On considère l’ensemble (E) des entiers de neuf chiffres distincts sans zéro.
Q₁ Un élément de (E) est dit « beau » s’il est divisible par 37.
Démontrer sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 1200 beaux entiers.
Q₂ Un élément de (E) est dit « superbe » s’il est divisible à la fois par 7, par 11 et par 13.
Démontrer toujours sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 320 superbes entiers.
Q₃ Un élément de (E) est dit « magnifique » s’il est divisible par un nombre premier de neuf chiffres. Déterminer le plus grand entier magnifique.
Les éléments de (E), s’écrivant comme une permutation des chiffres de 123456789, donc ayant une somme des chiffres égale à 45, sont tous divisibles par 9.
(a, b, c, d, e, f, g, h, i) étant une permutation des chiffres de 1 à 9, nous noterons abcdefghi le nombre a*108+...+h*10+i, abc le nombre 100a+10b+c, etc...
Q1 : 37*9=333 : tout élément de (E) divisible par 37 est divisible par 333. Comme 1000=999+1=3*333+1 ; abcdefghi=100(a+d+g)+10(b+e+h)+(c+f+i) (mod 333) : en particulier, abcdefghi=0 (mod 333) si a+d+g=b+e+h=c+f+i=15.
Il y a, aux permutations près, deux façons d’obtenir trois ensembles de sommes égales (à 15) : 9+5+1=8+4+3=7+6+2 et 9+4+2=8+6+1=7+5+3. Il y a six façons de
classer ces ensembles, et six façons de classer les éléments de ces ensembles : on obtient ainsi 2*64=2592 beaux entiers.
Q2 : 7*11*13=1001 : en particulier, abcdefghi sera divisible par 1001 si def=abc+ghi On a alors d=a+g, e=b+h+1, f=c+i+1 (soit ef=bc+hi), ou f=c+i, de=ab+gh : à chaque solution du second système correspond une du premier, et les couples (a, g), (b, h) et (c, i) peuvent être inversés : avec un peu de patience, on peut obtenir les 20 décompositions ci-dessous, qui engendrent donc 16*20=320 entiers superbes : 9=6+3 : 81=54+27, 72=58+14, 45=28+17 ; 9=7+2 : 81=45+36, 63=48+15, 54=38+16 8=7+1 : 64=39+25 ; 8=6+2 : 91=57+34, 73=59+14 ; 8=5+3 : 91=67+24, 46=29+17 7=6+1 : 92=58+34, 83=39+24 ; 7=5+2 : 63=69+14 ; 6=4+2 : 93=78+15, 57=39+18 5=4+1 : 67=39+28 ; 5=3+2 : 94=78+16, 67=49+18 ; 4=3+1 : 95=68+27.
Ainsi la première décomposition engendre les solutions 654981327, 546819273, et celles obtenues en permutant (a, g), (b, h) et/ou (c, i) ...
Q3 : Tous les éléments étant divisibles par 9, seuls les plus grands, commençant par le chiffre 9, auront un quotient de 9 chiffres. Le troisième élément de (E) par ordre décroissant, 987654231, est le plus grand entier magnifique, puisque son quotient par 9 est 109739359, qui est premier (Merci Factoris!).
