Énoncé On dé nit des fonctions

MPSI B 24 avril 2020

Énoncé

On dénit des fonctionsu,v,wdansR^∗ en posant pour tout réelxnon nul u(x) =|x|^x, v(x) = (u(x))^x, w(x) =|x|^u(x).

1. Montrer queu,v,wadmettent en 0 des limites nies notées respectivementu0,v0,w0

à préciser. On prolonge alors les fonctions en posant

u(0) =u0, v(0) =v0, w(0) =w0. 2. Pour chacune de ces trois fonctions

a. Étudier le comportement en+∞. b. Étudier la dérivabilité en 0.

c. Déterminer des développements limités en 1 et en -1 à l'ordre3.

Corrigé

1. Par dénition

u(x) =e^xln|x|, v(x) =e^x2ln|x|, w(x) =e^{u(x) ln|x|}

Les limites usuelles en 0, en particulierx^kln|x| →0, entrainent u0= 1, v0= 1, w0= 0

2. a. En+∞,xln|x| →+∞donc les trois fonctions divergent vers +∞. b. Étude des dérivabilités en 0.

Commexln|x| →0, ^u(x)−1_x ∼ln|x| →+∞doncun'est pas dérivable en 0.

De même ^v(x)−1_x ∼xln|x| →0 doncv est dérivable en 0.

Enn, pourx >0, w(x)

x =e(u(x)−1) ln|x|avec(u(x)−1) lnx∼xln²x donc ^w(x)_x converge vers 1 à droite de 0. Mais pourx <0

w(x)

x =−e(u(x)−1) ln|x|→ −1 doncwn'est pas dérivable en 0.

c. Les développements limités s'obtiennent par composition.

En 1

u(x) = 1 + (x−1) + (x−1)²+1

2(x−1)³+o((x−1)³) v(x) = 1 + (x−1) + 2(x−1)²+ 2(x−1)³+o((x−1)³) w(x) = 1 + (x−1) + (x−1)²+3

2(x−1)³+o((x−1)³) En -1

u(x) = 1 + (x+ 1)−1

2(x+ 1)³+o((x+ 1)³)

v(x) = 1−(x+ 1) + 2(x+ 1)²−2(x+ 1)³+o((x+ 1)³) w(x) = 1−(x+ 1)−(x+ 1)²+1

2(x+ 1)³+o((x+ 1)³).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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1 Rémy Nicolai Advlpt1