A378− Beaux,superbes et magnifique [*** à la main]
On considère l’ensemble (E) des entiers de neuf chiffres distincts écrits avec tous les chiffres de 1 à 9.
Q₁ Un élément de (E) est dit « beau » s’il est divisible par 37.
Démontrer sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 1200 beaux entiers.
Q₂ Un élément de (E) est dit « superbe » s’il est divisible à la fois par 7, par 11 et par 13.
Démontrer toujours sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 320 superbes entiers.
Q₃ Un élément de (E) est dit « magnifique » s’il est divisible par un nombre premier de neuf chiffres.
Déterminer le plus grand entier magnifique.
Solution proposée par Daniel Collignon
Remarque : Les nombres de E sont divisibles par 9 car la somme de leurs chiffres vaut 1+…+9=45.
Q1
En particulier, un élément beau est divisible par 111=3*37.
Rappelons le critère de divisibilité par 111 : abcdefghi est divisible par 111 ssi abc+def+ghi=0 l'est aussi.
Ce critère fonctionne car 10^3=1 (mod 111).
Cherchons à résoudre abc+def+ghi=1665 avec c+f+i=b+e+h=a+d+g=15.
Par exemple 9+4+2=8+6+1=7+5+3 ou 9+5+1=8+4+3=7+6+2.
abc +def +ghi ---- 1665
Avec une telle solution, nous pouvons générer d'autres nombres beaux par permutation des chiffres au sein d'une même colonne, cela étant vrai indépendamment pour chaque colonne, et par permutation des colonnes : cela permet ainsi de générer (3!)^4=1296.
Ainsi nous venons de montrer qu'il y a au moins 2592 nombres beaux
Q2
7*11*13=1001
Rappelons le critère de divisibilité par 1001 : abcdefghi est divisible par 1001 ssi abc+def+ghi=0 l'est aussi.
Ce critère fonctionne car 10^3=-1 (mod 1001) et 10^6=1 (mod 1001) Q2
7*11*13=1001
Rappelons le critère de divisibilité par 1001 : abcdefghi est divisible par 1001 ssi abc-def+ghi=0 l'est aussi.
Ce critère fonctionne car 10^3=-1 (mod 1001) et 10^6=1 (mod 1001)
Nous cherchons les solutions abc
+ghi ---- def
telles que : c+i=f b+h=e+10 1+a+g=d
Avec une telle solution, nous pouvons générer d'autres nombres superbes par permutation des chiffres des nombres "+" au sein d'une même colonne, cela étant vrai indépendamment pour chaque colonne, et en plaçant la colonne de droite complètement à gauche (cab+igh=fde) : cela permet ainsi de générer 2^4=16.
Avec 20 solutions (trouvées à la main, en exploitant e+f+g=18, mais présentées triées à l'aide d'un tableur), nous montrons l'existence d'au moins 320 nombres superbes.
a b c d e f g h i
1 4 2 7 3 8 5 9 6
1 4 2 8 3 7 6 9 5
1 4 3 7 2 9 5 8 6
1 5 2 6 3 9 4 8 7
1 5 2 9 3 6 7 8 4
1 6 2 5 4 9 3 8 7
1 6 2 9 4 5 7 8 3
1 7 3 4 5 9 2 8 6
1 7 3 4 6 8 2 9 5
1 8 2 5 7 6 3 9 4
1 8 2 6 7 5 4 9 3
2 4 3 8 1 9 5 7 6
2 4 3 9 1 8 6 7 5
2 5 1 6 4 8 3 9 7
2 7 1 8 6 4 5 9 3
2 7 1 9 5 4 6 8 3
2 8 1 6 7 5 3 9 4
3 4 1 9 2 7 5 8 6
3 4 2 9 1 8 5 7 6
3 5 2 8 1 9 4 6 7
Q3 Le nombre magnifique est égal à 987654231 avec =987654231 = 3^2*109739359 et 109739359 est un nombre premier
