les deux autres sommets ;
– les diagonales du quadrilat`ere sont conjugu´ees par rapport au cercle cir- conscrit.
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