Énoncé On dé nit des fonctions

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On dénit des fonctions u , v , w dans R ^∗ en posant pour tout réel x non nul u(x) = |x| ^x , v(x) = (u(x)) ^x , w(x) = |x| ^u(x) .

1. Montrer que u , v , w admettent en 0 des limites nies notées respectivement u 0 , v 0 , w 0

à préciser. On prolonge alors les fonctions en posant

u(0) = u 0 , v(0) = v 0 , w(0) = w 0 . 2. Pour chacune de ces trois fonctions

a. Étudier le comportement en +∞ . b. Étudier la dérivabilité en 0.

c. Déterminer des développements limités en 1 et en -1 à l'ordre 3 .

Corrigé

1. Par dénition

u(x) = e ^{xln |x|} , v(x) = e ^x

^{ln |x|} , w(x) = e ^{u(x) ln |x|}

Les limites usuelles en 0, en particulier x ^k ln |x| → 0 , entrainent u 0 = 1, v 0 = 1, w 0 = 0

2. a. En +∞ , x ln |x| → +∞ donc les trois fonctions divergent vers +∞ . b. Étude des dérivabilités en 0.

Comme x ln |x| → 0 , ^u(x)−1 _x ∼ ln |x| → +∞ donc u n'est pas dérivable en 0.

De même ^v(x)−1 _x ∼ x ln |x| → 0 donc v est dérivable en 0.

Enn, pour x > 0 , w(x)

x = e (u(x)−1) ln |x| avec (u(x) − 1) ln x ∼ x ln ² x donc ^w(x) _x converge vers 1 à droite de 0. Mais pour x < 0

w(x)

x = −e (u(x)−1) ln |x| → −1 donc w n'est pas dérivable en 0.

c. Les développements limités s'obtiennent par composition.

En 1

u(x) = 1 + (x − 1) + (x − 1) ² + 1

2 (x − 1) ³ + o((x − 1) ³ ) v(x) = 1 + (x − 1) + 2(x − 1) ² + 2(x − 1) ³ + o((x − 1) ³ ) w(x) = 1 + (x − 1) + (x − 1) ² + 3

2 (x − 1) ³ + o((x − 1) ³ ) En -1

u(x) = 1 + (x + 1) − 1

2 (x + 1) ³ + o((x + 1) ³ )

v(x) = 1 − (x + 1) + 2(x + 1) ² − 2(x + 1) ³ + o((x + 1) ³ ) w(x) = 1 − (x + 1) − (x + 1) ² + 1

2 (x + 1) ³ + o((x + 1) ³ ).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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