A378− Beaux,superbes et magnifique [*** à la main]
On considère l’ensemble (E) des entiers de neuf chiffres distincts écrits avec tous les chiffres de 1 à 9.
Q₁ Un élément de (E) est dit « beau » s’il est divisible par 37.
Démontrer sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 1200 beaux entiers.
Q₂ Un élément de (E) est dit « superbe » s’il est divisible à la fois par 7, par 11 et par 13.
Démontrer toujours sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 320 superbes entiers.
Q₃ Un élément de (E) est dit « magnifique » s’il est divisible par un nombre premier de neuf chiffres.
Déterminer le plus grand entier magnifique.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁
Par hypothèse, tout entier N = 9-pandigital « beau » est divisible par 37.
On écrit N = 10⁶a + 10³b + c = = 999*(1001a + b) + (a + b + c) avec a,b,c entiers de 3 chiffres dont tous les chiffres sont distincts (entre 1 et 9).
Comme 1 + 2 + …+ 9 = 45, on peut établir une partition des chiffres 1,2,…,9 en trois triplets qui ont une somme commune égale à 15 ;par exemple (1,5,9), (2,6,7) et (3,4,8).
On place les trois chiffres du premier triplet en premières positions des entiers a,b et c , puis les trois chiffres du second triplet en secondes positions de ces mêmes entiers et enfin les chiffres du troisième triplet en dernières positions.
Il en résulte que a + b + c = 15*111 = 45*37. Comme 999 = 37*27 et 111=37*3, un entier « beau » construit de cette manière est divisible par 37.
Il ya six façons de placer les chiffres d’un triplet dans une certaine position de a,b et c et pour chaque triplet, il y a six permutations possibles des chiffres qui le composent. Au total il y a donc 63*6 = 1296 entiers
« beaux » divisibles par 37.Or 1296 > 1200. Les conditions de l’énoncé sont satisfaites.
Nota : le nombre total d’entiers « beaux » divisibles par 37 est égal à 89712, nombre bien supérieur au nombre d’entiers « beaux » construits avec les seuls triplets de somme égale à 15.
Q₂
Par hypothèse, tout entier N = 9-pandigital « superbe » est divisible par 7*11*13 = 1001.
On écrit N = 10⁶a + 10³c + b avec a,b,c entiers de 3 chiffres dont tous les chiffres sont distincts (entre 1 et 9) tels que a + b = c et N = 1001*(103a + b)
Il y a 336 triplets (a,b,c) tels que a + b = c avec leurs 9 chiffres tous distincts.
Justification : comme somme des chiffres de a,b et c = 0 modulo 9, on a également somme des chiffres de c
= 0 modulo 9. Les valeurs possibles de c sont alors : -1er chiffre 4 :459,468,486,495
-1er chiffre 5 : 549,567,576,594
-1er chiffre 6 : 639,648,657,675,684,693 -1er chiffre 7 : 729,738,783,792
-1er chiffre 8 : 819,837,846,864,873,891
-1er chiffre 9 : 918,927,936,945,954,963,972,981
Le tableau ci-après donne les 168 couples (a,b), a < b, pour chacune des valeurs possibles de c. A chacune d’elles, correspondent 4 ou 8 couples (a,b) dont un sur deux obtenu par interversion de deux chiffres entre a et b.
Il y a 168 couples (a,b) avec a < b. Donc 336 au total pour a < b et a > b.Comme 336 > 320, les conditions de l’énoncé sont satisfaites.
Q₃ Tout entier 9-pandigital est divisible par 9. Le plus grand nombre premier qui divise un entier 9- pandigital est donc inférieur ou égal à M = 987635421/9 = 109739369.
Sa recherche avec le logiciel Factoris est très rapide car M ₋ 10 est premier.
Il s’agit de 109739359 = 987654231/9.
L’entier magnifique recherché est donc égal à 987654231
