Diophante A378 Beaux, superbes et magnifques
On considère l’ensemble (E) des enters de neuf chifres distncts sans zéro.
Q1 Un élément de (E) est dit « beau » s’il est divisible par 37.
Démontrer sans l’aide d’un quelconque automate que (E) content au moins 1200 beaux enters.
Q2 Un élément de (E) est dit « superbe » s’il est divisible à la fois par 7, par 11 et par 13.
Démontrer toujours sans l’aide d’un quelconque automate que (E) content au moins 320 superbes enters.
Q3 Un élément de (E) est dit « magnifque » s’il est divisible par un nombre premier de neuf chifres. Déterminer le plus grand enter magnifque.
Q1 Soit abcdefghi un élément de (E).
Il est beau si, et seulement si, -11(a+d+g) + 10(b+e+h) + (c+f+i) Ξ 0 [37] (111 = 3 x 37).
Comme les trois chifres entre la même parenthèse peuvent être permutés, et comme la somme des neuf chifres est 45, le cardinal de (E) est 63 fois le nombre des solutons de (a+d+g) Ξ 26(c+f+i) + 32 [37] et (b+e+h) Ξ 10(c+f+i) + 13 [37], où a > d > g, b > e > h et c > f > i.
Dans le tableau suivant, lorsque trois lignes des trois colonnes à gauche correspondent à une seule ligne de la colonne à droite, seule la décompositon de la première des trois lignes est donnée, et, sur la ligne du milieu, les deux solutons devront être multpliées par 6
(permutaton des trois parenthèses) : (a+d+g) (b+e+h) (c+f+i)
18 19 8
963 874 521 - 873 964 521 - 864 973 521 972 865 431 - 765 982 431
19 8 18
8 18 19
15 15 15 951 843 762 - 942 861 753
22 12 11
976 543 821 - 985 642 731 - 985 732 641 985 741 632 - 976 831 542
11 22 12
12 11 22
(E) content exactement 63 x {3 x 5 + 6 x 2 + 3 x 5} = 9072 beaux enters (donc au moins 1200).
Q2 7 x 11 x 13 = 1001. Le cryptarithme abc + ghi = def, où le chifre zéro est interdit, a exactement 336 solutons. abcdefghi est un élément de (E).
abcdefghi = 1000000abc + 1000def + ghi = 1001000abc + 1001ghi est un nombre superbe.
(E) content au moins 336 superbes enters (donc au moins 320).
Q3 Tout élément de (E) étant divisible par 9, il est magnifque si, et seulement si, il est égal à 9 fois un nombre premier de 9 chifres. En commençant par 987654321, le plus grand élément de (E), le troisième essai est concluant (109739369 est divisible par 17, le suivant est pair). 9 x 109739359 (premier) = 987654231 est le plus grand enter magnifque.
Jean-Louis Legrand
