A378− Beaux,superbes et magnifique [*** à la main]
On considère l’ensemble (E) des entiers de neuf chiffres distincts écrits avec tous les chiffres de 1 à 9.
Q₁ Un élément de (E) est dit « beau » s’il est divisible par 37.
Démontrer sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 1200 beaux entiers.
Q₂ Un élément de (E) est dit « superbe » s’il est divisible à la fois par 7, par 11 et par 13.
Démontrer toujours sans l’aide d’un quelconque automate que (E) contient au moins 320 superbes entiers.
Q₃ Un élément de (E) est dit « magnifique » s’il est divisible par un nombre premier de neuf chiffres.
Déterminer le plus grand entier magnifique.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q1 0n a 10*3 = 1 (mod 37) 10*2=-11 (mod37) , donc on peut décomposer un nombre « beau » C=
c9c8c7c6c5c4c3c2c1 en trois groupes de 3 chiffres , c1c4c7 ; c2c5c8 ; et c3c6c9 qui contribuent respectivement à 1,10 et -11 modulo 37.
On a donc le chiffre C=(c1+c4+c7) +10.(c2+c5+c8) -11.(c3+c6+c9) (mod 37) Comme c9+c8+c7+c6+c5+c4+c3+c2+c1=45, on obtient alors l’égalité : 12 .S1 +21.S2=14 (mod 37) avec S1= c1+c4+c7 et S2= c2+c5+c8
On trouve rapidement S1=11 et S2=22, ou S1=19 et S2=8 ou encore S1=S2=15.
On obtient alors les répartitions suivantes possibles S1 (1,4,6) ; S2 (5,8,9) ; S3 le complément soit (2,3,7) S1 (2,3,6) ; S2 (5,8,9)
S1 (1,3,7) :S2 (5,8,9) S1 (1,2,8) ; S2 (6,9,7) S1 (2,9,8) ;S2 (1,3,4) S1 (3,7,9) ; S2 (1,2,5)
…
Pour chacune de ces solutions et pour chaque groupe, les nombres peuvent être affectés de façon quelconque sur les trois chiffres du groupe, ce qui fait pour chaque solution 6*3 soit 216 nombres différents. Avec les 6 solutions proposées on a déjà 1296 nombres « beaux » différents
Q2 Les nombres superbes doivent être divisibles par 7, 11 et 13 soit 1001. On a c4=-1 c5=-10 et c6=-100 mod( 1001), tandis que c7=1,c8=10 et c9=100 mod(1001).
Il faut alors résoudre C=S1 +10. S2 +100 S3 =0 (mod 1001) avec S1=(c1-c4+c7) ; S2= c2-c5+c8 et S3=c3- c6+c9.
On choisit alors un groupe S1 ou S3 égal à 0 et ensuite les deux groupes de 3 nombres S2 et S3 (ou S1 et S2) tels que S2+10.S3 ou S1 +10.S2=0
Pour chaque combinaison de 3 groupes de 3 chiffres répondant à la question on a en fait 16 solutions en invertissant c1 et c7, c2 et c8, c3 et c9 et en invertissant les groupes S1 et S3.
On trouve les groupes de 3 triplets suivants : (c1,c4,c7) ; (c2,c5,c8) ; (c3,c6,c9)
(7,9,2) (6,1,5) ;(4,8,3) //(7,9,2) (8,3,5) ;(4,6,1)//(7,9,2) ; (8,4,6) ;(3,5,1)//(6,9,3) (8,2,4) ;(5,7,1)//(7, 8,1) ;(9,5,4) ;(2,6,3)//(6,8,2) ;(9,3,4) ;(5,7,1)//(5,8,3) ;(9,6,7) ;(2,4,1)//(6,1,7) ;(8,3,5) ;(6,9,2)//(5,7, 2) ;(9,3,4) ;(6,8,1)//(4,2,6) ;(9,7,8) ;(1,5,3)//(4,5,1) ;(9,7,8) ;(3,6,2)//(3,2,5) ;;(9,7,8) ;(4 ;6 ;1)//(3,2, 5) ;(8,4,6) ;(7,9,1)//(3,4,1) ;(9,6,7) ;(5,8,2)
Soit au total 14 groupes.
Par ailleurs on a également les solutions suivantes : S2=0, S1=1 et S3=10 pour lesquels la somme S=S1+10.S2+100.S3 vaut 1001 . Ce qui donne des triplets de la forme (c2,c5,c8) ; (c1,c4,c7) ; (c3,c6,c9) de la forme suivante :(8,1,9) ;((4,6,3) ;(7,2,5)
On en trouve au total 12 dont voici les 11 autres
(8,1,9) ;(4,5,2) ;(7,3,6)//(5,9,4) ;((6,2,7) ;(8,1,3) //(7,8,1) ;(5,6,2) ;(9,3,4)//(6,7,1) ;(5,8,4) ;(9,2,3)//(
4,3,7) ;(8,9,2) ;(6,1,5)//(5,6,1) ;(3,4,2) ;(9,7,8)//(6,1,5) ;(7,8,2) ;(9,3,4)//(1,3,4) ;(5,6,2),(9,7,8)//(1,3 ,4) ;(7,8,2) ;(9,5,6)//(2,3,1) ;(5,8,4) ;(9,6,7)//(2,1,3) ;(6,9,4) ;(8,5,7)
Soit au total 320 nombres superbes
Q3 Le plus grand nombre de E est 987654321, et comme tout nombre de E est divisible par 9, le plus grand nombre premier de 9 chiffres dont il peut être multiple doit être inférieur ou égal à 109739369.
En consultant une table de nombres premiers on constate que celui-ci ne l’est pas mais que le nombre premier voisin 109739359 multiplié par 9 donne le nombre 987654231 qui appartient bien à E et est donc le plus grand nombre « magnifique ».
