ISAE Analyse TD2 J.SAAB
1. Soitf(x) =jxxj; x6= 0:la fonctionf admet - elle une limite en0:
2. Trouver les limites suivantes:
a) lim
x!8 x 8 p3
x 2 b) lim
x! 1 x2+x
x 3 c) lim
x!0xE(1x) d) lim
x!0
pk+x p k x
x ; k >0 e) lim
x!+1(p
x2+x+ 1 x) f) lim
x!0
x3 3x+2 x2 x
g) lim
x!1(x11+13x3)
3. Etudier quandx! 1;la limite def(x) =p1 3x 2
jx+1j
4. Pour toutx2R; on dé…nit la partie entière dex:
E(x) = supfn2Z j n xg
Considérons aussi les fonctions:
f(x) =E(x); g(x) =p
x E(x) h(x) = xE(x+ 1) x+E(x)
a) Tracer le graphe de chacune des fonctions suivantes: f; g; f+g;pourx2[0;5]
b) Etudier la continuité def; g; f+g ethau point1:
5. Soient
f(x) =
x jxj
x si x6= 0
2 si x= 0 ; g(x) = x E(x) si x6= 0 1 si x= 0
La fonctionf est - elle continue en0?d’un côté de0?même question pour la fonctiong 6. Soit f(x) =E(x) +E(2 x)
a) Montrer quef est périodique de période1 b) Montrer quef est paire
c) Déterminer le domaine de continuité def
7. Examiner si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité au point1
f(x) = x2 1
x 1 ; g(x) =x+ 1
x 1
8. Discuter en fonction de la valeur den2N, si la fonction f(x) =xnlnx
peut être prolongeable par continuité en0 9. Soit
f(x) = 2x 1 si 0 x <1 x3 si 1< x 2
Quelle doit être la valeur def au point1pour qu’elle soit continue sur[0;2]
10. a) Soitf : [a; b] ![a; b]une fonction continue. Démontrer qu’il existe un élémentx02[a; b]tel quef(x0) =x0 b) Soit g : [0;2] !Rune fonction continue véri…ant g(0) =g(2): Démontrer qu’il existe 2[0;1] tel que g( + 1) =g( )
1
11. Montrer que : i)jxyj=jxjjyj
ii)jx x0j< ()x0 < x < x0+ ; ( >0) iii)jxj> ()x > oux <
12. Trouver l’ensemble de solutions dans chacun des cas suivants:
i)j2x 3j<1 v)jx2 5x+ 6j= (x2 5x+ 6)
ii)(x 2)2 4 vi)jxj=x+ 1
iii)x2+ 2x 8 0 vii)jxj=x 1
iv)jx2 7x+ 12j> x2 7x+ 12 13. Montrer que :
i)[jx 2j< et0< <3] =) 1
jx 5j < 1 3 ii)[jx 2j< et0< <1] =) jx+ 1j
jx 1j < 3 + 1 iii)jjxj jyjj jx yj
14. Calculer la dérivée à gauche et la dérivée à droite, au point indiqué, de chacune des fonctions suivantes:
a)f(x) =jx 1j+x 1 au pointx= 1 b)g(x) =jx2 1j+ 3x au pointx= 1
15. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes:
a)ln1 + lnx2
1 lnx2 b) xlnx+p 1 x2
16. Soit f une fonction dé…nie sur[a; b]et telle que, pour tousx1; x22[a; b];on a:
jf(x1) f(x2)j< cjx1 x2j1+ ; c; >0
Démontrer quef est constante
17. Soit f une fonction dé…nie et dérivable pour x > c: On suppose que f0(x) !0
x!+1 : Montrer que , pour tout h >0, lim
x!+1(f(x+h) f(x)) = 0 18. Simpli…er les expressions suivantes:
a)exp[(3 ln 2)2 ] b)exp[ln(x 1)]
19. Calculer le maximum et le minimum de
f(x) =x3
3 x2 3x 5; pour x2[ 2;6]
En déduire le maximum et le minimum dejf(x)j
20. a) Les conditions de Rolle sont - elles véri…ées par la fonction
f(x) = (jxj 1)2; x2[ 1;1]
b) Les conditions du T.A.F. sont - elles véri…ées par la fonction f(x) =x23; x2[ 1;1]
2
21. Soient, pour x >0
f(x) = ln(1 +x) lnx 1 x+ 1 g(x) = ln(1 +x) lnx 1
x
Appliquer àlnule T.A.F. sur un intervalle convenable, pour déterminer le signe def et celui deg
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