A378. Beaux, superbes et magnifique
Q1/ Beaux
Tout nombre compos´e des9chiffres de1`a9est divisible par9.
Tout nombre beau est divisible par 9×37 = 333.
Comme1.000.000≡ 1mod333, et1.000≡1mod333,
B=a1b1c1.a2b2c2.a3b3c3≡a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3mod333.
Les combinaisons dea1b1c1, a2b2c2, a3b3c3 qui conviennent ont une somme allant de3×333`a 7×333et fournissent chacune 63 = 216nombres beaux car on peut permuter ind´ependamment les a entre eux, ou les b, ou les csans modifier la somme, qu’il y ait ou non des retenues.
Avec une somme de5×333 = 1.665, on trouve12combinaisons (des permu- tations des mˆemes chiffres), soit2.592nombres beaux :
123 123 132 132 213 213 231 231 312 312 321 321 564 645 546 654 465 654 456 645 456 564 465 546 978 897 987 879 987 798 978 789 897 789 879 798 Pour arriver `a 3.200nombres beaux, on fait appel `a3combinaisons de somme 999, portant le total `a3.240:
134 134 143 267 276 267 598 589 589
Q2/ Superbes
Tout nombre superbe est divisible par9et par7×11×13 = 1.001.
Comme1.000.000≡ 1mod1.001, et1.000≡ −1mod1.001, B=a1b1c1.a2b2c2.a3b3c3≡a1b1c1−a2b2c2+a3b3c3mod1.001.
Ici, il ne peut y avoir de permutations qu’entrea1et a3, oub1et b3, ouc1et c3, soit 8nombres superbes par combinaison. On a donc besoin d’au moins40 combinaisons.
On en trouve 42(´evidemment `a la main!) dont la somme de contrˆole est0:
1
124 142 142 214 214 241 783 738 837 783 873 837 659 596 695 569 659 596 125 152 152 215 215 251 864 639 936 693 963 648 739 487 784 478 748 397 162 162 216 216
549 945 594 954 387 783 378 738 127 127 271 271 486 495 864 954 359 368 593 683
128 182 182 218 218 281 567 576 675 567 657 675 439 394 493 349 439 394 134 143 314 341
792 729 972 927 658 586 658 586 173 173 317 317 459 468 846 945 286 295 529 628
234 243 243 324 324 342 891 819 918 891 981 918 657 576 675 567 657 576 235 352
981 819 746 467
Q3/ Magnifique
Le plus grand nombre deE est987.654.321.
Commen¸cant avec cette valeur, on teste la primalit´e du quotient par 9, et en cas d’´echec, on effectue une permutation des chiffres. Heureusement, on n’a pas besoin d’aller bien loin :
987.654.321 = 9×109.769.369 = 172×379.721 987.654.312 = 9×109.739.368 = 23×3.607×3.803
987.654.213 = 9×109.739.359et ce dernier nombre est premier.
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